“引導教學”視角下一道高考題的剖析
——以2021年高考數(shù)學北京卷第9題為例

李紅云 伍春蘭

(北京教育學院 100120)

高考評價體系明確了“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能，將考察內(nèi)容確定為“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”[1]，如何以高考題“引導教學”，落實學科核心素養(yǎng)，值得探究. 以2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(以下簡稱高考數(shù)學北京卷)第9題(表1)為例，分享我們的研究.

表1 2021年高考數(shù)學北京卷第9題

1 學生調(diào)研

在北京某兩校高二和高三各一個班，就第9題進行調(diào)查.學生獨立解決并寫出簡要過程，選擇典型作答的學生進行訪談.通過調(diào)研了解學生的解決思路及困難，主要有三種解決思路：運算求解、圖形分析與運算求解、圖形的直觀想象.

1.1 運算求解

解析幾何問題的通性通法，即聯(lián)立圓和直線的方程，消元整理得到含參數(shù)k和m的關于x的一元二次方程：

(k2+1)x2+2kmx+(m2-4)=0.

①

利用兩點間的距離公式表示弦長，運算中借助韋達定理整理為關于k和m的表達式，根據(jù)題干條件“弦長的最小值為2”，分析弦長表達式得到m的值.

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，選擇該思路的學生，有的只列出聯(lián)立方程，最多到寫出方程①.學生的表現(xiàn)反映出其面對稍復雜解析幾何問題的信心不足，另外也說明其數(shù)學運算的訓練不夠，特別是含參數(shù)運算的訓練.針對只能想到運算求解且無法解決的學生，教師要關注學生數(shù)學運算的訓練，另外要引導學生從幾何圖形進行分析.

1.2 圖形分析與運算求解

圖1

借助弦心距求弦長的學生比較多，其中有的是開始想到聯(lián)立方程求解，但是覺得計算很麻煩，轉而借助弦心距求弦長.利用點到直線的距離公式表示出弦心距

②

進而表示出弦長

③

專家與新手解決問題的不同點在于，專家不是從目標往回走，而是擴展已有知識去解決問題，即想辦法充分利用已有的條件[2].專家這種解決問題方式，對日常解題教學的啟示是引導學生對題目的信息，包括“暗示”條件的有效讀取、加工和轉換.當解題遇阻，嘗試等價轉換是重要策略.波利亞怎樣解題表的擬定計劃中，多處提到轉換問題，如“你能知道一道與它有關的題目嗎？你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？”特別地提到等價轉換：“你能以不同的方式敘述它嗎？”第9題將不同數(shù)學對象轉換，即將弦長問題等價轉換為弦心距問題，從而簡化數(shù)學運算.

1.3 圖形的直觀想象

(1)無法想象弦長或弦心距的變化

當k變化時，學生能夠想象出直線為過定點(0,m)的一直線族，并且能夠順利排除選項A和D.如果m=±2，過定點(0,±2)的直線族截得圓C的弦長最小值為0，因為k=0時，直線l與圓相切(圖2)，可以排除選項A.

圖2

圖3

無法進一步確定B或C，因為想象直線族截圓C的變化有困難，截得弦長如何變化的？何時弦長取得最小值？弦心距如何變化？弦心距何時取得最大值？即單個參數(shù)k變化，直觀想象直線如何變化是容易的，直線變化所派生的圓C中弦長或弦心距如何變化是有困難的.

(2)猜想特殊位置，無法說明理由

2 題目拓展

題目拓展的探究，需要跳出題目進行思考，題目有哪些條件？題目是否可以簡化或變復雜？條件可以如何改變？條件改變后所考察側重點是什么？等.

2.1 改變數(shù)值或表征

2.2 改變固定參數(shù)

由上述分析可知，m是定值這個隱藏條件，在題目解答中起著舉足輕重的作用.若m不是定值，“弦長最小為2”簡化為“弦長為定值2”，可否求得m的取值范圍？這個改變引起問題結構的變化.

圖4

圖5

圖6

由式②或③整理都可得

④

2.3 突破固定參數(shù)

將2.2中的“弦長為定值2”恢復到原題條件“弦長最小為2”.

依據(jù)2.2的探究，直線l:y=kx+m過小圓x2+y2=3上某點D.過點D的直線l與圓C相交的弦長范圍為[2,4]，其中與小圓x2+y2=3相切時，弦長最小為2.當k變化且與小圓不相切時，此時容易觀察或想象直線l與y軸可以相交在任意位置，即m可取任意值(圖7).

圖7

⑤

⑤式中，k可以取到任意值，因此m可以取任意值.

因此，當弦長n最小值為2時，直線l一定過圓x2+y2=3上某個點，m可以取到任意值.

3 小結

3.1 學生研究

教師做學生研究，不僅僅是學生解題的表現(xiàn)，更為重要的是了解思維過程，正確解答學生的解題思路過程，錯誤解答的原因.如此才能找到幫助學生解決問題的對策.

與兩個班級的執(zhí)教教師交流過這個題目，都提到解決這個問題的思路主要是數(shù)形結合，調(diào)研發(fā)現(xiàn)學生表現(xiàn)與教師預期是有差異的，很多學生選擇了通過運算方式解決，并且嘗試聯(lián)立方程表示弦長的學生都沒有做出來.那么學生選擇運算方式的原因是什么？沒有做完的原因是運算能力問題，信心問題，還是時間不夠？等，都是值得研究的.

3.2 解題回顧

解題是數(shù)學活動的基本形式和主要內(nèi)容，解題在數(shù)學學習和教學中占比頗高，具有不可替代的作用.[4]波利亞在《怎樣解題》中提出四步解題法：理解題目；擬定方案；執(zhí)行方案；回顧.[5]解題后的回顧也是教學中容易忽略的環(huán)節(jié).解題回顧，包括解決問題的經(jīng)驗是什么？是否充分理解題目條件？條件之間的關系？能否進行轉化等？有沒有其他解決思路？解決過程中遇到的困難？通過這個題目反映出自身數(shù)學知識和思考的哪些不足？等等.

調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，通過運算解決問題的學生，并沒有思考圖形是什么樣的，或者無法想象圖形；通過直觀圖形解決的學生，有猜測對的，也有猜測錯的，但是都沒有再回到問題中反思結論是否正確.對于運算思路，要引導如何通過形的分析簡化運算，從形的角度思考k=0在圖形角度是什么？為什么這個位置弦長取得最小值？對于通過直覺猜想的學生，教學中要引導學生反思的意識，分析得到結論的合理性等.

3.3 題目研究

數(shù)學題目的研究，也是數(shù)學教師必備的基本功之一.教師對題目進行探究，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的完整過程，也有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

通過對第9題的剖析，得到弦長n、斜率k及截距m三個參數(shù)之間的依賴關系.將其中的一個參數(shù)固定，可以使其成為高中生可求解的封閉題目，正如第9題利用選項支讓m成為了定值.

題目拓展研究中，經(jīng)歷了小改動、中變化、更大拓展的過程.小改動是對原題條件數(shù)值或數(shù)學對象表征進行改變，有利于學生建立數(shù)學對象的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學思維的靈活性.中變化是改變固定參數(shù)，參數(shù)k和m都是變化的，將“弦長最小值為2”退化為臨界條件“弦長為2”，通過借助信息技術的動態(tài)變化，得到問題的解決思路.更大拓展則是三個參數(shù)都在變化，此時信息技術起到了支持數(shù)學思考的作用.

3.4 技術融入

調(diào)研發(fā)現(xiàn)學生對復雜圖形的直觀想象能力較弱.教學中可以借助信息技術的優(yōu)勢，幫助學生建立動態(tài)變化的直觀表象，這是信息技術最基本的應用.當涉及多個參數(shù)變化不容易直觀想象出圖形的變化時，借助信息技術的探究成為了“雪中送炭”.教師通過信息技術的呈現(xiàn)，也可以激發(fā)學生興趣，體驗圖形動態(tài)變化所帶來的魅力，積累動態(tài)直觀想象的經(jīng)驗，從而達到不畏懼動態(tài)變化的問題.

師生借由信息技術分析、解決問題，繼而發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決新問題，是教師專業(yè)成長和學生思維發(fā)展的一條可行路徑.