數(shù)學問題解答

2021年12月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(浙江湖州市雙林中學 李建潮 周秋斕 313012)

x+y+z+xyz=y+z+1+yzx

(北京師范大學附屬實驗中學 白玉娟 100032；北京市朝陽區(qū)郎各莊村21號 郭 璋 100121)

證明如圖，在⊙O中，弦A1B1=A2B2且A1B1∥A2B2，易證四邊形A1A2B2B1為矩形，所以直線CA1A2平行于直線DB1B2，又直線EF2垂直于直線A1B1，從而直線EG1F1G2F2平行于直線CA1A2、直線DB1B2.所以

由③+④得

把上式兩邊分別平方得

因為CD為過點E的⊙O的切線，所以有CE2=CA1·CA2,ED2=DB1·DB2，進而有

所以

2638在△ABC中,三邊長為a,b,c,面積為Δ,且外接圓與內切圓半徑分別為R,r,則

(1)

(天津港職工培訓中心 黃兆麟 300456)

證明注意到有熟知的Finsler—Hadwiger不等式的最佳式

(2)

注意到有內切圓半徑公式

而以上最后一式是熟知的Garfunkel—Bankoff不等式,故(2)式成立,從而不等式(1)成立.

2639如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，且(CD·AB)2=2CA·AD·DB·BC.求證：CD平分∠ACB.

(江蘇省溧陽市光華高級中學 錢德全 213300;江蘇省溧陽市永平小學 張曉蔚 213333)

證明如圖，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.因為∠ACB=90°，所以四邊形CEDF為矩形，所以DE∥FC，DE=FC，DF∥EC，DF=EC.

得m2+n2=2mn，即(m-n)2=0，

所以m=n，因此四邊形CEDF為正方形，

故有CD平分∠ACB.

(江西省共青城市國科共青城實驗學校 姜坤崇 332020)

證明條件式ab+bc+ca+2abc=1

于是所證不等式可化為

由二元均值不等式得

①

又由二、三元均值不等式得

②

由①、②式即得

從而所證不等式成立.

2021年1月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2641已知△ABC的外接圓過點B、C的切線交于點P,延長BA至點D,使AD=AB,作DE∥BC交直線PB于點E.求證:

(華中師范大學國家數(shù)字化學習工程技術研究中心 彭翕成 430079；山西省臨縣一中 李有貴 033200)

2642已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=1,且

求p的最大值.

( 陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000 )

2643設雙曲線C的兩焦點為F1、F2，兩準線為l1、l2，過雙曲線上一點P，作平行于F1F2的直線，分別交準線l1、l2于M1、M2，直線M1F1與M2F2交于點Q，則P、Q、F2、F1四點共圓.

(江西省都昌縣第一中學 劉南山 332600)

2644在三角形ABC中，求證:

cosAcosB+cosCcosA+cosBcosC

(山東省單縣園藝中心校 張建平 274300)

2645如圖，△ABC中，直線AP,BP,CP分別與各自對邊所在的直線交于點D,E,F．

(i)求使得

的所有點P；

(ii)求使得

S△PBD+S△PEA=S△PDC+S△PAF=S△PCE+S△PFB

的所有點P.

(重慶市長壽龍溪中學 吳波 401249)