一道清華測(cè)試題的解法探究和推廣

浙江省衢州第二中學(xué) (324000) 汪耀生

在解析幾何研究中，圓和橢圓是兩個(gè)非常重要的研究對(duì)象，它們圖形優(yōu)美，有極強(qiáng)的對(duì)稱性，圓和橢圓可通過(guò)仿射變換相互轉(zhuǎn)化，快速解決橢圓中相關(guān)的問(wèn)題.橢圓中也會(huì)生成很多圓，比如內(nèi)切圓、伴隨圓、基圓和蒙日?qǐng)A等，它們?cè)谛再|(zhì)具有怎樣的關(guān)聯(lián)？本文從一道清華自測(cè)題談起，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解法探究、拓展推廣、鏈接應(yīng)用等，建構(gòu)這一類問(wèn)題的解法，幫助學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，提升解決問(wèn)題的能力，積累解題經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、真題再現(xiàn)

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系以及定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化和化歸問(wèn)題的能力，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).該題內(nèi)涵豐富，是具研究?jī)r(jià)值的一道好題.

二、就題論題

三、推廣探究

證明：若OM或ON中有一條直線斜率不存在，另一條必定為0，則|OM|=a,|ON|=b.

四、總結(jié)提升

上述問(wèn)題我們可以這么描述：直線MN是橢圓基圓的任意一條切線，交橢圓于M,N兩點(diǎn)，且OM⊥ON.事實(shí)上這也并不難證明(讀者可自行完成)，至此我們得到：

對(duì)于雙曲線也存在類似的結(jié)論，即：

結(jié)合以上結(jié)論，再來(lái)審視前面給出的例題，我們可以得到更準(zhǔn)確而快速的解法：

我們通過(guò)對(duì)一道清華測(cè)試題解法的研究，嘗試去發(fā)現(xiàn)在OM⊥ON的條件下，橢圓長(zhǎng)短半軸和|OM|,|ON|之間的關(guān)系，進(jìn)而得到基圓，得到一般化的結(jié)論.在整個(gè)結(jié)論推導(dǎo)過(guò)程中，并未過(guò)多涉及直線MN，換言之，直線MN只是橢圓的一條割線這個(gè)簡(jiǎn)單的要求，這就為我們后續(xù)使用結(jié)論奠定了一個(gè)廣泛的基礎(chǔ).在整個(gè)推導(dǎo)結(jié)論過(guò)程，先發(fā)現(xiàn)結(jié)論必要性，再證充分性，這種研究問(wèn)題的方法也是我們需要掌握的一種常用方法.再根據(jù)橢圓研究結(jié)果，推廣到雙曲線，收獲了雙曲線的一般結(jié)論，這是我們?cè)谘芯繄A錐曲線這些“同根生”曲線，即截口曲線中常常會(huì)采用的一種方式.我們從特殊到一般，從橢圓類比到雙曲線，經(jīng)歷結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，讓我們有一種“發(fā)現(xiàn)者、研究者和探究者”的滿足感和成就感，會(huì)引導(dǎo)學(xué)生按圖索驥，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的全過(guò)程，會(huì)有探究結(jié)論的強(qiáng)烈愿望和沖動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提升學(xué)生思維能力，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

五、鏈接應(yīng)用