2021年新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探析

福建省福清融城中學(xué) (350399) 王 強(qiáng)福建省福清第三中學(xué) (350300) 何 燈

歷年高考試卷中的導(dǎo)數(shù)壓軸題，都是命題專家的獨(dú)具匠心之作．而雙變量問(wèn)題是其中的高頻考點(diǎn)，高頻考點(diǎn)之下必有變式，2021年全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題其本身表述簡(jiǎn)潔，但解題的思想方法是靈活多樣的，這有利于激發(fā)學(xué)生思維的靈活性．在解題中，若學(xué)生不能將題中的隱性信息識(shí)別轉(zhuǎn)化，就無(wú)法打開(kāi)解題思路，因此如何將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化成為解題的關(guān)鍵．本文對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行解法探究，總結(jié)處理此類問(wèn)題的常用方法及基本思想，以期達(dá)到拋磚引玉之效．

2試題解析第(1)問(wèn)是常規(guī)的利用導(dǎo)數(shù)探求不含參函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題由題易知f′(x)=1-lnx-1=-lnx(x>0)，令f′(x)=0得x=1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，從而f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，從而f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．以下探討第(2)問(wèn)．

圖1

評(píng)注：若符合極值點(diǎn)偏移的題型設(shè)置，①f(x1)=f(x2)；②兩根之和大于或小于2倍的極值點(diǎn)，x1+x2>2x0，x1+x2<2x0，則解決此類雙變量問(wèn)題的一般性策略步驟是：(1)設(shè)x2>x1，則x2>x0>x1；(2)x1和2x0-x2在f(x)同一個(gè)單調(diào)區(qū)間；

(3)f(x1)和f(2x0-x2)比較；(4)轉(zhuǎn)化為單變量f(x2)和f(2x0-x2)比較；(5)利用極值點(diǎn)偏移的特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)稱作差構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x).

圖2

圖3

圖4

3變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=x2+πcosx-a在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于高考導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的雙變量的等式或不等式，要求我們必須具備轉(zhuǎn)化意識(shí)，這樣才能有效地解決問(wèn)題．而此類問(wèn)題若能用同構(gòu)思想加以切入，輔以數(shù)學(xué)直觀，就能把握其中所蘊(yùn)含的減元、構(gòu)造新函數(shù)、巧用單調(diào)性等數(shù)學(xué)思想．