青山繚繞疑無(wú)路，忽見(jiàn)千帆隱映來(lái)
——例談“轉(zhuǎn)換視角”在解題中的應(yīng)用

廣東省珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué) (519100) 駱曉梅廣東省深圳市深圳高級(jí)中學(xué) (518118) 付中華

所謂轉(zhuǎn)換視角，是指在解題過(guò)程中，遇到困難，轉(zhuǎn)換思考問(wèn)題的角度，尋找新的解題思路；或者是換個(gè)角度尋找其他的解題方法，優(yōu)化解題過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文將借助幾個(gè)具體的例子，與老師們分享.

一、轉(zhuǎn)換視角，正難則反

例1 已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使得f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是.

二、轉(zhuǎn)換視角，化數(shù)為形

評(píng)注：對(duì)于此題轉(zhuǎn)換視角，尋找代數(shù)式的幾何意義，借助幾何直觀能夠快速找到答案.

三、轉(zhuǎn)化視角，化隱為明

圖1

例3 如圖1，四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，則平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的度數(shù)為.

圖2

解析：可將該四棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖2，則所求的二面角轉(zhuǎn)化為平面CDPQ與平面BAPQ所成的二面角，則∠APD就是銳二面角的平面角，易知∠APD=45°.

評(píng)注：按常規(guī)求二面角想法是作出它的平面角，而它是一個(gè)“無(wú)棱二面角”，要作出它的平面角有一定的難度.當(dāng)然建系也是可行的，計(jì)算量稍微有點(diǎn)大.轉(zhuǎn)換視角，將四棱錐補(bǔ)成熟悉的正方體，則可直接寫(xiě)出答案.

四、轉(zhuǎn)換視角，借力助力

例4 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

評(píng)注：學(xué)生的第一反應(yīng)是采用降冪公式求解，但是困難重重.少數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特殊性，利用50°=20°+30°求解，能正確計(jì)算出結(jié)果的人則更少.通過(guò)對(duì)已知條件的觀察，轉(zhuǎn)換視角，構(gòu)造對(duì)偶式，巧妙地利用了同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式兩角和與差的正弦公式，化簡(jiǎn)之后容易發(fā)現(xiàn)角度的關(guān)系，從而配角40°=70°-30°,100°=70°+30°，或者利用和差化積公式，顯得自然流暢.在解決此類(lèi)三角函數(shù)求值問(wèn)題中，該方法具有一定的通用性.

五、轉(zhuǎn)換視角，以退為進(jìn)

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1(負(fù)值舍去)；

六、轉(zhuǎn)換視角，化異為同

評(píng)注：本題中既含有指數(shù)式又含有對(duì)數(shù)式，無(wú)法直接求解參數(shù)的范圍.轉(zhuǎn)換視角，利用等式x=elnx將不等式左右兩邊轉(zhuǎn)換為相同的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造函數(shù)，簡(jiǎn)化原來(lái)的不等式.

七、轉(zhuǎn)換視角，反客為主

圖3

(1)求橢圓的方程；

(2)求證：AN與CM的交點(diǎn)在定直線y=1上．

評(píng)注：本題中，常規(guī)的化簡(jiǎn)方法是將x1+x2,x1x2代入，轉(zhuǎn)化為含有k的式子，非常繁瑣，轉(zhuǎn)換視角，反客為主消去k，轉(zhuǎn)換為含有x1,x2的式子，問(wèn)題迎難而解.

以上是轉(zhuǎn)換視角的常見(jiàn)思路和方法，在實(shí)際解題中還有其他的方法，比如說(shuō)等價(jià)轉(zhuǎn)換等等，故在平時(shí)的教學(xué)或解題中，需要我們不斷總結(jié)，不斷積累，提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，進(jìn)而落實(shí)好學(xué)科核心素養(yǎng).