借助幾何直觀 構(gòu)建“講道理”的課堂

鄭璘玲

“小數(shù)的意義”一課是典型的概念教學(xué)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中占有非常重要的位置。福建省普教室特級教師羅鳴亮在其執(zhí)教的“小數(shù)的意義”課堂上，充分利用了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，通過依次拆開“神秘的信封”活動，追本溯源，恰當(dāng)?shù)乩脴?biāo)準圖形和變式圖形，引導(dǎo)學(xué)生逐步挖掘隱藏在“小數(shù)”背后深層次的數(shù)學(xué)之“理”，帶領(lǐng)學(xué)生探究“小數(shù)”形成的全過程，活化了數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建了“講道理”的數(shù)學(xué)課堂。

一、問題引領(lǐng)，思之有“源”

認知沖突是學(xué)生思維的“催化劑”，通過創(chuàng)設(shè)認知沖突，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動力。在教學(xué)中，可以通過問題來引發(fā)學(xué)生的認知沖突，使他們在解決問題的過程中去思考，通過思考掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

上課伊始，羅老師依次抽出一個裝有若干個紅色正方形的“神秘信封”。

師：我?guī)砹藥讉€正方形。大家數(shù)一數(shù)看，一共有多少個？

生：1、2、3個……10個。

師：10個10個地數(shù)。

生：10個、20個……100個。

數(shù)著數(shù)著，只見羅老師不慌不忙地從信封中取出一個與之前形狀和大小一樣、但涂色面積不同的正方形（如下圖所示），并提問：這個圖形中的涂色部分表示多少個正方形呢？

學(xué)生一時沒有了頭緒，紛紛表示不理解。心中產(chǎn)生了問題：如果說之前出示的正方形，每個正方形表示“1”個單位，那么這個正方形的涂色部分又該表示多少個正方形呢？直覺是在豐富知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在短時間內(nèi)直觀地把握事物的本質(zhì)，瞬間做出判斷的思維形式。而數(shù)學(xué)意義上的直覺是人腦對數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)、關(guān)系以及規(guī)律性的某種直接領(lǐng)悟或洞察。數(shù)學(xué)直覺盡管“突如其來”，但也是立足于已有知識經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思考的，是“有一定根據(jù)的”。如何讓學(xué)生“推之有據(jù)”？在傳統(tǒng)的教課堂教學(xué)中，不少教師常擔(dān)心學(xué)生不理解自己的用意，怕他們的思維出“岔道”而迷路，浪費寶貴的課堂時間。因此，他們喜歡把解決問題的思路講明白，在學(xué)生腦海中尚未形成問題意識之前，就急于過早地亮明“路標(biāo)”，希望把學(xué)生的思路引向預(yù)期的答案。這樣做不僅限制了學(xué)生思維的活躍度，也使其自我探索的興趣盡失。學(xué)生一旦思路變得狹窄，就會產(chǎn)生學(xué)而無惑、學(xué)而無味的感覺。羅老師這時并沒有急于亮出答案，而是讓學(xué)生繼續(xù)思考，積極尋找猜想的依據(jù)、思考猜想的合理性。

師：出了什么問題？

生：我發(fā)現(xiàn)這個正方形上不全是涂著紅色，有一部分是涂著白色。

師：也就是說，這個正方形還能用1來表示嗎？

生：不能。

師：怎么辦呢？

生：用小數(shù)。

此前，學(xué)生雖已學(xué)習(xí)了“分數(shù)的初步認識”和“小數(shù)的初步認識”，頭腦中對分數(shù)、小數(shù)的概念已有一定認知，但對小數(shù)、分數(shù)與整數(shù)之間的有機聯(lián)系依然不清楚。面對不完整的正方形，如果一味試圖用整數(shù)來解決問題，必然會遇到無法克服的困難。一張不完整的正方形卡片，巧妙地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個真實的、與學(xué)生現(xiàn)有知識水平有“沖突”的、合情合理的教學(xué)情境。用問題“還能用1來表示嗎？”又一次引發(fā)了學(xué)生的議論和思維碰撞。在教學(xué)中，渴求知識的學(xué)生會因挑戰(zhàn)而睿智，因認知沖突而生動，有效的課堂會因“講道理”而出彩。此時，學(xué)生對“不一樣”的正方形所產(chǎn)生的質(zhì)疑，正是需要開發(fā)的寶貴教學(xué)資源。

二、追根溯源，探之有“據(jù)”

在課堂上要有意留給學(xué)生充分的思維時空，循序漸進，由淺入深，以問題沖突為導(dǎo)索，讓學(xué)生自己學(xué)會“抽絲剝繭”，一步步深化探究，借助問題沖突“講道理”，用“問題之鑰”開啟“問題之鎖”。

羅老師出示一張“十等分”中涂色占“三分”的正方形，并提出問題：你會用哪個小數(shù)來表示它？

生：0.3。

（羅老師先板書0.3，再出示一張“十等分”中涂色占“七分”的正方形）

生：0.7。

師：數(shù)一數(shù)，一共有幾個這樣的數(shù)？

生：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9。

師：0.9加上一個0.1，就是1。

（羅老師又出示一張之前“未知”的正方形，讓學(xué)生通過比較估測那張正方形中涂色部分占“幾分”）

生：我覺得0.5不可能，因為白色部分少于一半，不止0.5。

師：到底是多少呢？

生：既然我們能用十分之幾表示一位小數(shù)，同樣也可以把一個正方形平均分成100份，用百分之幾表示兩位小數(shù);還可以平均分成用1000份，用千分之幾表示三位小數(shù)。

羅老師為了引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，梳理小數(shù)發(fā)展的歷史脈絡(luò)，探明小數(shù)的產(chǎn)生過程，將小數(shù)作為自然數(shù)的外延，從辨認一張不一般的正方形入手，直觀又自然地引出結(jié)論：不滿“1”的一位小數(shù)可利用“平均分”法，進行十等分、百等分、千等分……幫助學(xué)生深入理解了小數(shù)的意義，建立起小數(shù)意義的模型。

三、數(shù)形結(jié)合，推之有“理”

學(xué)生懂得了小數(shù)源自“十進分數(shù)”的理論之后，為了加深理解，繼續(xù)挖掘小數(shù)概念的內(nèi)涵，羅老師抓準學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中的混淆點、易錯點和缺失點，挑選出比較0.9與0.90異同點這個挑戰(zhàn)性題目，為突破難點開辟了一個新視角，再次引發(fā)學(xué)生的認知沖突，讓學(xué)生不知不覺落入問題“陷阱”。然后，又在0.9的后面補了一個零，并提出問題：到底是0.90還是0.9呢？

生：0.90。把正方形“十等分”，現(xiàn)在涂紅色的占9份，所以是0.9。

生：把一個正方形平均分成了100份，涂滿了90份，所以是0.90。

生：我覺得0.9和0.90，它們代表的部分是一樣的。平均分成100份、涂90份，相當(dāng)于平均分成10份、涂9份的部分。

師：0.90后面添了一個0。如果不添，可以嗎？

生：可以。

師：為什么不添0也可以呢？

生：因為0.9和0.90表示的份數(shù)都一樣。

生：老師，我覺得不可以，因為0.9是直接把這個正方形平均分成10份，取其中的9份，但現(xiàn)在這個正方形是取其中的90份，份數(shù)不同。

生：0.9表面上可以。如果是1米長的線段，0.9代表的是9分米;如果是0.90的話，它代表的是90厘米。90厘米等于9分米，所以應(yīng)該是可以的。

生：我覺得不可以。因為它們表示的是份數(shù)不一樣，雖然它們所占的量與它們填滿的部分都一樣，但是它們平均分成的份量不同。

師：它們表示的大小是不是一樣的？

生：是一樣的。

短短40分鐘的課堂，羅老師不忘適時、適度地滲透“數(shù)形結(jié)合”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。小數(shù)的十分進制兼有“數(shù)”的嚴謹與“形”的直觀，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中最精彩的一面。利用它能使復(fù)雜變得簡單，抽象變得具體。以簡潔、合理、科學(xué)為原則選取十進制，與整數(shù)“滿十進一”的規(guī)則對接，形成一個整體。通過精心設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘，一步一步根據(jù)算理去思考，深刻認識和理解了每相鄰計數(shù)單位之間的十進制關(guān)系，建構(gòu)起了小數(shù)數(shù)位順序表，并在整數(shù)數(shù)位表上順利銜接延續(xù)。

四、直覺判斷，解之有“法”

小數(shù)產(chǎn)生的本源在于計量的需要，并非由分數(shù)改寫而成的。羅老師又提出了“為什么要把‘1’平均分成10份，而不是9份或11 份呢”的疑問，讓原本單一、枯燥的概念教學(xué)，在新知識的生長點處又引發(fā)出新的“認知沖突”。

師：板書[536/1000]， 0.536。

師：你覺得羅老師是要把它平均分成1000份，然后涂上536份嗎？

生：平均分成600份，取其中的536份。

生：不行，不能平均分成600份，而要是分成1000份，分得又太多了。

生：先把它平均分成10份，然后在分3和6時，把它再平均分成10份。

師：你的的意思是0.536中有5個0.1。

生：0.536中，有3個0.01。

生：0.536中有6個0.001。

通過類比，層層剝離，讓學(xué)生終于解開了“如果分成9份，分成11 份，會便利嗎”的問題。

羅老師的課堂，除了能在教學(xué)新知識生長點時對概念內(nèi)涵巧設(shè)“陷阱”，還能在教學(xué)新知概念的外延上捕捉認知沖突，誘發(fā)學(xué)生在認知的“平衡”與“不平衡”間進行充分地爭議，在爭議中暴露出學(xué)生的“錯誤”認知和思維缺陷，從而完善認知，提升思辨能力。

師：再想一想看，那么多三位小數(shù)，羅老師為什么偏偏不帶其他來，只帶一個0.536來呢？想一想并猜一猜，0.536和我有什么關(guān)系？

生：老師，會不會是你的生日？

師：你覺得我的歲數(shù)是小數(shù)嗎？

生：我想這是你辦公室的門牌號。

師：有把門牌號寫成小數(shù)的嗎？

生：老師，我猜你是5點36分生的？

師：年、月、日、門牌號，還有出生的時間，用小數(shù)表示，有意義嗎？

生：身高是536厘米，還是536毫米？

師：請來看一看，0.536會是羅老師的什么呢？其實，0.536米是羅老師的手臂長度。請看大屏幕（播放課件出示數(shù)軸）。

師：我的身高在數(shù)軸上，能找得到嗎？

師：1.73米。那么，40年后的身高呢？

生：40年后會是1.83米。

師：40年后就不到1.73米了，這是由于人變老了。

生：40年后的身高可能沒有現(xiàn)在這么高了。因為人老了就會變矮。

師：說得好，這是自然規(guī)律。

在猜想“0.536”的過程中，學(xué)生可以直觀地領(lǐng)悟到“一個小數(shù)，數(shù)位不同，位值也就不同”，感知小數(shù)在實際生活中應(yīng)用的適應(yīng)性和廣泛性。

最后，羅老師又一次借助“數(shù)形結(jié)合”，用數(shù)軸亮出謎底作為總結(jié)，讓學(xué)生在數(shù)軸上找整數(shù)、分數(shù)、也找小數(shù)，實現(xiàn)了數(shù)與形的真正“聯(lián)姻”，幫助學(xué)生在認識數(shù)序的同時，親身體驗自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)及其之間的互化、大小、內(nèi)在關(guān)系，使抽象的數(shù)變得有“形”可依。

（責(zé)任編輯：楊強）