學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)
——以“乘法分配律”的教學(xué)、推廣和復(fù)習(xí)為例

江蘇啟東市圩角小學(xué)（226200） 朱建玉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題?！焙?jiǎn)算能充分鍛煉學(xué)生思維的靈活性，對(duì)提高學(xué)生的運(yùn)算能力起著重要的作用。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算時(shí)出現(xiàn)差錯(cuò)最多，因而在“乘法分配律”的教學(xué)、推廣和復(fù)習(xí)中，筆者想方設(shè)法讓學(xué)生從乘法分配律左右形式變化而結(jié)果不變中體會(huì)“變與不變”的哲學(xué)思想，從而理解并掌握乘法分配律的本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

一、乘法分配律的教學(xué)

教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師通常先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)教材中的相關(guān)知識(shí)，再根據(jù)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)時(shí)的回答進(jìn)行板書：

（a+b）×c=a×c + b×c

（16+34）×57=16×57+34×57

（28+16）×24=28×24+16×24

（132+245）×13=132×13+245×13

……

師：乘法分配律的字母表達(dá)式和這幾組等式左右兩邊各有什么特點(diǎn)？

生1：左邊都有一個(gè)括號(hào)，括號(hào)里是兩個(gè)數(shù)相加，括號(hào)外面是乘一個(gè)數(shù)。

生2：右邊是兩個(gè)乘法算式相加。

生3：這兩個(gè)乘法算式中有相同的乘數(shù)。

生4：也可以是一個(gè)乘法算式和一個(gè)數(shù)相加，所加的這個(gè)數(shù)和乘法算式中的一個(gè)乘數(shù)相同。

師：可以舉例嗎？

生4：17×9+17，表示9 個(gè)17 加1 個(gè)17，就可以寫成（9+1）×17。

師：大家聽懂了嗎？乘法分配律左邊是怎么變成右邊的呢？

生5：用括號(hào)里面的數(shù)分別乘括號(hào)外面的數(shù)。

師：這里“分別”一詞用得好！

生6：括號(hào)里的兩個(gè)加數(shù)都要乘括號(hào)外面的那個(gè)數(shù)。

師：那么原來括號(hào)里的那個(gè)加號(hào)呢？

生7：用括號(hào)里面的數(shù)分別乘括號(hào)外面的數(shù)，這兩個(gè)乘法算式中間的加號(hào)就是原來括號(hào)里的那個(gè)加號(hào)。

生8：我覺得乘法分配律左邊的加號(hào)也可以改成減號(hào)。

師：具體說一說。

生9：如果左邊是（28-16）×24，那么右邊就等于28×24-16×24，因?yàn)?8 個(gè)24 減去16 個(gè)24 就等于12個(gè)24，而12個(gè)24不就是（28-16）×24嗎？

師：大家覺得有道理嗎？請(qǐng)舉例驗(yàn)證。

師（在學(xué)生交流展示后，補(bǔ)充乘法分配律的字母表達(dá)式）：（a+b）×c=a×c+b×c 或者（a-b）×c=a×cb×c。

師：那乘法分配律右邊怎樣變成左邊的樣子呢？

生10：找到兩個(gè)乘法算式中的相同乘數(shù)，寫在括號(hào)外面，兩個(gè)乘法算式中的不同乘數(shù)寫在括號(hào)里。

……

這樣的教學(xué)，不僅能讓學(xué)生掌握乘法分配律的“形”的特點(diǎn)，還能讓學(xué)生掌握乘法分配律內(nèi)在的“質(zhì)”，在頭腦中建立意義上的聯(lián)系，為正確使用乘法分配律打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、乘法分配律的推廣

為了有效完成乘法分配律從整數(shù)到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的遷移，應(yīng)要做到以下兩點(diǎn)。

（一）重視辨錯(cuò)訓(xùn)練，積累解題經(jīng)驗(yàn)

在乘法分配律的推廣階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了四則混合運(yùn)算和所有的運(yùn)算律，但前攝抑制和后攝抑制嚴(yán)重影響了學(xué)生合理、靈活地進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算。因此，在推廣乘法分配律時(shí)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一些有針對(duì)性的辨錯(cuò)訓(xùn)練題，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)。

例如，設(shè)計(jì)“5.4×0.9+0.1”和“5.4×（0.9+0.1）”辨錯(cuò)訓(xùn)練題，讓學(xué)生知道不能一看到0.9 和0.1 就不顧運(yùn)算順序，盲目配成1；設(shè)計(jì)“125×4×25×8”和“125×8+25×4 ”辨錯(cuò)訓(xùn)練題，幫助學(xué)生辨清什么時(shí)候應(yīng)用乘法結(jié)合律，什么時(shí)候應(yīng)用乘法分配律；等等。

辨錯(cuò)訓(xùn)練可使學(xué)生進(jìn)一步理解運(yùn)算律的真正含義，把握住簡(jiǎn)便運(yùn)算的精髓。

（二）熟記常用數(shù)據(jù)和規(guī)律，洞察奧秘

整數(shù)運(yùn)算律推廣到小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算后，有的學(xué)生一見題目中既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)或者百分?jǐn)?shù)，就茫然無措。這就要求學(xué)生熟練掌握分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)能夠熟記一些常用的數(shù)據(jù)。如等。這樣，學(xué)生在做之類的題目時(shí)，就能在較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)三個(gè)不同乘數(shù)相加和正好是1，從而實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算。

在簡(jiǎn)算中，學(xué)生經(jīng)常拆數(shù)有誤。因此，在推廣乘法分配律時(shí)教師應(yīng)重申拆數(shù)的原則：拆數(shù)前后一定要保持相等，一般是把一個(gè)約等于1 或約等于整十、整百的數(shù)拆成1、10、100 后再加上或減去零頭，如10.1拆成10+0.1、999拆成1000-1等。

總之，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生熟記常用數(shù)據(jù)和規(guī)律，洞察算式的奧秘，使學(xué)生能靈活應(yīng)用定律進(jìn)行簡(jiǎn)算。

三、乘法分配律的復(fù)習(xí)

在乘法分配律的復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)生活情境，給予學(xué)生經(jīng)驗(yàn)支撐，同時(shí)強(qiáng)化變式訓(xùn)練，從而促進(jìn)學(xué)生透徹理解乘法分配律，提升運(yùn)算能力。

（一）創(chuàng)設(shè)生活情境，理解定律

出示應(yīng)用題1：小明在華聯(lián)超市買了3.8 元一本的筆記本8 本，后來又在文峰超市買了同樣單價(jià)的這種筆記本2 本，而小強(qiáng)在文峰超市一下子買了這種筆記本10本。兩個(gè)人花的錢同樣多嗎？

生（齊）：同樣多。

師：誰(shuí)能結(jié)合乘法分配律來說明一下？

生1：小明用掉的錢為3.8×8+3.8×2=3.8×（8+2）=3.8×10，小強(qiáng)用掉的錢為3.8×10，他們都用掉38元，所以同樣多。

生2：小明用掉的錢為8個(gè)3.8加上2個(gè)3.8共10個(gè)3.8 元，小強(qiáng)用掉的錢為10 個(gè)3.8 元，所以他們用掉的錢同樣多。

師：你能歸納一下相關(guān)算式具有什么特點(diǎn)嗎？

生3：兩個(gè)乘法算式相加減，并且乘法算式中有相同乘數(shù)。

生4：兩個(gè)乘法算式中的不同乘數(shù)相加減后得數(shù)為整數(shù)，才能使計(jì)算簡(jiǎn)便。

出示應(yīng)用題2：文峰超市7 月份前30 天銷售奧克斯空調(diào)100臺(tái)，7月31日銷售奧克斯空調(diào)2臺(tái)，每臺(tái)4200元，7月份奧克斯空調(diào)銷售額共多少錢？

生5：4200×（100+2）=4200×100+4200×2=420 000+8400=428 400元。

師：結(jié)合乘法分配律，說說怎么使計(jì)算簡(jiǎn)便。

生6：用括號(hào)里面的數(shù)分別乘括號(hào)外面的數(shù)。

生7：括號(hào)里面的一般是整十整百數(shù)加或減較小的自然數(shù)或者是一個(gè)整數(shù)加減0.1、0.2 之類的小數(shù)。

這樣，聯(lián)系生活創(chuàng)設(shè)情境既為學(xué)生理解乘法分配律提供了經(jīng)驗(yàn)支撐，又使學(xué)生深刻理解乘法分配律，同時(shí)對(duì)什么情況下應(yīng)用乘法分配律可使計(jì)算簡(jiǎn)便有了一個(gè)整體系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

（二）強(qiáng)化訓(xùn)練，提升能力

教師應(yīng)強(qiáng)化乘法分配律的變式訓(xùn)練，使學(xué)生通過習(xí)題訓(xùn)練學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用乘法分配律解題。

1.（a+b）c表達(dá)式的變式

（1）括號(hào)內(nèi)多個(gè)數(shù)混合加減

生1：原式

生2：利用乘法分配律，用括號(hào)里面的分?jǐn)?shù)分別乘括號(hào)外面的48，正好都可以約分，使計(jì)算簡(jiǎn)便。

師：友情提醒，一定要認(rèn)清括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)，以免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤。

（2）沒有括號(hào)內(nèi)兩個(gè)數(shù)的加或減，只有兩個(gè)數(shù)相乘

師：10.1×0.38 這道題連括號(hào)都沒有，也能應(yīng)用乘法分配律，誰(shuí)會(huì)解？

生3：可以把10.1拆成（10+0.1），則10.1×0.38=（10+0.1）×0.38=10×0.38+0.1×0.38=3.8+0.038=3.838。

（學(xué)生小組討論交流）

生4：因?yàn)榈谝粋€(gè)乘數(shù)的分母是137，要想計(jì)算簡(jiǎn)便，應(yīng)把第二個(gè)乘數(shù)拆成137-1，這樣137 和137可以約分。

2.算式ac+bc表達(dá)式的變式

（1）只有一個(gè)乘法算式加減一個(gè)數(shù)

師：3.7×99+3.7 這道題大家都會(huì)解，主要有兩種算法。

解法1：3.7×99+3.7

=3.7×（100-1）+3.7

=3.7×100-3.7×1+3.7

=3.7×100

=370

解法2：3.7×99+3.7

=3.7×99+3.7×1

=3.7×（99+1）

=3.7×100

=370

師：這兩種算法對(duì)嗎？你更喜歡哪一種？在小組內(nèi)交流。

（學(xué)生小組討論交流）

師：兩種算法都對(duì)，同學(xué)們可以選擇自己覺得最簡(jiǎn)便的算法。

（2）多個(gè)乘法（除法）算式相加減

師：5.75×0.65+534÷4+5.75×10% 這 道 題 該 怎樣解？

生5：相等，第一步可以把分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)都改寫成小數(shù)，除法改寫成乘法，如5.75×0.65+

師：通過分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化和把除法轉(zhuǎn)化成乘法，找出了相同乘數(shù)，問題就迎刃而解了。

（3）看似找不到相同的乘數(shù)

師：0.65×15+6.5×8.5這道題怎么解呢？我找不到相同的乘數(shù)。

生6：可以通過改寫的方法找到相同的乘數(shù)。如0.65×15+6.5×8.5=6.5×1.5+6.5×8.5。

師：0.65×15 怎 么 就 變 成 了6.5×1.5，根 據(jù) 是什么？

生7：一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大10 倍，另一個(gè)乘數(shù)縮小10倍，積不變。

生8：根據(jù)小數(shù)乘法的計(jì)算法則，0.65×15 和6.5×1.5 都是先算65×15，然后在積里點(diǎn)兩位小數(shù)，所以它們的積肯定一樣。

師：這樣就能找到相同的乘數(shù)了。大家會(huì)做了嗎？再練一題。（出示：7.45×14.3-74.5×0.43）

……

變式訓(xùn)練，使學(xué)生能全方位、多角度地思考問題，很好地培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的求異思維、發(fā)散性思維和逆向思維。

綜上，在乘法分配律的教學(xué)、推廣和復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)充分把握好知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，在課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行價(jià)值引導(dǎo)、智慧啟迪和思維點(diǎn)撥，從而使學(xué)生不僅會(huì)正確熟練地進(jìn)行計(jì)算，還能根據(jù)題目的條件尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。通過培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，做到學(xué)科教學(xué)和素養(yǎng)培育有機(jī)結(jié)合，讓數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)于人的發(fā)展。