借助幾何直觀 構(gòu)建“講道理”的課堂
——以羅鳴亮老師執(zhí)教的“小數(shù)的意義”一課為例

鄭璘玲

（福建省莆田市荔城區(qū)第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

“小數(shù)的意義”一課是典型的概念教學(xué)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中占有非常重要的位置。福建省普教室特級(jí)教師羅鳴亮在其執(zhí)教的“小數(shù)的意義”課堂上，充分利用了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)依次拆開(kāi)“神秘的信封”活動(dòng)，追本溯源，恰當(dāng)?shù)乩脴?biāo)準(zhǔn)圖形和變式圖形，引導(dǎo)學(xué)生逐步挖掘隱藏在“小數(shù)”背后深層次的數(shù)學(xué)之“理”，帶領(lǐng)學(xué)生探究“小數(shù)”形成的全過(guò)程，活化了數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建了“講道理”的數(shù)學(xué)課堂。

一、問(wèn)題引領(lǐng)，思之有“源”

認(rèn)知沖突是學(xué)生思維的“催化劑”，通過(guò)創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。在教學(xué)中，可以通過(guò)問(wèn)題來(lái)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中去思考，通過(guò)思考掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

上課伊始，羅老師依次抽出一個(gè)裝有若干個(gè)紅色正方形的“神秘信封”。

師：我?guī)?lái)了幾個(gè)正方形。大家數(shù)一數(shù)看，一共有多少個(gè)？

生：1、2、3個(gè)……10個(gè)。

師：10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)。

生：10個(gè)、20個(gè)……100個(gè)。

數(shù)著數(shù)著，只見(jiàn)羅老師不慌不忙地從信封中取出一個(gè)與之前形狀和大小一樣、但涂色面積不同的正方形（如下圖所示），并提問(wèn)：這個(gè)圖形中的涂色部分表示多少個(gè)正方形呢？

學(xué)生一時(shí)沒(méi)有了頭緒，紛紛表示不理解。心中產(chǎn)生了問(wèn)題：如果說(shuō)之前出示的正方形，每個(gè)正方形表示“1”個(gè)單位，那么這個(gè)正方形的涂色部分又該表示多少個(gè)正方形呢？直覺(jué)是在豐富知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在短時(shí)間內(nèi)直觀地把握事物的本質(zhì)，瞬間做出判斷的思維形式。而數(shù)學(xué)意義上的直覺(jué)是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)、關(guān)系以及規(guī)律性的某種直接領(lǐng)悟或洞察。數(shù)學(xué)直覺(jué)盡管“突如其來(lái)”，但也是立足于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考的，是“有一定根據(jù)的”。如何讓學(xué)生“推之有據(jù)”？在傳統(tǒng)的教課堂教學(xué)中，不少教師常擔(dān)心學(xué)生不理解自己的用意，怕他們的思維出“岔道”而迷路，浪費(fèi)寶貴的課堂時(shí)間。因此，他們喜歡把解決問(wèn)題的思路講明白，在學(xué)生腦海中尚未形成問(wèn)題意識(shí)之前，就急于過(guò)早地亮明“路標(biāo)”，希望把學(xué)生的思路引向預(yù)期的答案。這樣做不僅限制了學(xué)生思維的活躍度，也使其自我探索的興趣盡失。學(xué)生一旦思路變得狹窄，就會(huì)產(chǎn)生學(xué)而無(wú)惑、學(xué)而無(wú)味的感覺(jué)。羅老師這時(shí)并沒(méi)有急于亮出答案，而是讓學(xué)生繼續(xù)思考，積極尋找猜想的依據(jù)、思考猜想的合理性。

師：出了什么問(wèn)題？

生：我發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形上不全是涂著紅色，有一部分是涂著白色。

師：也就是說(shuō)，這個(gè)正方形還能用1來(lái)表示嗎？

生：不能。

師：怎么辦呢？

生：用小數(shù)。

此前，學(xué)生雖已學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”和“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”，頭腦中對(duì)分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念已有一定認(rèn)知，但對(duì)小數(shù)、分?jǐn)?shù)與整數(shù)之間的有機(jī)聯(lián)系依然不清楚。面對(duì)不完整的正方形，如果一味試圖用整數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，必然會(huì)遇到無(wú)法克服的困難。一張不完整的正方形卡片，巧妙地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的、與學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平有“沖突”的、合情合理的教學(xué)情境。用問(wèn)題“還能用1 來(lái)表示嗎？”又一次引發(fā)了學(xué)生的議論和思維碰撞。在教學(xué)中，渴求知識(shí)的學(xué)生會(huì)因挑戰(zhàn)而睿智，因認(rèn)知沖突而生動(dòng)，有效的課堂會(huì)因“講道理”而出彩。此時(shí)，學(xué)生對(duì)“不一樣”的正方形所產(chǎn)生的質(zhì)疑，正是需要開(kāi)發(fā)的寶貴教學(xué)資源。

二、追根溯源，探之有“據(jù)”

在課堂上要有意留給學(xué)生充分的思維時(shí)空，循序漸進(jìn)，由淺入深，以問(wèn)題沖突為導(dǎo)索，讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)“抽絲剝繭”，一步步深化探究，借助問(wèn)題沖突“講道理”，用“問(wèn)題之鑰”開(kāi)啟“問(wèn)題之鎖”。

羅老師出示一張“十等分”中涂色占“三分”的正方形，并提出問(wèn)題：你會(huì)用哪個(gè)小數(shù)來(lái)表示它？

生：0.3。

（羅老師先板書0.3，再出示一張“十等分”中涂色占“七分”的正方形）

生：0.7。

師：數(shù)一數(shù)，一共有幾個(gè)這樣的數(shù)？

生：0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9。

師：0.9加上一個(gè)0.1，就是1。

（羅老師又出示一張之前“未知”的正方形，讓學(xué)生通過(guò)比較估測(cè)那張正方形中涂色部分占“幾分”）

生：我覺(jué)得0.5不可能，因?yàn)榘咨糠稚儆谝话耄恢?.5。

師：到底是多少呢？

生：既然我們能用十分之幾表示一位小數(shù)，同樣也可以把一個(gè)正方形平均分成100 份，用百分之幾表示兩位小數(shù)；還可以平均分成用1000份，用千分之幾表示三位小數(shù)。

羅老師為了引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，梳理小數(shù)發(fā)展的歷史脈絡(luò)，探明小數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，將小數(shù)作為自然數(shù)的外延，從辨認(rèn)一張不一般的正方形入手，直觀又自然地引出結(jié)論：不滿“1”的一位小數(shù)可利用“平均分”法，進(jìn)行十等分、百等分、千等分……幫助學(xué)生深入理解了小數(shù)的意義，建立起小數(shù)意義的模型。

三、數(shù)形結(jié)合，推之有“理”

學(xué)生懂得了小數(shù)源自“十進(jìn)分?jǐn)?shù)”的理論之后，為了加深理解，繼續(xù)挖掘小數(shù)概念的內(nèi)涵，羅老師抓準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的混淆點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和缺失點(diǎn)，挑選出比較0.9 與0.90 異同點(diǎn)這個(gè)挑戰(zhàn)性題目，為突破難點(diǎn)開(kāi)辟了一個(gè)新視角，再次引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生不知不覺(jué)落入問(wèn)題“陷阱”。然后，又在0.9 的后面補(bǔ)了一個(gè)零，并提出問(wèn)題：到底是0.90還是0.9 呢？

生：0.90。把正方形“十等分”，現(xiàn)在涂紅色的占9份，所以是0.9。

生：把一個(gè)正方形平均分成了100 份，涂滿了90份，所以是0.90。

生：我覺(jué)得0.9 和0.90，它們代表的部分是一樣的。平均分成100 份、涂90 份，相當(dāng)于平均分成10份、涂9份的部分。

師：0.90后面添了一個(gè)0。如果不添，可以嗎？

生：可以。

師：為什么不添0也可以呢？

生：因?yàn)?.9和0.90表示的份數(shù)都一樣。

生：老師，我覺(jué)得不可以，因?yàn)?.9是直接把這個(gè)正方形平均分成10份，取其中的9份，但現(xiàn)在這個(gè)正方形是取其中的90份，份數(shù)不同。

生：0.9 表面上可以。如果是1 米長(zhǎng)的線段，0.9代表的是9 分米；如果是0.90 的話，它代表的是90 厘米。90厘米等于9分米，所以應(yīng)該是可以的。

生：我覺(jué)得不可以。因?yàn)樗鼈儽硎镜氖欠輸?shù)不一樣，雖然它們所占的量與它們填滿的部分都一樣，但是它們平均分成的份量不同。

師：它們表示的大小是不是一樣的？

生：是一樣的。

短短40 分鐘的課堂，羅老師不忘適時(shí)、適度地滲透“數(shù)形結(jié)合”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。小數(shù)的十分進(jìn)制兼有“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)與“形”的直觀，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中最精彩的一面。利用它能使復(fù)雜變得簡(jiǎn)單，抽象變得具體。以簡(jiǎn)潔、合理、科學(xué)為原則選取十進(jìn)制，與整數(shù)“滿十進(jìn)一”的規(guī)則對(duì)接，形成一個(gè)整體。通過(guò)精心設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘，一步一步根據(jù)算理去思考，深刻認(rèn)識(shí)和理解了每相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系，建構(gòu)起了小數(shù)數(shù)位順序表，并在整數(shù)數(shù)位表上順利銜接延續(xù)。

四、直覺(jué)判斷，解之有“法”

小數(shù)產(chǎn)生的本源在于計(jì)量的需要，并非由分?jǐn)?shù)改寫而成的。羅老師又提出了“為什么要把‘1’平均分成10 份，而不是9 份或11 份呢”的疑問(wèn)，讓原本單一、枯燥的概念教學(xué)，在新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)處又引發(fā)出新的“認(rèn)知沖突”。

師：你覺(jué)得羅老師是要把它平均分成1000份，然后涂上536份嗎？

生：平均分成600份，取其中的536份。

生：不行，不能平均分成600 份，而要是分成1000份，分得又太多了。

生：先把它平均分成10份，然后在分3和6時(shí)，把它再平均分成10份。

師：你的的意思是0.536中有5個(gè)0.1。

生：0.536中，有3個(gè)0.01。

生：0.536中有6個(gè)0.001。

通過(guò)類比，層層剝離，讓學(xué)生終于解開(kāi)了“如果分成9份，分成11 份，會(huì)便利嗎”的問(wèn)題。

羅老師的課堂，除了能在教學(xué)新知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)時(shí)對(duì)概念內(nèi)涵巧設(shè)“陷阱”，還能在教學(xué)新知概念的外延上捕捉認(rèn)知沖突，誘發(fā)學(xué)生在認(rèn)知的“平衡”與“不平衡”間進(jìn)行充分地爭(zhēng)議，在爭(zhēng)議中暴露出學(xué)生的“錯(cuò)誤”認(rèn)知和思維缺陷，從而完善認(rèn)知，提升思辨能力。

師：再想一想看，那么多三位小數(shù)，羅老師為什么偏偏不帶其他來(lái)，只帶一個(gè)0.536 來(lái)呢？想一想并猜一猜，0.536和我有什么關(guān)系？

生：老師，會(huì)不會(huì)是你的生日？

師：你覺(jué)得我的歲數(shù)是小數(shù)嗎？

生：我想這是你辦公室的門牌號(hào)。

師：有把門牌號(hào)寫成小數(shù)的嗎？

生：老師，我猜你是5點(diǎn)36分生的？

師：年、月、日、門牌號(hào)，還有出生的時(shí)間，用小數(shù)表示，有意義嗎？

生：身高是536厘米，還是536毫米？

師：請(qǐng)來(lái)看一看，0.536 會(huì)是羅老師的什么呢？其實(shí)，0.536 米是羅老師的手臂長(zhǎng)度。請(qǐng)看大屏幕（播放課件出示數(shù)軸）。

師：我的身高在數(shù)軸上，能找得到嗎？

師：1.73米。那么，40年后的身高呢？

生：40年后會(huì)是1.83米。

師：40 年后就不到1.73 米了，這是由于人變老了。

生：40 年后的身高可能沒(méi)有現(xiàn)在這么高了。因?yàn)槿死狭司蜁?huì)變矮。

師：說(shuō)得好，這是自然規(guī)律。

在猜想“0.536”的過(guò)程中，學(xué)生可以直觀地領(lǐng)悟到“一個(gè)小數(shù)，數(shù)位不同，位值也就不同”，感知小數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用的適應(yīng)性和廣泛性。

最后，羅老師又一次借助“數(shù)形結(jié)合”，用數(shù)軸亮出謎底作為總結(jié)，讓學(xué)生在數(shù)軸上找整數(shù)、分?jǐn)?shù)、也找小數(shù)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的真正“聯(lián)姻”，幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)序的同時(shí)，親身體驗(yàn)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)及其之間的互化、大小、內(nèi)在關(guān)系，使抽象的數(shù)變得有“形”可依。