基于學(xué)科融合的太陽高度角、太陽方位角公式推導(dǎo)
——以2020年11月金華十校高三地理試題為例

莊炎昊

（浙江金華第一中學(xué), 浙江 金華 321015）

高中地理，是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木C合性學(xué)科?！暗乩韺W(xué)之父”埃拉托色尼曾精確測(cè)算出地球周長(zhǎng)，開創(chuàng)并奠定了地理學(xué)的數(shù)理基礎(chǔ)。在高中地理教學(xué)中，當(dāng)定性分析不足以解決極限狀態(tài)問題時(shí)，數(shù)學(xué)仍然是定量認(rèn)識(shí)、解決地理問題的良好視角和工具。通過關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到地理學(xué)科的數(shù)理性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和空間想象能力，促進(jìn)其綜合發(fā)展。

一、原題呈現(xiàn)

讀浙江省某校操場(chǎng)17:20（地方時(shí)）拍攝到的日照景觀圖（見圖1），完成24、25題。

圖1 日照景觀圖

24.此時(shí)籃球架影子的朝向?yàn)椋?）

A.東南 B.東北

C.西南 D.西北

25.拍攝此照片的日期最可能是（ ）

A.3月15日 B.6月15日

C.9月15日 D.12月15日

參考答案：A、B

二、卯酉圈法

根據(jù)題意，首先解25題，AC選項(xiàng)日期接近春、秋分，17:20均將日落，太陽高度角應(yīng)明顯小于圖中所示，而D選項(xiàng)日期的太陽高度角更小，甚至可能在地平線下，因此拍攝日期最可能為6月15日。在此基礎(chǔ)上，下面以30°N，6月15日背景，推斷籃球架影子的朝向。

首先采用卯酉圈法解題。如圖2所示，B為30°N該日周日圈的圓心，A點(diǎn)、C點(diǎn)為周日圈與卯酉圈的交點(diǎn)，時(shí)間分別為當(dāng)?shù)貢r(shí)間18:00和6:00。由此估計(jì)17:20太陽大約在Q處，約10°，因此太陽在西北天區(qū)，籃球架影子朝向東南。

圖2 卯酉圈法解題示意圖

卯酉圈法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠快速地得出6:00時(shí)、18:00時(shí)太陽在天球上的位置，即C、A兩點(diǎn)，從而判斷與此時(shí)相近時(shí)間太陽在天球的位置，進(jìn)一步判斷日影朝向。但對(duì)于其他時(shí)間，如9:00、15:00等時(shí)刻的日影朝向，此法則無法準(zhǔn)確定位。

三、三角函數(shù)法

此題中若能知道太陽位于正東、正西方位的地方時(shí)，則可快速推斷17:20的太陽方位。

基于此，筆者采用三角函數(shù)推導(dǎo)得出公式，可定量計(jì)算任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ）太陽處于正東、正西方位的地方時(shí)。

針孔模型是攝像頭的最簡(jiǎn)單模型。其原理是,光線從場(chǎng)景或物體發(fā)射過來,經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)可認(rèn)為針孔,被投影到成像表面,在圖像平面上,圖像被聚焦。因此與遠(yuǎn)處物體相關(guān)的圖像大小可以只用一個(gè)攝像頭參數(shù)來描述:焦距。

圖3 三角函數(shù)法解題示意圖

下面筆者以該日太陽到達(dá)正西方位為例，求算∠JBF的大小。推導(dǎo)過程如下：

驗(yàn)證：在金華十校題中，若該地為杭州（30°N），日期取6月15日，則φ=30°，δ≈21.5°。

所以，太陽在正西方位的地方時(shí)為12:00+46.9°×4°/min≈15:08，遠(yuǎn)早于題目中給的17:20。因此，當(dāng)?shù)胤綍r(shí)為17:20時(shí)，太陽已經(jīng)位于西北天區(qū)，影子的朝向應(yīng)為東南。根據(jù)此公式可定量計(jì)算出任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ）太陽處于正東、正西方位的地方時(shí)。

四、太陽高度角、方位角計(jì)算公式推導(dǎo)

為解決這一問題，必須將邊角關(guān)系放入天球中，且運(yùn)用部分球面三角形的公式定理。因此在此引入球面三角形邊的余弦公式，如下：

圖4 球面三角形邊的余弦定理示意圖

圖5 太陽位于L點(diǎn)時(shí)的天球示意圖（推導(dǎo)太陽高度角）

Z為天頂，連接ZL并延長(zhǎng)，與地平圈相交于K，ZK為地球大圓的1/4，因此，所對(duì)圓心角∠LOK即為此刻太陽的高度角，記為h?！鱌ZL即為天文三角形，是計(jì)算天體周日運(yùn)動(dòng)問題的重要三角形。[1]

上式即任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ）、任意時(shí)角角度（t）的太陽高度角計(jì)算公式。

圖6 太陽位于L點(diǎn)時(shí)的天球示意圖（推導(dǎo)太陽方位角）

在球面△LNK中，根據(jù)邊的余弦公式關(guān)系可得：

接下來把∠β放入球面△NPL中，根據(jù)邊的余弦公式關(guān)系可得：

綜上，已知任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ），任意時(shí)角角度（t），求算太陽高度角（h）及方位角（α）的公式如下。

時(shí)角角度t所對(duì)應(yīng)的地方時(shí)有上午、下午兩類，且關(guān)于12:00對(duì)稱，所以根據(jù)公式一求得的h值也代表了上、下午地方時(shí)的太陽高度。因此，在公式二中，0°＜α＜180°時(shí)，表示上午，180°＜α＜360°時(shí)，表示下午。

綜上所述，樹立學(xué)科間融合的教學(xué)思想，不僅能夠促進(jìn)教師主動(dòng)反思教學(xué)過程、探究和創(chuàng)新教學(xué)方法、豐富教學(xué)內(nèi)容、提高教學(xué)效率，而且有助于教師地理素養(yǎng)和綜合素養(yǎng)的提高。