幼者為本：兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑探微*

田紅梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）指出，應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[1]2。核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，它需要在每一節(jié)數(shù)學(xué)課上落地、生根。然而，在當(dāng)下一些課堂上，只見“知識(shí)”，不見“兒童”，學(xué)習(xí)路徑模糊的現(xiàn)象依然存在，表現(xiàn)在：一是對(duì)知識(shí)本位的執(zhí)著。知識(shí)目標(biāo)因其“可考”仍是教學(xué)目標(biāo)的主體，而“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”的學(xué)習(xí)過程未得到充分重視。二是對(duì)兒童差異的忽視。兒童的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都存在差異，兒童間的認(rèn)知特點(diǎn)和思維過程也有所不同。而現(xiàn)實(shí)課堂中，一些學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)被教師忽視了。三是對(duì)兒童學(xué)習(xí)“觀光化”的漠視。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)的觀察、思考與表達(dá)，而當(dāng)學(xué)習(xí)過程變成了簡(jiǎn)單的量的累加，忽視對(duì)兒童的思維進(jìn)階及真實(shí)情感的關(guān)注，兒童的學(xué)習(xí)就變成了“觀光”。

分析以上現(xiàn)象背后的原因，不難看出：在教學(xué)觀層面，對(duì)教學(xué)目標(biāo)的定位和達(dá)成路徑缺乏深入的思考；在學(xué)習(xí)觀層面，對(duì)兒童思維路徑的差別和兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)缺乏智慧的融合；在兒童觀層面，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體——兒童的身心發(fā)展缺乏觀照。基于以上分析，我們應(yīng)當(dāng)探尋基于兒童的學(xué)習(xí)路徑，充分考慮兒童的“基質(zhì)”，研究并構(gòu)建完整、具體的操作體系，彰顯數(shù)學(xué)教育的育人價(jià)值。

學(xué)習(xí)路徑（learning path）是對(duì)學(xué)生在某個(gè)特定教學(xué)領(lǐng)域的思維、學(xué)習(xí)的過程性描述，通過一系列相關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生心理和思維水平的發(fā)展[2]?；凇坝渍邽楸尽钡膶W(xué)習(xí)路徑探索，讓學(xué)習(xí)價(jià)值由工具性轉(zhuǎn)向發(fā)展性，幫助兒童在知識(shí)領(lǐng)域完成從個(gè)人建構(gòu)到社會(huì)建構(gòu)的過渡；同時(shí)幫助教師基于兒童學(xué)習(xí)的路徑，找到相應(yīng)的教學(xué)路徑，從而有效地組織實(shí)施教學(xué)[3]39。筆者擬以二年級(jí)《雞兔同籠》一課為例，從確定學(xué)習(xí)目標(biāo)、分析路徑要素、設(shè)計(jì)并實(shí)施學(xué)習(xí)任務(wù)三個(gè)方面進(jìn)行闡述，旨在探析兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的可能學(xué)習(xí)路徑。

一、以終為始，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

以終為始，是從學(xué)習(xí)目標(biāo)開始的逆向思考。美國學(xué)者威金斯和麥克泰格的逆向設(shè)計(jì)理論提出，應(yīng)以清晰的學(xué)習(xí)目標(biāo)為起點(diǎn)，倒推設(shè)計(jì)的過程，聚焦期望的學(xué)習(xí)結(jié)果，以終為始，評(píng)價(jià)先行，達(dá)成目標(biāo)。因此，學(xué)習(xí)目標(biāo)是教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯起點(diǎn)和歸宿，是學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)與路徑設(shè)計(jì)的依據(jù)，它決定我們要通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)把學(xué)生帶往何處。學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定和具體化可以幫助教師專注于最有可能實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的內(nèi)容、方法和活動(dòng)，同時(shí)在學(xué)習(xí)過程中隨時(shí)關(guān)注學(xué)習(xí)證據(jù)，對(duì)目標(biāo)達(dá)成情況進(jìn)行診斷并及時(shí)調(diào)整，形成“目標(biāo)—路徑—實(shí)施”的螺旋上升態(tài)勢(shì)，不斷促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成。

新課標(biāo)明確指出，教學(xué)目標(biāo)的確定要充分考慮核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的達(dá)成，注重建立具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1]84。立足新課標(biāo)要求和二年級(jí)學(xué)生的思維發(fā)展水平，本節(jié)課把學(xué)習(xí)目標(biāo)定位在以下層面：在問題解決層面，通過嘗試、比較、調(diào)整找到解決“雞兔同籠”問題的辦法。在數(shù)學(xué)思考層面，以“雞兔同籠”的問題為載體，讓學(xué)生獲得基于直觀想象的“嘗試”的意識(shí)和體驗(yàn)；基于多種方法的比較，發(fā)現(xiàn)“嘗試—調(diào)整—檢驗(yàn)”學(xué)習(xí)路徑的一致性，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考經(jīng)驗(yàn)；從數(shù)學(xué)走向生活，在真實(shí)情境中感受認(rèn)知遷移的價(jià)值，在潛移默化中實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階。

二、立足目標(biāo)，分析路徑要素

北京師范大學(xué)教育學(xué)部張春莉教授認(rèn)為，學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維過程和對(duì)知識(shí)的表征方式，構(gòu)成了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)路徑分析的三個(gè)方面[3]40。對(duì)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的分析和研究是一切教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生思維過程的分析有助于教師安排合適的思維進(jìn)階路徑，而學(xué)生的表征方式往往反映出學(xué)生問題理解中思維層次的不同水平。下面從這三個(gè)方面進(jìn)行學(xué)習(xí)路徑分析。

（一）找準(zhǔn)起點(diǎn)——從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)

美國著名教育心理學(xué)家奧蘇貝爾指出：“如果我不得不把教育心理學(xué)的所有內(nèi)容簡(jiǎn)約成一條原理的話，我會(huì)說：影響學(xué)生學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已知的內(nèi)容。弄懂了這一點(diǎn)以后，進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)。”[3]40由此可見，兒童已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是兒童一切學(xué)習(xí)活動(dòng)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。研究學(xué)習(xí)路徑可以幫助教師知道學(xué)生學(xué)習(xí)處于怎樣的起點(diǎn)，分析學(xué)生的認(rèn)知局限性，利用認(rèn)知沖突更好地設(shè)計(jì)教學(xué)路徑。對(duì)于二年級(jí)學(xué)生而言，“雞兔同籠”是一個(gè)跳出其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的問題，條件和問題之間看似沒有直接的聯(lián)系，屬于結(jié)構(gòu)不良的一類。通過前測(cè)，我們發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生能用畫圖的方法湊出腿的條數(shù)解決這個(gè)問題。有些學(xué)生已經(jīng)在課外輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)學(xué)過這個(gè)問題，能通過列式得出正確的結(jié)果，但對(duì)于算式中的每一部分所表示的含義理解不夠，解釋不清楚。不少學(xué)生認(rèn)為算式“6÷2”中的“2”表示的是雞的兩條腿。

前測(cè)表明，兒童在這個(gè)問題面前不是一張白紙，過往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)使他們能夠借助直觀或生搬硬套解決問題。但必須承認(rèn)的是，兒童的思考是偏向無序的，基于記憶而不是基于理解的算式方法，和“幼者為本”的學(xué)習(xí)目標(biāo)背道而馳。也應(yīng)看到的是，雖然兒童的起點(diǎn)不同，有的離目標(biāo)遠(yuǎn)一點(diǎn)，有的離目標(biāo)近一點(diǎn)，但都是兒童通向真正理解的自然階梯。

（二）直觀表征——以適切的支架助力

“幼者為本”的學(xué)習(xí)觀照兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和思維基質(zhì)。根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論，這一年齡段兒童的思維處于具體運(yùn)算階段，兒童在這一階段的思維一般還不能離開具體事物的支持。因此，借助適切的支架讓兒童充分地活動(dòng)，對(duì)于他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解具有重要的意義。有學(xué)者認(rèn)為，向兒童提供支架旨在以外顯化方式或窄化選擇的形式降低其所面臨任務(wù)的復(fù)雜性，使學(xué)習(xí)任務(wù)的難度控制在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，使問題解決更具有可處理性[4]。在充分考慮二年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)后，筆者在教學(xué)時(shí)選擇了另一傳統(tǒng)經(jīng)典——“算盤”作為支架。五珠算盤構(gòu)造獨(dú)特，一顆上珠代表一個(gè)頭，四顆下珠代表四條腿，剛好契合了兩種小動(dòng)物的頭和腿這兩個(gè)數(shù)學(xué)元素。如此表征對(duì)二年級(jí)學(xué)生而言，直觀形象且簡(jiǎn)單生動(dòng)。學(xué)生在算盤上動(dòng)手撥一撥、比一比、添一添、減一減，直觀地看到雞、兔腿數(shù)的變化，既像是實(shí)驗(yàn)，又帶著“玩”的味道，在不知不覺中“玩”出模型的構(gòu)造，感知“雞兔同籠”問題背后所蘊(yùn)藏的假設(shè)的思想方法。

（三）思維進(jìn)階——以序列化活動(dòng)支撐

“幼者為本”的學(xué)習(xí)路徑應(yīng)尊重兒童數(shù)學(xué)思維的發(fā)展規(guī)律，以序列化活動(dòng)支撐知識(shí)建構(gòu)，把握兒童思維發(fā)展的軌跡。思維進(jìn)階是學(xué)習(xí)路徑的核心要素，也是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。它是針對(duì)思維水平層次而言，低階思維是向高階思維發(fā)展的基礎(chǔ)與前提。那么，為了有效推動(dòng)學(xué)生獲得高階思維能力，就要關(guān)注兒童思維發(fā)展的層次性和差異性，讓其在已有的低階思維基礎(chǔ)上展開具有創(chuàng)造性的序列化學(xué)習(xí)。從利用雞和兔的算盤表征直觀發(fā)現(xiàn)規(guī)律；到通過嘗試撥珠解決數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單的雞兔同籠問題，感受方法的多樣性和學(xué)習(xí)路徑的普適性；再到模型遷移，建構(gòu)起一類問題的思考模式……序列化學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)探究中逐層遞進(jìn)，以整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待知識(shí)的探究過程，淺入深出，由“知識(shí)的學(xué)習(xí)”深入到“數(shù)學(xué)地思維”，在長(zhǎng)時(shí)間的思考中實(shí)現(xiàn)思維的自覺和進(jìn)階。

三、以行為知，設(shè)計(jì)并實(shí)施學(xué)習(xí)任務(wù)

“幼者為本”的學(xué)習(xí)路徑是學(xué)生學(xué)習(xí)達(dá)到既定目標(biāo)的軌跡，也是學(xué)生學(xué)和教師教融為一體的師生相互作用的活動(dòng)。以行為知，教師基于學(xué)習(xí)目標(biāo)和兒童基質(zhì)實(shí)施一系列學(xué)習(xí)任務(wù)，在實(shí)踐中研究，在研究中思考，在思考中完善，師生共同參與，彼此在場(chǎng)，“知之”且“行之”。任務(wù)的實(shí)施過程從不同視角觀察，所見到的學(xué)習(xí)路徑不是單一的，而是交疊有序、螺旋上升的，是遵循兒童的理解規(guī)律自然發(fā)展的進(jìn)程。

（一）微觀視角：基于問題解決初識(shí)路徑，讓建構(gòu)有序

學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑應(yīng)當(dāng)是多元的。只要從適合學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)，能真正促進(jìn)學(xué)生的理解，就可以認(rèn)為是合理的學(xué)習(xí)路徑。微觀路徑是學(xué)生個(gè)體基于具體問題的操作方法，是學(xué)生解決問題的原始路徑，可能透著質(zhì)樸，卻是建構(gòu)兒童學(xué)習(xí)路徑的實(shí)踐基礎(chǔ)。“幼者為本”的學(xué)習(xí)路徑首先是個(gè)人建構(gòu)的過程，學(xué)生只有完成了自身知識(shí)的建構(gòu)，才能在集體交流中提供建議和素材，而不是被動(dòng)聽取別人的意見，從而在溝通完善中實(shí)現(xiàn)從個(gè)人建構(gòu)到社會(huì)建構(gòu)的過渡。

借助算盤表征，二年級(jí)的學(xué)生會(huì)如何解決“雞兔同籠”問題呢？“頭有5 個(gè)，腿有14 條，雞兔各幾只？”兒童的真實(shí)思考路徑可能是這樣的：5 只小動(dòng)物，就在算盤上撥5 顆上珠代表5 個(gè)頭；14 條腿如何撥？不確定。如果撥成全是雞，則共有10 條腿，發(fā)現(xiàn)比14 條少了4 條，需要再添4 條，把一些雞換成兔。如果撥成全是兔，則共有20 條腿，比14 條多了6 條，需要將一些兔各去掉2 條腿，直到剩下14 條腿。還有學(xué)生可能先撥1 只兔，4 只雞，算一算腿有12 條，少了2 條，只要給其中1 只雞加上2 條腿即可?！?/p>

以上方法是學(xué)生借助算盤獨(dú)立解決問題時(shí)可能想到的各種思路，真實(shí)有趣。每一種方法都是學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考后獲得的個(gè)體解決問題的路徑，然而卻只停留于“術(shù)”的層面，不能通過深度思考、交流碰撞形成解決一類問題的“道”，因此認(rèn)知建構(gòu)依然是不完整的。但同時(shí)需要明確的是，微觀路徑是提煉中觀路徑的基礎(chǔ)，只有從兒童真實(shí)的思考出發(fā)，進(jìn)一步的認(rèn)知完善和觀念形成才成為可能，才能從“只見樹木”走向“見樹木還見森林”。

（二）中觀視角：基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提煉路徑，讓經(jīng)歷增值

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是兒童為了解決數(shù)學(xué)問題，對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”操作的一種具身認(rèn)知活動(dòng)。中觀路徑是基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)顯現(xiàn)兒童的數(shù)學(xué)思考，由表至里、由此及彼，從解決一個(gè)問題到形成一種觀念的學(xué)習(xí)路徑。凸顯“幼者為本”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，除了基于實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，溝通方法結(jié)論，更應(yīng)讓兒童在探究過程中主動(dòng)提煉出“嘗試—調(diào)整—檢驗(yàn)”的中觀路徑，構(gòu)成認(rèn)知閉環(huán)。

1.嘗試——體驗(yàn)層級(jí)思考的并行互補(bǔ)

嘗試是兒童感知、認(rèn)識(shí)世界的第一步，是“幼者為本”的真實(shí)彰顯。葉圣陶先生認(rèn)為，最好的學(xué)習(xí)方法唯有讓學(xué)生自己去嘗試。嘗試是一種理念，也是一種精神，蘊(yùn)含著博大精深的教育價(jià)值和深刻的哲理。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，嘗試亦是知識(shí)建構(gòu)的前提和基礎(chǔ)，是學(xué)生個(gè)體思維的主動(dòng)發(fā)展。面對(duì)同一個(gè)問題，學(xué)生有著不同的認(rèn)知，思維層次有高有低，有的按部就班，有的則能發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系和巧妙的方法。不同的思維層次在知識(shí)建構(gòu)過程中所起到的作用是不同的。在個(gè)體獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上，如果為他們提供交流的機(jī)會(huì)，就能夠使之互相補(bǔ)充，更好地融會(huì)貫通。

教學(xué)時(shí)，在感受算盤表征、打通知識(shí)和工具之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生在算盤上撥出3只小動(dòng)物，這是一個(gè)開放性的嘗試，有4 種撥法。學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)撥法多樣化背后的規(guī)律——把1 只雞換成1 只兔，就會(huì)多2 條腿。接下來，以問題“頭有5 個(gè)，腿有14 條，雞兔各幾只？”為載體，讓學(xué)生在算盤上撥一撥嘗試解決。有了前面撥3 只小動(dòng)物的操作經(jīng)驗(yàn)，這一次撥，學(xué)生想出了許多不同的方法，比如先任意撥5 只小動(dòng)物，再根據(jù)腿的條數(shù)進(jìn)行調(diào)整；或者把小動(dòng)物全部想成雞或兔；或者先把腿的條數(shù)湊齊14 條……

誠然，在成人看來“嘗試”的方法是有優(yōu)劣的，但在每個(gè)孩子那里，他所采用的方法是基于他自身認(rèn)知水平所能想得到、用得著的好方法。所以，在“幼者為本”的教學(xué)中，我們讓每一種方法平行出現(xiàn)，基于直觀操作下的師生對(duì)話、生生對(duì)話，使每一個(gè)學(xué)生都能從別人的學(xué)習(xí)路徑中得到啟發(fā)，不斷拓寬自身的思維空間，在促進(jìn)全班社會(huì)建構(gòu)的同時(shí)，也完善了自身知識(shí)的建構(gòu)。

2.調(diào)整——驅(qū)動(dòng)思考路徑的建構(gòu)

兒童的學(xué)習(xí)活動(dòng)實(shí)質(zhì)是一種嘗試錯(cuò)誤、解決認(rèn)知沖突的知識(shí)建構(gòu)的過程。既然是嘗試，那就可能有對(duì)有錯(cuò)，接下來就要調(diào)整。調(diào)整是學(xué)習(xí)過程中遇到困難時(shí)的自然反應(yīng)。但是，為什么要調(diào)整、怎么調(diào)整、每一次調(diào)整的依據(jù)是什么，這樣一些思考在學(xué)生的頭腦中一定是真實(shí)發(fā)生的。而教師要做的，是通過關(guān)鍵問題的引領(lǐng)與激發(fā)，讓這些思考有層次地顯性化，建立起學(xué)習(xí)路徑與教學(xué)路徑之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地完成思考路徑的建構(gòu)。

在嘗試環(huán)節(jié)，有學(xué)生把5 只小動(dòng)物全部想成雞，發(fā)現(xiàn)少了4 條腿，需要調(diào)整。隨之而來的思考是：為什么會(huì)少了4 條腿？為什么要“2 條2 條地添”，這個(gè)“2 條”是什么意思？又有學(xué)生把5 只小動(dòng)物全部想成兔，發(fā)現(xiàn)多了6 條腿，調(diào)整時(shí)除了知道要“2 條2 條地減”，思考的層級(jí)提升了：能不能一下子就知道要把幾只兔換成雞？能不能用一道算式表示出你的調(diào)整過程？6÷2=3，這里的2 指的是什么？反觀整個(gè)調(diào)整過程，一方面，這些問題的提出聚焦每一次調(diào)整背后的道理，讓學(xué)生關(guān)注到調(diào)整的關(guān)鍵——“雞和兔相差的2 條腿”，知其然而又知其所以然。另一方面，不同的調(diào)整過程和依據(jù)，其中包含的思維層次是不同的。從“2 條2 條地?fù)堋钡健耙幌伦酉氲皆趺磽Q，并用一道算式表示”，呈現(xiàn)出的是由直觀形象到直觀想象的層級(jí)遞進(jìn)，以“幼者為本”的層級(jí)思考促進(jìn)不同思維層次的兒童在學(xué)習(xí)中完成相應(yīng)的認(rèn)知建構(gòu)。

3.檢驗(yàn)——催生思維品質(zhì)的凝練

檢驗(yàn)是對(duì)已解決問題的正確性的判斷，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最容易被忽視而又非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。兒童在問題得以解決后的第一反應(yīng)往往是放松，這會(huì)使他忘記“回頭看”，缺失對(duì)結(jié)果的辨析。因此，問題解決后要鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度判斷解答的正確性，發(fā)現(xiàn)思維過程中可能的誤區(qū)，發(fā)展學(xué)生的自我糾錯(cuò)能力。所以經(jīng)過調(diào)整、解決問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)檢驗(yàn)：對(duì)照條件，看看是不是5 個(gè)頭，是不是14 條腿，兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足。盡管多數(shù)學(xué)生都能找到正確的答案，但仍有些學(xué)生思考時(shí)會(huì)顧“頭”不顧“腿”，或者顧“腿”不顧“頭”，兩個(gè)條件沒能同時(shí)滿足。而借助檢驗(yàn)，這部分學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)問題之所在，通過繼續(xù)調(diào)整與再檢驗(yàn)，最終找到正確的答案。教學(xué)中，應(yīng)把“嘗試—調(diào)整—檢驗(yàn)”作為一個(gè)連貫的整體呈現(xiàn)，體現(xiàn)學(xué)習(xí)路徑的完整性?！坝渍邽楸尽币寖和趯W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的過程中，形成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和意識(shí)，促進(jìn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)的形成。

（三）宏觀視角：基于數(shù)學(xué)模型感悟路徑，讓思考結(jié)構(gòu)化

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑[1]10?，F(xiàn)實(shí)生活中有大量與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題，對(duì)于這些問題，“幼者為本”的學(xué)習(xí)路徑應(yīng)給予兒童更多的建構(gòu)時(shí)空，基于問題解決的過程“建?！保谏顔栴}的遷移“用?！?，基于新思考的延伸“釋模”，從宏觀上整體建構(gòu)起兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般路徑。

1.從方法之“術(shù)”到路徑之“道”，基于“幼者為本”建構(gòu)模型

老子曰：有道無術(shù)，術(shù)尚可求；有術(shù)無道，止于術(shù)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“術(shù)”即解決問題本身，從微觀層面獲得了一種解題的方法或技巧，而“道”則指向具有普適性和一般性的學(xué)習(xí)路徑，從宏觀層面建構(gòu)模型，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。“幼者為本”的學(xué)習(xí)不止關(guān)注作為“術(shù)”的方法，更期待兒童在學(xué)習(xí)過程中能主動(dòng)明晰一種探究知識(shí)、建構(gòu)模型的路徑，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。

課中，教師讓學(xué)生借助算盤嘗試主動(dòng)探究，在“交流—觀察—發(fā)現(xiàn)”中產(chǎn)生智慧碰撞，在“調(diào)整—檢驗(yàn)—再調(diào)整—再檢驗(yàn)”中反復(fù)思考，在“殊途同歸”面前感受路徑意義……此時(shí)，哪種方法最優(yōu)已經(jīng)不那么重要，重要的是兒童在經(jīng)歷操作、交流、觀察、比較等活動(dòng)過程中獲得了解決問題的愉快體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了一種思考模型的建構(gòu)，發(fā)現(xiàn)“嘗試—調(diào)整—檢驗(yàn)”學(xué)習(xí)路徑的普適性和一般性。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)是超越特定知識(shí)的，它比找到正確的答案更有價(jià)值，它是兒童未來學(xué)習(xí)中能夠被遷移的學(xué)習(xí)路徑。

2.從數(shù)學(xué)問題到生活問題，基于“幼者為本”理解遷移

模型是兒童體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，能促進(jìn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的遷移和具體情境下的理解應(yīng)用，提升解決問題的能力。從純數(shù)學(xué)問題到生活情境中的問題，正是基于“幼者為本”，充分考慮了兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，讓其在不同的情境中體會(huì)“相同”的問題結(jié)構(gòu)和分析思路，建立“同類”問題的知識(shí)框架，在主動(dòng)“用模”的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，形成牢固的思維模型。

解決了“雞兔同籠”問題后，教師提出：“生活中會(huì)把雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里嗎？”“那我們?yōu)槭裁催€要研究‘雞兔同籠’問題？”這兩個(gè)問題一下子將學(xué)生的視野拓寬。通過教師引導(dǎo)，學(xué)生想到了很多熟悉的生活場(chǎng)景，如停車場(chǎng)里的各種車，湖面上的雙人船和四人船，商店里的2 元和4 元雪糕等，初步感受到數(shù)學(xué)不僅好玩，還很有用。接著思考“6 輛車和20 個(gè)輪子”分別相當(dāng)于雞和兔的什么，在具體事件中形成相關(guān)信息的勾連，幫助學(xué)生理解不同情境的問題中都有著相同的內(nèi)核，進(jìn)一步豐富相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)，在真實(shí)情境中感受模型遷移的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)思維水平的提升。

3.從問題解決到思考延伸，基于“幼者為本”主動(dòng)生發(fā)

“幼者為本”的思考始終指向數(shù)學(xué)問題的延展性和可能性，讓兒童不斷站在新的思考起點(diǎn)，主動(dòng)生發(fā)探尋的內(nèi)驅(qū)力。把古算題引入課堂，不只是帶給學(xué)生一些有趣的人物和故事，更重要的是這些故事背后的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和精神。這些能讓學(xué)生在經(jīng)典問題的探索中受到文化感染并產(chǎn)生共鳴，體會(huì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的魅力，生發(fā)出更多的思考。在探究接近尾聲時(shí)，教師讓學(xué)生猜一猜：“這些雞和兔在這個(gè)籠子里住了多少年？”引出1500 多年前的經(jīng)典古算題，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)史的角度，找到這個(gè)問題的本源。此時(shí)，新的問題又出現(xiàn)了：古算題中，雞兔共有35 個(gè)頭，算盤長(zhǎng)度顯然不夠，撥不下了，該怎么辦？并進(jìn)一步提出，如果把“雞和兔”換成“烏龜和螃蟹”，每一檔的算珠也不夠了，又該怎么辦？古人又是如何解決這個(gè)問題的呢？……啟發(fā)學(xué)生的思考繼續(xù)延伸。故而問題解決又成了新的思考的起點(diǎn)。

兒童的學(xué)習(xí)路徑不是唯一的。從一個(gè)主題出發(fā)，構(gòu)建兒童學(xué)習(xí)的一般路徑，是主題學(xué)習(xí)的需要，更是兒童學(xué)習(xí)的需要。如果我們打開視野，會(huì)發(fā)現(xiàn)有更多的路徑，如問題引領(lǐng)下的探索性學(xué)習(xí)、自學(xué)基礎(chǔ)上的分享式學(xué)習(xí)、基于主題研究的實(shí)踐性學(xué)習(xí)等。更多的課堂形態(tài)和學(xué)習(xí)路徑需要在實(shí)踐中進(jìn)一步探究、凝練，從而真正實(shí)現(xiàn)“為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人”。