動態(tài)邏輯的雙重性：程序化與結(jié)構(gòu)化

郝一江

（中國社會科學(xué)院哲學(xué)研究所，北京 100732）

現(xiàn)代邏輯學(xué)是信息時(shí)代的核心基礎(chǔ)理論。王元元教授在其專著《計(jì)算機(jī)科學(xué)中的現(xiàn)代邏輯學(xué)》中指出：現(xiàn)代邏輯學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)是“天生的同盟軍，分別作戰(zhàn)在基礎(chǔ)理論和實(shí)用技術(shù)兩條戰(zhàn)線”；“現(xiàn)代邏輯求助數(shù)學(xué)——符號化，現(xiàn)代邏輯追隨數(shù)學(xué)——公理化，現(xiàn)代邏輯改造數(shù)學(xué)——形式化”[1]。簡言之，現(xiàn)代邏輯學(xué)具有符號化、公理化、形式化這三個(gè)普遍性質(zhì)。作為現(xiàn)代邏輯學(xué)的主要分支學(xué)科的動態(tài)邏輯，不但具有這三個(gè)普遍特征，而且還具有程序化特征和結(jié)構(gòu)化特征。動態(tài)邏輯之所以具有程序化和結(jié)構(gòu)化的雙重性，其根本原因就是現(xiàn)代邏輯的數(shù)學(xué)化。

關(guān)于數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系問題，布爾學(xué)派指出：“邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支”；弗雷格學(xué)派則堅(jiān)稱：“數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的一個(gè)分支”[2]；羅素認(rèn)為：近代以來，“邏輯更數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)更邏輯化”，“事實(shí)上二者也確實(shí)是一門學(xué)科”。[3]以上這些觀點(diǎn)其實(shí)都從不同角度揭示了數(shù)學(xué)與邏輯的本質(zhì)及其交互規(guī)定：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是邏輯，邏輯的本質(zhì)是數(shù)學(xué)；這種共同而有區(qū)別的本質(zhì)不但為數(shù)學(xué)史所驗(yàn)證，也為邏輯史乃至于哲學(xué)史所驗(yàn)證。因此，對邏輯的哲學(xué)思考，亦是對數(shù)學(xué)的哲學(xué)思考。

由于數(shù)學(xué)與邏輯交互規(guī)定，互相構(gòu)成對方的本質(zhì)，因此動態(tài)邏輯具有數(shù)學(xué)所具有的普遍特征，如：符號化、公理化、形式化。此外，數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了微積分、實(shí)變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論的時(shí)代，泛函分析主導(dǎo)拓?fù)渑c抽象代數(shù)的時(shí)代，數(shù)學(xué)語言的本體論基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)系統(tǒng)和集合論，連續(xù)的直線已經(jīng)完成了時(shí)間化和離散性重構(gòu)，動態(tài)邏輯的語言也實(shí)現(xiàn)了離散化，這為動態(tài)邏輯的程序化和結(jié)構(gòu)化打開了通道。

一、數(shù)學(xué)與邏輯的交互規(guī)定

在影響數(shù)學(xué)與邏輯交互規(guī)定、交互解釋、交互表征的所有因素中，語言處于樞紐地位，發(fā)揮決定性作用，語言是數(shù)學(xué)與邏輯的基礎(chǔ)框架，任何有意義的數(shù)學(xué)與邏輯表達(dá)式，都在語言之中按照語法規(guī)則構(gòu)成，正是在這個(gè)意義上語法規(guī)則稱為形成規(guī)則[4]9。數(shù)學(xué)與邏輯的語法構(gòu)成推動了數(shù)學(xué)與邏輯的歷史展開，語言的因素導(dǎo)致數(shù)學(xué)與邏輯互相構(gòu)成對方的本質(zhì)[5]15。

根據(jù)胡塞爾的《邏輯研究》，廣義的邏輯除了命題層次的形式邏輯，還有對象層次的形式本體論。在這個(gè)宏大的歷史視野中，集合論的創(chuàng)立及其對于數(shù)學(xué)的重構(gòu)就有了超越數(shù)學(xué)史的哲學(xué)意義。幾何研究的圖形和代數(shù)研究的數(shù)都是名詞命名的對象，而集合論研究的集合是命題表征的概念，它們屬于完全不同類型的語法和意義范疇，名詞不是表達(dá)意義的完整的語言單位，命題卻是這樣的語言單位，因此集合論在歷史上第一次把存在納入了意義的范疇，使存在從屬于概念而成為概念的衍生樣式[6]83。

存在與本質(zhì)是概念的變化形態(tài)，因此它們成為概念的內(nèi)部環(huán)節(jié)；概念不是事物不是對象，概念是語言的意義，因此存在與本質(zhì)脫離了事物，被提升到語言的境界。意義獲得了自身的存在和本質(zhì)，既是對語言的提升又是對存在的充實(shí)，語言不但擁有了自己的意義與概念，而且擁有了自己的存在與本質(zhì)[6]87。

集合論第一次讓人們看清了這樣的事實(shí)：無論數(shù)學(xué)還是邏輯都是一種語言現(xiàn)象，一種由語法的構(gòu)成所體現(xiàn)出來的意義的建構(gòu)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的宏偉大廈，乃至于整個(gè)科學(xué)大廈，都是建立在對符號及其語法構(gòu)成的深刻而清澈的直覺的基礎(chǔ)上，建立在對符號的語法構(gòu)成所引發(fā)的推理鏈條的深刻而清澈的直覺的基礎(chǔ)上[4]14。

由于數(shù)學(xué)是科學(xué)的先行籌劃與先行規(guī)定，因此科學(xué)也是鑲嵌在語言及其語法之中的，從而成為歷史、文化和意識形態(tài)的一個(gè)片段。在這種意義上我們可以回應(yīng)羅素，數(shù)學(xué)乃至于所有科學(xué)，其本質(zhì)和邏輯一樣與希臘文有關(guān)，都是建立在對希臘文的語法及其產(chǎn)生的推理鏈條的理性直覺之上，正是通過對語言和語法及其邏輯的直覺，數(shù)學(xué)和科學(xué)通過意義的道路切入了存在問題，進(jìn)入了時(shí)間和歷史之中，因而打開了文化和意識形態(tài)的視野[5]20。

在邏輯實(shí)證主義奉為圭臬的《邏輯哲學(xué)論》中，維特根斯坦提出了可以顯示不可言說的思想，為邏輯的形式化劃出了一條界限。接下來哥德爾以其著名的不完全性定理驗(yàn)證了維特根斯坦的直覺思想，分析哲學(xué)及其數(shù)理邏輯在命題層次對數(shù)學(xué)所做的形式化表征與刻畫是不完全的，形式化不但不能消除直覺，而且必須依靠直覺以獲得其意義與解釋。這就是《存在與時(shí)間》第33節(jié)的主題和標(biāo)題：“命題——解釋的衍生樣式”，謂詞的解釋與構(gòu)成功能先于謂詞的表述與判斷功能，謂詞對于約束變元的建構(gòu)使得命題成為可能，謂詞對于變元的建構(gòu)形成了結(jié)構(gòu)，在本體論上結(jié)構(gòu)不是事物而是事實(shí)，因此維特根斯坦認(rèn)為，世界是事實(shí)的總和，不是事物的總和。維特根斯坦的事實(shí)的本體論為海德格爾的此在分析所拓展，《存在與時(shí)間》第70節(jié)“此在式空間性的時(shí)間性”進(jìn)一步明確了：所謂事實(shí)的本體論是植根于此在的時(shí)間性的空間結(jié)構(gòu)，支撐這種空間建構(gòu)的語法過程是謂詞的解釋行為，這與支撐命題構(gòu)成的圖象行為屬于迥然不同的語法類型，正是在這種意義上，根據(jù)在其背后作為支撐的不同語法類型，維特根斯坦劃分了命題與事實(shí)：命題是事實(shí)的圖象[6]83-87。

20世紀(jì)60年代，奎因發(fā)現(xiàn)，就在符號邏輯的形式化語言中，存在通向本體論及其語言和語法建構(gòu)的邏輯通道，這就是其著名的論題：存在就是作為約束變元的值。這樣整個(gè)數(shù)理邏輯的理論成就，經(jīng)過數(shù)學(xué)哲學(xué)的范式轉(zhuǎn)換，都可以進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的存在建構(gòu)，就在這種從表述到解釋語法的轉(zhuǎn)換中，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)特征自然地呈現(xiàn)出來。

二、動態(tài)邏輯的程序化特征

程序不僅是計(jì)算機(jī)能夠識別和執(zhí)行的指令，而且也是表征輸入/輸出數(shù)據(jù)關(guān)系的形式語言。動態(tài)邏輯是多個(gè)程序邏輯的總稱，能夠?qū)Τ绦虻妮斎?輸出行為進(jìn)行形式化表示和推理的多模態(tài)邏輯[7]133。動態(tài)邏輯的兩個(gè)核心系統(tǒng)是命題動態(tài)邏輯和量化動態(tài)邏輯[8]。動態(tài)邏輯及其擴(kuò)展邏輯可以對Agent（智能體）行為決策、行為規(guī)劃和行為學(xué)習(xí)等進(jìn)行表征和推理。

動態(tài)邏輯是關(guān)于程序的多模態(tài)邏輯，是由多個(gè)系統(tǒng)組成的豐富家族，是用每個(gè)程序的一個(gè)給定模態(tài)詞對經(jīng)典邏輯加以擴(kuò)展而得到的[7]xi，因此動態(tài)邏輯是程序化的多模態(tài)邏輯，具有明顯的程序化特征。例如：

在命題動態(tài)邏輯中，用程序設(shè)計(jì)語言的程序來填充模態(tài)算子[]（即box算子）。[a]φ表示：執(zhí)行程序a并在滿足狀態(tài)φ時(shí)停機(jī)是必然的；[a]φ也可理解為：在每次執(zhí)行程序a后，公式φ為真。除了原子程序可以填充box算子外，由選擇算子∪、合成算子；測試算子?和迭代算子*這四類程序復(fù)合算子構(gòu)造的復(fù)雜程序也可以填充box算子[7]164-170。[a∪β]φ表示：在每次不確定地執(zhí)行程序a或β之后，公式φ為真。[a;β]φ表示：在每次“先執(zhí)行程序a，然后執(zhí)行程序β”之后，公式φ為真。[a]*多次重復(fù)執(zhí)行程序a之后，公式φ為真。

帶有正則程序（regular program）的命題動態(tài)邏輯的三個(gè)初始算子“；∪和*”都是正則表達(dá)式，程序是在原子程序和測試上的正則表達(dá)式。其命題和程序是由原子命題、原子程序，通過命題否定算子（ 00）、命題蘊(yùn)涵算子（→）和以上四個(gè)程序復(fù)合算子遞歸得到的；而且利用這6個(gè)算子可以得到所有的while程序。其程序和命題的定義也可以相互遞歸，具體地說：如果φ和ψ是命題，a和β是程序，那么φ→ψ、 00和[a]φ是命題，而a∪β、α;β、φ？和a*都是程序[7]169-170。

由此可見，動態(tài)邏輯使用了各種程序算子，它的一些邏輯公式本身就是面向?qū)ο蟮某绦蛘Z言，因而動態(tài)邏輯具有程序化特征。此外，動態(tài)邏輯的一些變種也具有程序化特征。例如帶有程序量詞的命題動態(tài)邏輯[9]、帶有互模擬程序的命題動態(tài)邏輯[10]、帶有Petri網(wǎng)的命題動態(tài)邏輯[11]、帶有有窮多個(gè)量詞的命題動態(tài)邏輯[12]、帶有存儲、恢復(fù)和并行合成算子的命題動態(tài)邏輯[13]、能夠?qū)gent能力進(jìn)行推理的類型命題動態(tài)邏輯[14]、能夠?qū)gent規(guī)劃修訂進(jìn)行推理的擴(kuò)展命題動態(tài)邏輯[15]等都具有程序化特征。

三、動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)化特征

由于集合論對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的無所不在的廣泛影響，及其對數(shù)學(xué)研究方式和數(shù)學(xué)思想觀念的深刻變革，結(jié)構(gòu)主義從20世紀(jì)以來逐漸占據(jù)了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的主導(dǎo)地位，并且產(chǎn)生了溢出效應(yīng)，從而使得“從結(jié)構(gòu)的角度觀察邏輯的特征”成為可能：從語法上看，形式化的邏輯系統(tǒng)是不同符號按照各種關(guān)系組成的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)可以通過元數(shù)學(xué)加以研究；從語義上看，所有邏輯命題都是通過定義在集合之上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加以解釋；從語法和語義的關(guān)系來看，邏輯系統(tǒng)的元邏輯性質(zhì)由這兩種結(jié)構(gòu)的關(guān)系決定，一個(gè)邏輯系統(tǒng)是可靠的，當(dāng)其語法結(jié)構(gòu)不表達(dá)其語義結(jié)構(gòu)以外的信息；一個(gè)邏輯系統(tǒng)是完全的，當(dāng)其語義結(jié)構(gòu)的信息都由其語法結(jié)構(gòu)表達(dá)出來。

動態(tài)邏輯是在集合論和模態(tài)邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的多個(gè)程序邏輯的總稱。集合論不但是動態(tài)邏輯的基本語言，也是定義數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的前提和產(chǎn)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)與載體，因此，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對于動態(tài)邏輯的滲透是全方位的，無論是在語法上還是在語義上，以及語法和語義的關(guān)系上。在語法上，動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)特征是非常明顯的，動態(tài)邏輯中的諸多規(guī)則本身就是結(jié)構(gòu)性規(guī)則。例如：能夠?qū)gent能力進(jìn)行推理的類型命題動態(tài)邏輯tPDL給出的Gentzen系統(tǒng)中的規(guī)則，分離規(guī)則、必然性規(guī)則、否定規(guī)則、導(dǎo)出規(guī)則、切割規(guī)則、交換規(guī)則、縮并規(guī)則、弱化規(guī)則、傳遞閉包規(guī)則、循環(huán)不變性規(guī)則等，都是結(jié)構(gòu)性規(guī)則[14]。

在語法和語義的關(guān)系上，結(jié)構(gòu)的作用體現(xiàn)在完全性和可靠性等元邏輯性質(zhì)的證明上，當(dāng)語法結(jié)構(gòu)的表達(dá)力強(qiáng)于語義結(jié)構(gòu)的表達(dá)力時(shí)，動態(tài)邏輯具備完全性而不具備可靠性，當(dāng)語義結(jié)構(gòu)的表達(dá)力強(qiáng)于語法結(jié)構(gòu)的表達(dá)力時(shí)，動態(tài)邏輯具備可靠性而不具備完全性，當(dāng)語法結(jié)構(gòu)的表達(dá)力等于語義結(jié)構(gòu)的表達(dá)力時(shí)，動態(tài)邏輯同時(shí)具備完全性和可靠性。例如，利用動態(tài)邏輯及其擴(kuò)展對Agent的各種行為進(jìn)行形式刻畫或建模，其實(shí)質(zhì)是形式化地描摹決定Agent的各種行為因素的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。利用類型命題動態(tài)邏輯τPDL對Agent能力進(jìn)行描述時(shí)，首先使用能力語句、先決條件-效果結(jié)構(gòu)和向后可能算子對標(biāo)準(zhǔn)命題動態(tài)邏輯PDL進(jìn)行擴(kuò)展得到τPDL，通過建立有窮模型性質(zhì)，利用標(biāo)準(zhǔn)的濾過技術(shù)，在擴(kuò)展的Fisch?er-Ladner閉包映射的基礎(chǔ)上，可以證明τPDL系統(tǒng)的可判定性，給出τPDL邏輯的證明系統(tǒng)，并可以研究其可靠性和完全性，并且可以把τPDL邏輯應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)服務(wù)組合[14]。上述一系列的證明步驟離不開對邏輯系統(tǒng)的構(gòu)造，離不開對解釋系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，離不開對系統(tǒng)的表達(dá)力與解釋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)的表達(dá)力的衡量，因?yàn)樵谠獢?shù)學(xué)中，邏輯系統(tǒng)也是定義在有窮或者無窮集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是在語法意義上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

最能體現(xiàn)動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)化特征的還是語義方面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在語義方面動態(tài)邏輯涉及到各種各樣的結(jié)構(gòu)[7]，如：克里普克結(jié)構(gòu)、樹狀結(jié)構(gòu)、Adian結(jié)構(gòu)、表征結(jié)構(gòu)、有窮結(jié)構(gòu)、無窮結(jié)構(gòu)，等等。這些都是定義在有窮或者無窮集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體而言：

（1）動態(tài)邏輯的語義源于模態(tài)邏輯的語義，動態(tài)邏輯的程序和命題都可以在克里普克框架結(jié)構(gòu)上加以解釋，而克里普克框架的具體結(jié)構(gòu)及其包含的元數(shù)的個(gè)數(shù)都是由所涉及集合上定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定的。

（2）可以給出量化動態(tài)邏輯在算術(shù)結(jié)構(gòu)上的解釋性推理[7]308-311。事實(shí)上，任意動態(tài)邏輯的結(jié)構(gòu)都可以通過添加適當(dāng)?shù)木幋a和解碼功能對算術(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展而得到；而且每個(gè)自然數(shù)集上的結(jié)構(gòu)都可以擴(kuò)展成算術(shù)結(jié)構(gòu)。

（3）動態(tài)邏輯表達(dá)力的強(qiáng)弱依賴于“該邏輯是在哪種結(jié)構(gòu)中加以解釋”。例如：當(dāng)對所有結(jié)構(gòu)進(jìn)行統(tǒng)一解釋時(shí)，一階邏輯、量化動態(tài)邏輯、正則量化動態(tài)邏輯、帶有富測試的量化動態(tài)邏輯形成了一個(gè)表達(dá)力越來越強(qiáng)的邏輯序列。但是在任意算術(shù)結(jié)構(gòu)上，前三種邏輯的表達(dá)力是一樣的，最后一種邏輯的表達(dá)力比前三種邏輯強(qiáng)[7]308-311。

（4）動態(tài)邏輯可以對有窮結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼。例如，可以對“如線性序排列的一階有窮詞庫S中的”有窮結(jié)構(gòu)S進(jìn)行編碼，進(jìn)而可以研究結(jié)構(gòu)S1與結(jié)構(gòu)S2是否同構(gòu)。研究表明：富詞庫與窮詞庫的主要區(qū)別在于：富詞庫允許具有“給定有窮基數(shù)而且具有指數(shù)多個(gè)兩兩不同構(gòu)的”結(jié)構(gòu)，而窮詞庫僅僅允許“給定有窮基數(shù)而且具有多項(xiàng)式個(gè)兩兩不同構(gòu)的”結(jié)構(gòu)[7]319-320。事實(shí)上，同構(gòu)概念本身就是比較作為論域的集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。

（5）動態(tài)邏輯中的一些定義都是在某種結(jié)構(gòu)中加以定義的。例如：一個(gè)程序α可以在結(jié)構(gòu)S中展開（unwind），當(dāng)且僅當(dāng)，存在 m?N（N是自然數(shù)集）且存在有窮計(jì)算序列 σ1,...,σm?CS(α)，使得 f(α)=f(σ1)∪…∪f(σm)，其中CS(α)是可枚舉的有窮計(jì)算序列集，f是意義函數(shù)。這一定義就是在結(jié)構(gòu)這一概念上加以定義[7]344。

（6）動態(tài)邏輯中的一些命題需要借助結(jié)構(gòu)這一概念才能夠加以闡述的。例如，動態(tài)邏輯的如下命題：“如果S是一個(gè)不帶有真子結(jié)構(gòu)的無窮結(jié)構(gòu)，則NEXT0在S中不展開”[7]344-347。闡釋這一命題需要借助真子結(jié)構(gòu)和無窮結(jié)構(gòu)這兩個(gè)概念。

（7）動態(tài)邏輯中的諸多歸納證明，都是施歸納于解釋動態(tài)邏輯的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如：能夠?qū)gent能力進(jìn)行推理的類型命題動態(tài)邏輯關(guān)于濾過引理的證明，同時(shí)施歸納于公式ψ或類型A以及良基FL-子公式關(guān)系的結(jié)構(gòu)[14]。由此可見，在語義方面，動態(tài)邏輯不但涉及各種各樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而且這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)所的作用也是多種多樣的。

四、結(jié)束語

對于動態(tài)邏輯來說，無論是其與現(xiàn)代邏輯各分支共有的普遍特征，如：符號化、公理化、形式化，還是其獨(dú)有特征（即程序化、結(jié)構(gòu)化），這些特征的根源都在于：數(shù)學(xué)與邏輯的交互規(guī)定，數(shù)學(xué)與邏輯互相構(gòu)成對方的本質(zhì)，以及數(shù)學(xué)內(nèi)部代數(shù)與幾何的根本矛盾，這種矛盾所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)的歷史階段和體系結(jié)構(gòu)——幾何、代數(shù)、微積分。微積分統(tǒng)一了代數(shù)與幾何，作為微積分基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)系統(tǒng)和集合論統(tǒng)一了時(shí)間和空間，實(shí)現(xiàn)了空間的時(shí)間化和時(shí)間的空間化，這樣就開啟了通過離散表征連續(xù)的人工智能時(shí)代，以集合論為語言、具有程序化和結(jié)構(gòu)化特征的動態(tài)邏輯成為這個(gè)時(shí)代典型的標(biāo)記。