高考中常見(jiàn)比較大小問(wèn)題的分類例析

范習(xí)昱

(江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 212143)

比較數(shù)或式的大小是高考選擇題的?？?，從命題角度來(lái)看，雖然起點(diǎn)低，學(xué)生上手快，但有的題并不簡(jiǎn)單；從內(nèi)容上看，這類題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算、基本初等函數(shù)(冪指對(duì)函數(shù))的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等；從解題策略上看，具有豐富靈活的特點(diǎn)，主要利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造特征函數(shù)利用單調(diào)性、作差法和作商法、以及不等式的性質(zhì)和基本不等式原理求解.

1 指數(shù)式或?qū)?shù)式背景下的大小比較

例1 (2013年全國(guó)文科新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)a=log32，b=log52，c=log23，則( ).

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

解析由題意可知：

a=log32∈(0,1)，

b=log52∈(0,1)，

c=log23∈(1,+∞)，

即c>a>b.

故選D.

反思比較指數(shù)式的大小常常根據(jù)指數(shù)的結(jié)構(gòu)來(lái)判斷，如果兩個(gè)數(shù)指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果兩個(gè)數(shù)指數(shù)和底數(shù)都不同，有時(shí)需要借助中間數(shù)(比如1)來(lái)傳遞判斷.涉及到對(duì)數(shù)比較大小時(shí)，如果底數(shù)相同，可以利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決；如果底數(shù)不相同，可以用換底公式、基本不等式以及不等式的性質(zhì)綜合加以判斷.如果涉及指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的綜合比較大小時(shí)，也要借助中間數(shù)(比如1或0)來(lái)傳遞加以判斷.

2 等式條件下的大小比較

例2 (2017年全國(guó)理科新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

解析令2x=3y=5z=k(k>1)，則

x=log2k，y=log3k，z=log5k.

則2x>3y.

則2x<5z.

故選D.

反思在等式條件下進(jìn)行大小比較，需要考查等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，方法并不單一，非常靈活.可考慮利用待定系數(shù)的方法，先解出未知數(shù)，作商比較，也可以采用賦值特殊法比較.

3 不等條件下的大小比較

例3 (2016年全國(guó)理科新課標(biāo)Ⅰ卷)若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

解析因?yàn)閍>b>1，0bc，故A錯(cuò)；

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=xc-1在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故ac-1bac，故B錯(cuò)；

因?yàn)?<-logac<-logbc，故-blogac<-alogbc，

即blogac>alogbc，即alogbc

故C正確.

例4 (2020年全國(guó)文科新課標(biāo)Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解析由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t，因?yàn)閥=2x為R上的增函數(shù)，所以y=3-x為R上的減函數(shù)，所以f(t)為R上的增函數(shù).所以x1.所以ln(y-x+1)>0.則A正確，B錯(cuò)誤.因?yàn)閨x-y|與1的大小不確定，故C，D無(wú)法確定.

反思在不等條件下比較大小，也要關(guān)注不等條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，而采用不同的方法.最常見(jiàn)的是利用函數(shù)的單調(diào)性或者特殊值法求解，也可以利用不等式的性質(zhì)求解，可根據(jù)不等式的特征構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性加以判斷求解.當(dāng)然，更多情況是綜合運(yùn)用這些方法，這也是高考命題關(guān)注學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)性、交匯性的體現(xiàn).

4 與函數(shù)交匯下的大小比較

例5 (2017年天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，則a，b，c的大小( ).

A.a

C.b

解析由題意g(x)為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以a=g(-log25.1)=g(log25.1).又2=log24

故選C.

反思與函數(shù)交匯下的大小比較，其根本求解策略是利用函數(shù)的單調(diào)性，先比較自變量取值的大小，再比較函數(shù)值的大小.

5 基本不等式背景下的大小比較

例6 (2020年上海單選13)下列不等式恒成立的是( ).

A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2ab

解析由基本不等式可知a2+b2≥2ab，故A不正確；

a2+b2≥-2ab，即a2+b2+2ab≥0，即(a+b)2≥0恒成立，故B正確；

當(dāng)a=-1,b=-1時(shí)，不等式不成立，故C不正確；

當(dāng)a=0,b=-1時(shí)，不等式不成立，故D不正確.

故選B.

例7 (2020年山東多選11)已知a>0，b>0，且a+b=1，則( ).

對(duì)于B，a-b=2a-1>-1，

對(duì)于D，因?yàn)?/p>

故選ABD.

反思在基本不等式背景下比較大小，應(yīng)該說(shuō)更多的是在考查基本不等式的運(yùn)用，這里單獨(dú)作為一類分析，一是考慮行文的整體性，二是考慮高考命題的綜合性.求解比較大小的問(wèn)題，以上策略往往需要綜合考量.

6 數(shù)列背景下大小比較

例8 (2015年浙江)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列，則( ).

A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

解析由a3,a4,a8成等比數(shù)列可得：

(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d).

即3a1+5d=0.

所以a1d<0.

=2d(2a1+3d)

故選B.

反思在數(shù)列背景下進(jìn)行大小比較自然首要關(guān)注的是數(shù)列本身知識(shí)的運(yùn)用，這里要回歸大小比較的本源，就是作差法和作商法的運(yùn)用.考慮到行文的整體性，我們把這一類也整理出來(lái).

以上六類幾乎囊括了高考中比較兩數(shù)或兩式大小的全部類型，這類題難度一般不大，但內(nèi)涵豐富、外延廣泛，綜合性強(qiáng)，解題策略靈活多變，對(duì)考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求很高，高三師生要引起高度重視.