八省聯(lián)考和江蘇數(shù)學(xué)試卷比較研究

陳穎揚(yáng) 代趙玉 魏俊潮

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225002)

江蘇高考從2021年起將采用全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷，這對(duì)自主命題長(zhǎng)達(dá)18年之久的江蘇省高中數(shù)學(xué)教育而言，是一場(chǎng)巨大的挑戰(zhàn).2021年1月23日，江蘇省聯(lián)合河北、遼寧、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等進(jìn)行了新高考模式統(tǒng)一考試，是江蘇考生參加全國(guó)高考前的熱身.江蘇卷和八省聯(lián)考在題型設(shè)置、分值分布、考點(diǎn)內(nèi)容等方面都有所差異.據(jù)此，本文將根據(jù)兩卷的試卷結(jié)構(gòu)、模塊分值進(jìn)行對(duì)比，分析模塊命題，提出相應(yīng)的教學(xué)與復(fù)習(xí)對(duì)策.

1 試卷結(jié)構(gòu)

可以看出，兩卷總分值不一樣.八省聯(lián)考貫徹全國(guó)卷分值模式，總分為150分，而近十幾年來(lái)江蘇卷通常分為Ⅰ卷和附加Ⅱ卷(選做題加必做題)，滿分共200分.除此之外，八省聯(lián)考和江蘇卷的試卷分值分配也存在很大的差別.江蘇卷沒(méi)有選擇題，填空題分值為70分.相對(duì)應(yīng)的八省聯(lián)考填空題分值較小而選擇題分值較大，分為單選和多選兩類.從解答題方面來(lái)看，江蘇卷分值為90+40分，分為必做題和附加題，其中附加題還包含3選2的選做題和2道必做題.江蘇卷的解答題題量大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平有很高的要求.值得注意的是，八省聯(lián)考趨近于全國(guó)卷模式，解答題都為必做題，無(wú)附加題.解答題的分值僅為70分，且不含有選做題，整體分值向客觀題傾斜，選擇與填空相比于解答題的難度可得到有效控制.

表1

2 模塊分值分布

根據(jù)2017年普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，筆者將主要從函數(shù)、數(shù)列與不等式、向量與立體幾何、解析幾何、計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)等五大模塊分析兩卷命題差異.

表2

從種類來(lái)看，江蘇卷多了一個(gè)3選2的選考模塊，分別從三本必修書(shū)中選取部分知識(shí)作為考題，供學(xué)生選做，而八省聯(lián)考中無(wú)選考模塊.從分值占比來(lái)看，八省聯(lián)考占比增加的模塊有向量與立體幾何、解析幾何、計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)，占比減少的模塊有函數(shù)、數(shù)列與不等式，以及選考模塊.兩卷中數(shù)列、向量與立體幾何、計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)分值等三大模塊分值占比懸殊.

3 模塊命題分析

3.1 函數(shù)

兩卷的分值占比、考查方式基本一致，都為4個(gè)小題和1或2個(gè)大題.八省聯(lián)考4個(gè)小題均為基礎(chǔ)題，主要考查函數(shù)與方程、函數(shù)零點(diǎn)、三角函數(shù)的周期性和奇偶性等；函數(shù)大題作為壓軸，難度較大，在考生群體中有明顯的區(qū)分度.同樣地，江蘇卷大題一般也作為壓軸題出現(xiàn)，考查學(xué)生解決問(wèn)題和邏輯推理能力.

3.2 數(shù)列

與江蘇卷相比，八省聯(lián)考對(duì)數(shù)列的關(guān)注度有所降低，數(shù)列模塊所占卷面分值僅7%.本次聯(lián)考選擇填空中沒(méi)有考查數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，只有大題第一題考查等比數(shù)列的簡(jiǎn)單證明和利用待定系數(shù)法構(gòu)造求通項(xiàng)，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力.而歷年來(lái)江蘇卷通?？疾?小1大數(shù)列題目，小題一般是基礎(chǔ)填空題，考查數(shù)列的遞推式和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，大題涉及的內(nèi)容有數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、求和，有些壓軸題還考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的構(gòu)造法、放縮法、錯(cuò)位相減法、倒序相加、裂項(xiàng)相消等，考查學(xué)生的代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力.

3.3 向量與立體幾何

從分值來(lái)看，八省聯(lián)考考查3小2大的題量，占卷面總分比26%，比江蘇卷高了6個(gè)百分點(diǎn).從難度來(lái)看，江蘇卷的向量與立體幾何一般考查基礎(chǔ)，考查內(nèi)容為向量的數(shù)量積、基本立體圖形性質(zhì)及空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等，考查空間想象、推理能力和數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.本次八省聯(lián)考小題考查了向量的數(shù)量積、正方體的性質(zhì)、圓臺(tái)的體積公式，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.特別地，此次大題一改常規(guī)，考查的是立體幾何的新定義問(wèn)題，學(xué)生能夠正確理清題意是解題的關(guān)鍵，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)具有一定的要求.

例1(2021年八省聯(lián)考20)北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容、用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定:多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.

(1)求四棱錐的總曲率;

(2)若多面體滿足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2.證明:這類多面體的總曲率是常數(shù).

3.4 解析幾何

與江蘇卷相比，八省聯(lián)考對(duì)該模塊的小題考查明顯較多，需給予關(guān)注.八省聯(lián)考考查了圓錐曲線離心率計(jì)算、有關(guān)角的計(jì)算、直線斜率求解以及圓的切線方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，難度和江蘇卷差異不大，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力水平在該模塊有很大的體現(xiàn).要求學(xué)生具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題、推理論證和運(yùn)算能力.

3.5 計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)

與江蘇卷相比，八省聯(lián)考多考查一道小題，分值占比提升了八個(gè)百分點(diǎn)，需要重點(diǎn)關(guān)注.本次八省聯(lián)考考查知識(shí)點(diǎn)有古典概型、組合公式、正態(tài)分布、對(duì)立事件概率分布列及數(shù)學(xué)期望等，著重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、分析問(wèn)題和運(yùn)算求解能力，難度適中，屬于簡(jiǎn)單題和中檔題.而近年來(lái)江蘇卷的知識(shí)考查涉及平均數(shù)、方差、古典概型、排列組合、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)、隨機(jī)變量分布列等內(nèi)容，考查學(xué)生推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化思想，會(huì)有壓軸難題出現(xiàn).如：

例2 (2019年江蘇25)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集An={(0,0)，(1,0)，(2,0)，…，(n,0)}，Bn={(0,1)，(n,1)}，Cn={(0,2)，(1,2)，(2,2)，……，(n,2)}，n∈N*．令Mn=An∪Bn∪Cn．從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.

(1)當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；

(2)對(duì)給定的正整數(shù)n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示).

4 教學(xué)與復(fù)習(xí)對(duì)策

4.1 立足基礎(chǔ)，抓好主干

八省聯(lián)考卷和江蘇卷中，函數(shù)、數(shù)列、向量與立體幾何、解析幾何、計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)等都是重點(diǎn)考查內(nèi)容.在高一、高二的分模塊、分書(shū)本學(xué)習(xí)中，學(xué)生獲取的知識(shí)是零散、細(xì)碎的，在高三的復(fù)習(xí)階段中，學(xué)生的數(shù)學(xué)視野得到了開(kāi)闊，能靈活運(yùn)用知識(shí)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，對(duì)高考解題能力提升有很大的幫助.

4.2 注重培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言理解能力

培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，考查學(xué)生抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力是全國(guó)高考命題的趨勢(shì).如八省聯(lián)考卷中出現(xiàn)的第20題考查的是立體幾何的新定義問(wèn)題，該題異于立體幾何的常規(guī)考查方式，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.新定義問(wèn)題的考查要求學(xué)生具有一定的語(yǔ)言理解能力和自主學(xué)習(xí)能力，這也是學(xué)好數(shù)學(xué)的必備能力.

4.3 注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

高中數(shù)學(xué)教育立足數(shù)學(xué)四基四能，考查學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)水平.在現(xiàn)階段復(fù)習(xí)中，學(xué)生不僅應(yīng)立足基礎(chǔ)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，更應(yīng)該努力提高數(shù)學(xué)思維水平，從具體的解題中概括出數(shù)學(xué)思想和方法.教師在教學(xué)中應(yīng)該更加關(guān)注學(xué)生如何思考，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

在高三復(fù)習(xí)中，一要重基礎(chǔ)，從知識(shí)點(diǎn)的本源定義出發(fā)，提高對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知水平，注重理解；二要查缺補(bǔ)漏，爭(zhēng)取提高對(duì)知識(shí)脈絡(luò)的熟稔程度，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的建構(gòu)；三要注重解題的規(guī)范性，會(huì)學(xué)、會(huì)用知識(shí)，學(xué)以致用，舉一反三.教師和學(xué)生都應(yīng)放平心態(tài)，立足知識(shí)，備戰(zhàn)高考.