直線法修形擺線針輪副的回程誤差

李玉龍，李天興，李晉凡，張瑞瑤，周靜遠(yuǎn)

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003)

0 引言

在機(jī)器人精密減速器中，擺線輪修形的目的在于保證非工作區(qū)域合理的間隙，便于安裝和潤滑，保證工作區(qū)域齒廓與擺線輪理論齒廓盡可能地接近，保證良好的輪齒嚙合特性[1-4]。隨著擺線輪成形磨削技術(shù)的不斷發(fā)展，擺線輪的修形方法也不再局限于傳統(tǒng)的移距、等距等修形方式，修形齒廓形狀也呈現(xiàn)多樣化[5-8]。然而，多樣化齒廓形狀的傳動(dòng)精度的求解并沒有形成統(tǒng)一的求解模型，對準(zhǔn)確評價(jià)擺線輪修形齒廓的嚙合性能產(chǎn)生了一定的影響。機(jī)器人精密減速器經(jīng)常需要做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，修形后的擺線輪由于嚙合間隙以及回程誤差的存在[9-12]，使整個(gè)系統(tǒng)的重復(fù)定位精度受到嚴(yán)重影響。因此，不同修形齒廓的擺線輪回程誤差的獲取和分析已成為該領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容。

目前，學(xué)者對機(jī)器人精密減速器擺線輪齒廓的修形、擺線針輪嚙合特性和傳動(dòng)精度等方面已經(jīng)進(jìn)行了深入的研究。文獻(xiàn)[13]綜合考慮制造誤差對擺線針輪嚙合傳動(dòng)的不良影響，提出了一種新型的正等距與負(fù)移距組合的修形方式，增加了共同嚙合齒數(shù)，提高了承載能力，縮小了回程誤差。文獻(xiàn)[14]對擺線輪傳統(tǒng)修形方法所產(chǎn)生的回程誤差做了詳細(xì)研究，計(jì)算出回轉(zhuǎn)角的變化范圍。文獻(xiàn)[15]研究了擺線輪單齒無側(cè)隙失配修形，并推導(dǎo)出擺線輪修形后的齒廓方程。文獻(xiàn)[16]通過建立擺線針輪齒廓修形的回程誤差精度分析模型，可求解常見修形方法引起的幾何回差誤差，并推導(dǎo)出擺線輪齒廓修形回差誤差的影響公式。文獻(xiàn)[17]基于傳統(tǒng)修形模式，通過建立齒面接觸分析(tooth contact analysis,TCA)方程，提出一種適用于各種修形模式的嚙合間隙計(jì)算方法。文獻(xiàn)[18]在拋物線修形方法的基礎(chǔ)上，綜合考慮齒廓誤差和傳動(dòng)誤差影響，獲得更加符合工程實(shí)際的擺線輪齒廓。

盡管國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)在擺線輪齒廓修形和回程誤差分析方面取得了較大成果，但是傳統(tǒng)的回程誤差的獲取相對復(fù)雜。隨著擺線輪修形齒廓形狀的多樣化，需要建立一種通用的修形齒廓回程誤差的求解模型，有助于形成統(tǒng)一的回程誤差評價(jià)體系。因此，本文基于直線法修形齒廓，通過建立擺線針輪接觸模型，求解回程誤差，獲取理論修形齒廓回程誤差曲線，研究機(jī)器人精密減速器的回程誤差性能，可為改善系統(tǒng)的重復(fù)定位精度提供新思路。

1 直線法修形齒廓及其方程

直線法修形是一種簡單有效的齒廓設(shè)計(jì)方法，它綜合考慮了壓力角與修形量的影響關(guān)系，能夠獲得具有良好傳力性能的齒廓形狀。

1.1 直線法修形

直線法修形是使修形量ΔL與壓力角α滿足線性關(guān)系，建立修形量與壓力角的函數(shù)關(guān)系[19]：

ΔL=kα+b1。

(1)

將已知參考點(diǎn)坐標(biāo)(α0,ΔL0)、齒頂坐標(biāo)(αtip,ΔLtip)代入式(1)，可求解出未知參數(shù)k、b1，即可得到從參考點(diǎn)到齒頂?shù)男扌瘟勘磉_(dá)式，同理，將參考點(diǎn)和齒根坐標(biāo)代入方程(1)，整理得出參考點(diǎn)到齒根的修形量表達(dá)式。

直線法修形量的分段函數(shù)表達(dá)式[19]：

(2)

其中：αroot為齒根處壓力角；ΔLroot為齒根處修形量。

1.2 修形齒廓方程

將式(2)求得的修形量沿理論齒廓各個(gè)點(diǎn)的法線方向依次進(jìn)行疊加，直線法修形原理如圖1所示。

圖1 直線法修形原理圖

圖1中，實(shí)線為擺線輪理論齒廓曲線，虛線為修形齒廓曲線，虛線與實(shí)線之間是法線。

修形后擺線輪齒廓方程為：

(3)

2 擺線針輪的嚙合接觸分析模型

根據(jù)擺線針輪副嚙合傳動(dòng)關(guān)系建立坐標(biāo)系，擺線輪嚙合關(guān)系如圖2所示。圖2中，坐標(biāo)系Sp(XpOpYp)與Sc(XcOcYc)固接到相對于固定坐標(biāo)系Sf(XfOfYf)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)的針輪和擺線輪上，Op為針輪自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中心，Oc為擺線輪自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中心，K為嚙合點(diǎn)，M為針齒圓心，P為節(jié)點(diǎn)，PM為公法線。針齒的齒廓方程為：

圖2 擺線輪嚙合關(guān)系

(4)

其中：p為針齒參量角。

在擺線針輪嚙合傳動(dòng)過程中，在嚙合接觸位置，擺線輪與針齒的位置矢量和法線矢量應(yīng)相等[20]，通過空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將擺線輪和針輪的位置矢量和法線矢量轉(zhuǎn)化到固定坐標(biāo)系Sf中，由此建立擺線針輪副的嚙合接觸分析數(shù)學(xué)模型：

(5)

其中：φ1為針輪轉(zhuǎn)角；φ2為擺線輪轉(zhuǎn)角；β為針齒參量角；Mfp和Mfc均為變換矩陣。

(6)

方程組(6)是非線性的，有3個(gè)方程和4個(gè)未知數(shù)[22]，給定φ，即可求解出對應(yīng)的φ1、φ2和β值。

3 回程誤差的獲取

修形后的擺線輪與針輪之間會(huì)產(chǎn)生一定的間隙，當(dāng)擺線輪往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要克服齒側(cè)間隙才能進(jìn)入反向嚙合傳動(dòng)。以11齒擺線輪為例，擺線針輪嚙合的瞬時(shí)狀態(tài)如圖3所示。

由式(6)可以得到擺線輪嚙合范圍，以及擺線針輪嚙合傳動(dòng)時(shí)擺線輪和針輪的轉(zhuǎn)角。如圖3所示，當(dāng)前0號齒處于嚙合狀態(tài)，針輪反向轉(zhuǎn)動(dòng)，齒側(cè)間隙最小的齒對會(huì)最先進(jìn)入嚙合，針輪的最小回轉(zhuǎn)角即回程誤差[21]。在獲得擺線針輪接觸分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)求解過程，可以得到回程誤差?；爻陶`差具體求解過程如圖4所示。

圖3 擺線針輪嚙合的瞬時(shí)狀態(tài)

圖4 回程誤差具體求解過程

(Ⅴ)繪制回程誤差曲線。以針輪轉(zhuǎn)角作為橫坐標(biāo)，消除回程間隙所轉(zhuǎn)過的角度為縱坐標(biāo)。

4 驗(yàn)證分析

擺線針輪副基本參數(shù)：擺線輪齒數(shù)ZC=39，針輪齒數(shù)ZP=40，針輪分布圓半徑rp=82 mm，針輪半徑rrp=3.5 mm，偏心距a=1.5 mm。

直線法修形參數(shù)為：ΔL0=0.005、ΔLtip=0.02，對應(yīng)的壓力角大小為：α0=42°、αtip=90°。將以上數(shù)據(jù)代入式(1)，可求得k=3.125×10-4，b=-8.125×10-3，則直線法修形量方程為：

ΔL=3.125×10-4α-8.125×10-3。

(7)

通過式(7)，可求得任意壓力角處的ΔL。

根據(jù)直線法修形原理，將修形量ΔL依次沿著法線方向垂直疊加，可得到擺線輪直線法修形齒廓。將式(7)代入式(3)，可以得到理論的擺線輪直線法修形齒廓。然后將式(4)和式(3)代入輪齒接觸分析方程式(5)。

采用上述擺線針輪副基本參數(shù)，通過上述方法將得到每一嚙合齒對的回程轉(zhuǎn)角，就能夠得出直線法修形后的回程誤差曲線，如圖5所示。

圖5 回程誤差曲線

由圖5可知：直線法修形后的擺線齒廓最小回程誤差值是0.604′。為了驗(yàn)證理論回程誤差計(jì)算值的準(zhǔn)確性，加工擺線輪樣品，測量擺線輪加工后的回程誤差。

采用擺線輪成形磨齒機(jī)加工擺線輪，如圖6所示。在測量儀上完成擺線輪齒廓合理性檢測，排除其他因素的影響。

(a) 擺線輪加工

最后，將加工的擺線輪樣品在旋轉(zhuǎn)矢量(rotary vector,RV)減速器綜合性能測量儀上進(jìn)行測量，獲取樣品擺線輪的回程誤差曲線，如圖7所示。

圖7 樣品擺線輪回程誤差曲線

由圖7可以看出：直線法修形后的擺線輪的實(shí)際回程誤差平均值為0.830′。因?yàn)閿[線輪在實(shí)際加工的過程中，存在安裝、制造等誤差因素，因此，實(shí)際加工的擺線輪回程誤差會(huì)大于理論設(shè)計(jì)齒廓的回程誤差。通過對比圖5和圖7的數(shù)據(jù)可知：理論計(jì)算的回程誤差是實(shí)際減速器測量回程誤差的73%，在實(shí)際生產(chǎn)中可以用來評價(jià)回程誤差，進(jìn)而評價(jià)修形質(zhì)量，有一定的實(shí)際工程意義。

5 結(jié)論

本文通過結(jié)合直線法修形，以直線法修形齒廓為基礎(chǔ)，建立并求解輪齒接觸分析方程，獲取回程誤差曲線，驗(yàn)證對比實(shí)際測量擺線輪的回程誤差曲線，理論計(jì)算的回程誤差是實(shí)際減速器測量回程誤差的73%，能夠滿足實(shí)際工程要求。因此，通過輪齒接觸分析獲取回程誤差的方法是合理、可行的，能夠高效計(jì)算出擺線針輪副的回程誤差，可作為評定齒廓修形質(zhì)量的方法。