初中代數(shù)命題推理教學(xué)初探

朱建明 徐艷

摘要：要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，重點(diǎn)是加強(qiáng)代數(shù)命題推理的教學(xué)。為此，需要系統(tǒng)地開發(fā)一些要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)命題推理（證明）的教學(xué)資源（問題情境），并且引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用代數(shù)命題推理（證明）的方法程序，規(guī)范表達(dá)代數(shù)命題推理（證明）的過程。

關(guān)鍵詞;初中數(shù)學(xué);代數(shù)命題推理;推理問題;推理方法;推理表達(dá)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理，即數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的推理。②推理通常被分為合情推理（包括歸納推理和類比推理）和演繹推理。課標(biāo)研制（修訂）組組長史寧中教授曾將數(shù)學(xué)的演繹推理大體分為兩個(gè)部分：命題推理和運(yùn)算推理。③運(yùn)算推理具有鮮明的代數(shù)特征，指的是運(yùn)算這種特殊的推理形式。命題推理不具有內(nèi)容特征，實(shí)際上指的是一般的推理形式，也就是從一些命題（事實(shí)）出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題（結(jié)論），因而不僅包括演繹推理，而且包括合情推理。

運(yùn)算是代數(shù)的核心，在代數(shù)教學(xué)中不會(huì)被忽視，因此只要改變“重算法，輕算理”的現(xiàn)象，就能加強(qiáng)運(yùn)算推理的教學(xué)。命題在數(shù)學(xué)中普遍存在，相對而言，命題推理在幾何教學(xué)中特別凸顯，導(dǎo)致在代數(shù)教學(xué)中容易被忽視。因此，要加強(qiáng)代數(shù)推理的教學(xué)，重點(diǎn)是加強(qiáng)代數(shù)命題推理的教學(xué)。為此，需要系統(tǒng)地開發(fā)一些要求學(xué)生進(jìn)行代數(shù)命題推理（證明）的教學(xué)資源（問題情境），并且引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用代數(shù)命題推理（證明）的方法程序，規(guī)范表達(dá)代數(shù)命題推理（證明）的過程。下面，以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊《11.3 不等式的性質(zhì)》一課為例具體說明。

一、系統(tǒng)開發(fā)代數(shù)命題推理（證明）的教學(xué)資源

實(shí)際上，利用代數(shù)命題可以大大豐富推理教學(xué)的載體。但是，就現(xiàn)階段而言，代數(shù)命題推理的教學(xué)資源（問題情境）開發(fā)不夠、體系不全，從源頭上制約了代數(shù)命題推理教學(xué)的深入開展。因此，教師首先要全面梳理代數(shù)命題推理邏輯基礎(chǔ)（包括代數(shù)定義、代數(shù)公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等概念和命題），系統(tǒng)開發(fā)相關(guān)的教學(xué)資源。一方面，參考幾何（命題）推理問題，設(shè)計(jì)要求合情推理和演繹推理、具有“猜想”“證明”“判斷”“糾錯(cuò)”“說理”等多種表現(xiàn)形式的代數(shù)命題推理問題。另一方面，結(jié)合教學(xué)進(jìn)程和進(jìn)度，創(chuàng)設(shè)逐步深入（復(fù)雜）的代數(shù)命題推理問題序列。比如，在一節(jié)課上，創(chuàng)設(shè)從顯性條件到隱性條件、從方向明確（步驟較少）到方向不明確（步驟較多）的代數(shù)命題推理問題序列。再如，從初一到初三，從多創(chuàng)設(shè)要求合情推理的“猜想”類問題，到多創(chuàng)設(shè)基于熟悉而簡單的代數(shù)情境要求演繹推理的“說理”類問題，再到多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生綜合體會(huì)合情推理和演繹推理作用的問題，最后到多創(chuàng)設(shè)幫助學(xué)生掌握多步演繹推理（三段論）基本方法及表達(dá)規(guī)范的“證明”類問題。

在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中，“不等式的性質(zhì)”是在不等式、不等式的解和解集、解不等式等概念的基礎(chǔ)上，作為解（一元一次）不等式方法步驟的依據(jù)來教學(xué)的，起著承上啟下的作用。教材類比等式的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生思考不等式的性質(zhì)；通過年齡變化的情境和有理數(shù)乘法結(jié)果的比較，引導(dǎo)學(xué)生抽象、歸納發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)1（“兩邊同時(shí)加或減”）和不等式的性質(zhì)2（“兩邊同時(shí)乘或除以”）。然后，引導(dǎo)學(xué)生初步利用不等式的性質(zhì)，對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危簩讉€(gè)比較簡單的一元一次不等式化為x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式，即解不等式。

不等式的性質(zhì)是代數(shù)的基本命題（基本事實(shí)），其發(fā)現(xiàn)過程蘊(yùn)含合情推理，運(yùn)用過程（并不限于解不等式）指向演繹推理。在教材設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，為了加強(qiáng)代數(shù)命題推理的教學(xué)，教師可以設(shè)計(jì)以下問題序列：

1．如圖1，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B，對應(yīng)的數(shù)分別為a、b。請分別在數(shù)軸上描出下列幾組數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，并比較每組兩個(gè)數(shù)的大?。海?）a＋1，b＋1；（2）2a，2b；（3）-2a，-2b。由此，你發(fā)現(xiàn)不等式有怎樣的性質(zhì)？

問題1讓學(xué)生在數(shù)軸上根據(jù)已知不等式a＜b，分別探索兩邊同時(shí)加1、兩邊同時(shí)乘2、兩邊同時(shí)乘—2之后的大小關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合在代數(shù)命題推理中的作用；進(jìn)而由特殊到一般，通過歸納推理發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)。這是對教材中歸納發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)的強(qiáng)化設(shè)計(jì)。

問題2—問題5都是不等式性質(zhì)的應(yīng)用。問題2讓學(xué)生說出不等式的變形依據(jù)，需要學(xué)生觀察分析條件不等式（推理起點(diǎn)）和結(jié)論不等式（推理終點(diǎn)）之間的關(guān)系，找到所使用的不等式的性質(zhì)（推理依據(jù)），感受三段論推理的要素（起點(diǎn)是小前提，依據(jù)是大前提，終點(diǎn)是結(jié)論）及規(guī)則，為運(yùn)用不等式的性質(zhì)解不等式（進(jìn)行同解變形）做好準(zhǔn)備。問題3讓學(xué)生直接比較兩個(gè)式子的大小并說明理由，需要學(xué)生觀察分析兩個(gè)式子之間的關(guān)系，找出隱含的條件不等式（推理起點(diǎn)）—三個(gè)小題分別為—1＜0、3＞—1、—3＜1，因而增加了難度，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟到三段論推理要素的重要性。問題4讓學(xué)生根據(jù)條件比較兩個(gè)式子的大小并說明理由，難度的增加在于需要多步推理才能完整說明（證明），具體到一步推理上，結(jié)論不等式（推理終點(diǎn)或者說方向）不太明確，因此，在綜合法的基礎(chǔ)上需要分析法、比較法等證明方法的輔助，能讓學(xué)生初步感受代數(shù)命題證明的常用方法。問題5在形式上和問題4一樣，但是，第（1）小題需要進(jìn)一步用到不等式的傳遞性（由x＞xy、xy＞y得到x＞y）或因式分解的方法［x2—y2＝（x＋y）（x—y）］，第（2）小題需要進(jìn)一步用到分類討論的方法，因而可以作為課后思考題。

二、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)使用代數(shù)命題推理（證明）的方法程序

（命題）推理以及由多步推理組成的證明，有一些相對固定的一般方法和程序。比如，獲得一個(gè)命題往往采用“先猜（歸納推理）后證（演繹推理）”（“先發(fā)現(xiàn)后確定”）的程序；歸納推理是在若干個(gè)例中找出共性；演繹推理則要遵循三段論的格式，由小前提和大前提共同得到結(jié)論。相比于幾何（命題）推理，代數(shù)命題推理常常更容易采用“先猜后證”的程序：因?yàn)榇鷶?shù)命題通常和數(shù)量有關(guān)，所以更容易取特殊值，從而猜測一般規(guī)律。再如，證明一個(gè)命題常常先用分析法尋找思路，再用綜合法書寫過程；分析法是執(zhí)果索因的方法，綜合法是由因?qū)Ч姆椒?。此外，還有一種專門針對代數(shù)命題證明的方法，即比較法：因?yàn)榇鷶?shù)命題通常表現(xiàn)為數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，所以可以通過作差或作商，判斷結(jié)果與0或1的大小關(guān)系，獲得關(guān)于原先數(shù)量之間大小關(guān)系的結(jié)論。教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生在具體代數(shù)命題推理（證明）的過程中總結(jié)、使用這些推理（證明）的一般方法和程序。這樣才能有效地培養(yǎng)學(xué)生可遷移的代數(shù)推理能力。

《不等式的性質(zhì)》一課，上述問題1可以讓學(xué)生體會(huì)歸納推理由個(gè)例找共性的方法。問題2可以讓學(xué)生體會(huì)演繹推理由小前提和大前提得到結(jié)論的三段論方法。為此，還可以引入一個(gè)學(xué)生比較熟悉的幾何推理，幫助學(xué)生歸納出條件（小前提）、依據(jù)（大前提）、結(jié)論三要素，同時(shí)明確依據(jù)（大前提）必須是具有一般性的代數(shù)定義或命題。問題3—問題5都可讓學(xué)生經(jīng)歷“先猜后證”的程序，體會(huì)歸納推理和演繹推理的方法。其中，問題3是一步推理問題，主要讓學(xué)生在找準(zhǔn)條件（小前提）的基礎(chǔ)上體會(huì)演繹推理的三要素以及正向思維的綜合法（當(dāng)然，也可以利用作差比較法）；問題4是多步推理問題，可以讓學(xué)生在綜合法的基礎(chǔ)上體會(huì)逆向思維的分析法和寓理于算的比較法以及其中的演繹推理三要素。

以問題4的第（2）小題為例，直接用綜合法難以證明，因此考慮分析法和作差比較法：

（分析法，可以改寫成綜合法）要證m＜m+n，根據(jù)不等式的性質(zhì)2，就要證2m＜m＋

三、引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)代數(shù)命題推理（證明）的過程

規(guī)范的表達(dá)有助于顯化代數(shù)命題推理（證明）的過程，讓學(xué)生充分感受和掌握代數(shù)命題推理（證明）的要素和方法。教學(xué)中，還要引導(dǎo)學(xué)生在了解代數(shù)命題推理（證明）的方法程序后，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地表達(dá)推理（證明）的過程。具體地，可以讓學(xué)生說出各個(gè)要素，教師同步板書示范；也可讓學(xué)生寫出完整過程，教師組織其他學(xué)生檢查各個(gè)要素及其邏輯順序，從而糾正錯(cuò)誤、完善不足。

《不等式的性質(zhì)》一課，通過演繹推理解決問題時(shí)，可利用圖2（針對一步推理）和圖3（針對多步推理）所示的填空形式，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范地表達(dá)推理過程，從而固化演繹推理的三段論要素和格式。

此外，還要注意糾正、完善學(xué)生表達(dá)的不規(guī)范之處。例如，對于上述問題4的第（1）小題，有學(xué)生先猜測，繼而得到2a＞ a＋3，然后得到a＞3，發(fā)現(xiàn)與所給的條件一致，從而認(rèn)為已經(jīng)解答了這一小題。對此，教師可以指出：這只是大致的分析思路，不是規(guī)范的通過代數(shù)命題推理解答問題的過程；我們應(yīng)該明確哪個(gè)是條件、哪個(gè)是結(jié)論、依據(jù)是什么，然后按照上述規(guī)范的格式表達(dá)解答問題的過程。再如，對于問題4的第（2）小題，m+n在用作差比較法解答時(shí)，有學(xué)生由。對此，教師指，直接得到出：這里，從條件到結(jié)論沒有合適的依據(jù)，跳過了好幾步—首先要得到，而這需要利用m＜n這個(gè)條件和不等式的性質(zhì)1、性質(zhì)2這兩個(gè)依據(jù)進(jìn)行兩步推理。

最后需要指出的是，限于學(xué)生的基礎(chǔ)和能力，在初中進(jìn)行代數(shù)命題推理的教學(xué)需要控制好難度：一般地，應(yīng)該放慢教學(xué)節(jié)奏，分散教學(xué)難點(diǎn)；尤其是，應(yīng)該控制相關(guān)問題的推理步數(shù)，實(shí)踐證明，三步（如上述問題4、問題5）之內(nèi)較為適宜。還要注意協(xié)調(diào)好教學(xué)目標(biāo)，搞清楚是以代數(shù)命題推理內(nèi)容的掌握或感悟（能力的培養(yǎng)）為主要目標(biāo)，還是以作為載體的代數(shù)知識(shí)的掌握或相關(guān)的思想方法的感悟?yàn)槟繕?biāo)（將代數(shù)命題推理作為手段）。不難發(fā)現(xiàn)，上述課例設(shè)計(jì)的代數(shù)命題推理目標(biāo)還是比較鮮明的。