無序復(fù)雜系統(tǒng)中的序—2021年諾貝爾物理學(xué)獎解讀

江少欽，余雪佳，徐莉梅

(北京大學(xué) 物理學(xué)院量子材料科學(xué)中心，北京 100871)

瑞典皇家科學(xué)院將2021年諾貝爾物理學(xué)獎一半頒發(fā)給了真鍋淑郎(Syukuro Manabe)和克勞斯.阿塞爾曼(Klaus Hasselmann)，以表彰他們對“地球氣候的物理建模、量化可變性和可靠地預(yù)測全球變暖”的貢獻(xiàn). 另一半則被授予喬治.帕里西(Giorgio Parisi)，以表彰他“發(fā)現(xiàn)了從原子到行星尺度的復(fù)雜系統(tǒng)中無序和漲落之間的相互影響”.

人們對復(fù)雜系統(tǒng)的物理研究起源于19世紀(jì)開始發(fā)展的統(tǒng)計力學(xué)，并逐漸滲透到了諸如生命科學(xué)、神經(jīng)科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)及人文社科學(xué)等領(lǐng)域. 從研究對象來看，復(fù)雜系統(tǒng)的研究幾乎跨越了所有尺度，小到原子夸克，大到宇宙星球. 但是，直至目前為止，我們對復(fù)雜系統(tǒng)還沒有一個明確而統(tǒng)一的定義. 一般認(rèn)為，復(fù)雜系統(tǒng)具有以下一個或多個特征：組成單元之間的相互作用具有非線性、隨機(jī)性；結(jié)構(gòu)具有無序性；動力學(xué)對初值敏感；結(jié)構(gòu)或功能在微小擾動下穩(wěn)定；具有一定的反饋機(jī)制等. 與我們的生活息息相關(guān)的地球氣候系統(tǒng)以及我們司空見慣的玻璃材料都屬于復(fù)雜系統(tǒng). 前者具有初值敏感的復(fù)雜運動特征，而后者具有復(fù)雜長程無序的結(jié)構(gòu)特征. 復(fù)雜系統(tǒng)通常遠(yuǎn)離平衡態(tài)，而由于組成單元之間的相互作用具有非線性且受偶然性支配，其宏觀性質(zhì)和動力學(xué)演化往往存在混沌現(xiàn)象，因此用數(shù)學(xué)描述并預(yù)測其行為的嘗試一直面臨著困難和挑戰(zhàn).

真鍋淑郎和阿塞爾曼對宏觀尺度的地球氣候建立了物理模型，并預(yù)測了這一復(fù)雜物理系統(tǒng)的行為. 帕里西則從微觀層面發(fā)現(xiàn)了自旋玻璃等無序復(fù)雜系統(tǒng)中的隱藏序，并找到了一種數(shù)學(xué)方法來描述它們. 盡管3位獲獎?wù)叩难芯矿w系跨越了從原子到行星的多個尺度，但這些體系都具有復(fù)雜系統(tǒng)的某些特征，如無序和漲落. 他們都為我們深入理解復(fù)雜物理系統(tǒng)的特性和演化方面做出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn).

本文將主要介紹帕里西的相關(guān)工作. 帕里西是近幾十年來最具創(chuàng)造力和影響力的物理學(xué)家之一. 他的研究興趣非常廣泛，涉及統(tǒng)計物理、粒子物理、弦理論和數(shù)學(xué)物理等諸多領(lǐng)域. 例如，他提出了部分子密度與動量關(guān)系的微積分方程(Altarelli-Parisi方程)，解釋了深度非彈性散射的標(biāo)度違規(guī)[1]；給出了與超導(dǎo)磁通禁閉類似的夸克禁閉機(jī)制[2]；發(fā)現(xiàn)了經(jīng)典系統(tǒng)中的超對稱性[3]；在湍流中引入多重分形[4]；提出了界面隨機(jī)生長的微分方程(Kardar-Parisi-Zhang，KPZ方程)[5]；發(fā)現(xiàn)了氣候變化中的隨機(jī)共振現(xiàn)象[6]；提出了自旋玻璃理論的高階復(fù)本對稱破缺方法[7-9]等等. 這些重要貢獻(xiàn)很難在一篇短文中詳盡闡述，因此本文將主要介紹他在自旋玻璃理論、界面隨機(jī)生長(KPZ方程)和隨機(jī)共振方面的部分工作.

1 玻璃和自旋玻璃

在帕里西的諾獎工作中提到的自旋玻璃是什么？首先，我們來回答“什么是玻璃”. 當(dāng)結(jié)構(gòu)雜亂無序的液體緩慢降溫時會形成結(jié)構(gòu)有序的晶體，此時系統(tǒng)發(fā)生了從結(jié)構(gòu)無序的液態(tài)到結(jié)構(gòu)有序的晶態(tài)的相變(圖1(a)). 相變過程所對應(yīng)的體系對稱性的破缺一般用序參量的變化來描述，如液態(tài)-晶態(tài)的相變過程中，平移對稱性就可以作為序參量. 當(dāng)液體快速降溫時，其無序結(jié)構(gòu)被迅速“凍結(jié)”，發(fā)生玻璃化轉(zhuǎn)變，形成了結(jié)構(gòu)長程無序的玻璃(圖1(b)). 玻璃在結(jié)構(gòu)上與液體相似，粒子在空間無序排列；但在力學(xué)性能和動力學(xué)上又與晶體相似，不僅能夠承載一定的應(yīng)力而不發(fā)生形變，而且粒子的位置在觀測時間尺度內(nèi)幾乎不發(fā)生變化. 因此玻璃也被稱為凍結(jié)住的液體. 琥珀、橡膠和非晶態(tài)金屬等都是玻璃態(tài)材料. 與晶體不同，玻璃的形成與過程有關(guān)，即使從同一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過同樣的物理過程，體系也可能到達(dá)不同的玻璃態(tài). 因此，區(qū)別于晶體勢能面的單個能量極小(基態(tài))(圖1(c))，玻璃的勢能面存在大量的能量局域極小值，即存在大量能量相差不多但微觀結(jié)構(gòu)不同的亞穩(wěn)態(tài)，導(dǎo)致玻璃材料的復(fù)雜性(圖1(d)). 正因為玻璃態(tài)的這些獨特性質(zhì)，《科學(xué)》雜志在創(chuàng)刊125周年將“玻璃態(tài)物質(zhì)的本質(zhì)是什么”列為125個世紀(jì)難題之一[10].

圖1 晶化和玻璃化過程. (a)、(b)分別為晶化和玻璃化過程中原子位置空間排布的變化；(c)、(d)分別表示晶態(tài)和玻璃態(tài)的勢能面[11]

自旋玻璃是最簡單的一類玻璃，此時“玻璃”的含義不再是指原子位置無序，而是指自旋(類似于小磁針)取向長程無序，是自旋取向“凍結(jié)”的狀態(tài). 自旋玻璃材料是通過向非磁性的原子網(wǎng)格中隨機(jī)摻入少量磁性原子得到的合金材料. 例如，在一個隨機(jī)摻入少量鐵原子的金原子網(wǎng)格中(圖2(a)),如果每個鐵原子都可以被視為一個自旋，而其取向受其它自旋的影響. 系統(tǒng)的磁性由于微小摻雜會產(chǎn)生顯著變化(圖2(b))，這是一類非常典型的復(fù)雜系統(tǒng). 這類系統(tǒng)可以用簡單的格點模型來描述，其哈密頓量為

(1)

其中，si表示i位置的自旋，其可能的取值為±1，分別代表自旋向上和向下；Ns為自旋的個數(shù)；Jij表示i,j的自旋交換相互作用.

系統(tǒng)的磁性取決于相互作用分布{Jij}和環(huán)境溫度T. 如果只考慮最近鄰相互作用，且相互作用取值相同(Jij=J)，那么不同格點的自旋在高溫時取向隨機(jī)分布，系統(tǒng)不具有宏觀磁性，處于順磁相(圖2(c)). 低溫時基態(tài)則取決于J的取值，J>0(鐵磁相互作用)或J<0(反鐵磁相互作用)時，體系分別在所有自旋平行(鐵磁相，圖2(c))或反平行(反鐵磁相，圖2(c))時能量最低.

圖2 自旋玻璃系統(tǒng)及特征. (a) 自旋玻璃材料Au1-xFex的簡單格點模型，Au(灰色)、Fe(黑色)；(b) 自旋玻璃材料Au1-xFex的磁化率隨溫度的變化[12]；(c) 只考慮最近鄰且相互作用J取值相同的簡單格點模型，在高溫時處于順磁相,低溫時處于鐵磁相(J>0)或反鐵磁相(J<0)；(d) 自旋阻挫狀態(tài)：同時存在鐵磁(J>0)和反鐵磁(J<0)相互作用時，不論格點3自旋取向是上還是下，系統(tǒng)都有相同的能量

如果系統(tǒng)同時存在鐵磁和反鐵磁相互作用，如(圖2(d))所示，格點3的自旋取向無論向上還是向下，系統(tǒng)的能量都相同(基態(tài)). 因此，格點3的自旋存在不確定性與隨機(jī)性，處于阻挫狀態(tài)，即不存在一個確定的自旋狀態(tài)滿足系統(tǒng)能量最小化的要求. 大量的阻挫狀態(tài)的存在使得系統(tǒng)形成自旋玻璃，并存在很多能量幾乎相同但微觀結(jié)構(gòu)不同的狀態(tài)，導(dǎo)致了自旋玻璃材料基態(tài)的復(fù)雜性. 宏觀自旋玻璃系統(tǒng)中處于阻挫狀態(tài)的自旋個數(shù)為N～1023量級，基態(tài)求解所需時間為eN量級. 自旋玻璃的研究中充滿了挑戰(zhàn)，也引起了極大關(guān)注[9,13,14]. P.W.Anderson也不禁感慨自旋玻璃問題本身就是一個值得一直探究的科學(xué)問題[15].

2 自旋玻璃理論的早期發(fā)展

系統(tǒng)的熱力學(xué)量由體系的自由能F與配分函數(shù)Z決定

(2)

(3)

SK同樣使用復(fù)本技巧“消除”了系統(tǒng)的隨機(jī)性. 隨后通過恒等變換(Hubbard-Stratonovich變換)[18,19]，引入了qαβ和mα兩個輔助場，進(jìn)而將自由能指數(shù)中自旋耦合的四次項si(α)·si(β)·sj(α)·sj(β)變?yōu)槎雾梥i(α)·si(β).其中，mα表示復(fù)本α的宏觀磁性，{qαβ} 則構(gòu)成了復(fù)本序參量矩陣Q. SK認(rèn)為，所有復(fù)本自旋隨機(jī)相互作用Jij服從相同的分布，則復(fù)本應(yīng)當(dāng)是不可區(qū)分的，即復(fù)本對稱.因此，對任意兩個復(fù)本α、β而言，qαβ=q，mα=mβ=m.基于復(fù)本對稱假設(shè)，通過自由能對序參量q和m取變分，可以得到SK模型的解(圖3(a)).q為非零值對應(yīng)系統(tǒng)的磁有序相；如果m也為非零值，系統(tǒng)處于鐵磁相.自旋玻璃對應(yīng)于m=0、q≠0的相，表明自旋玻璃自旋取向的空間無序和自旋玻璃磁化的緩慢動力學(xué)特征.

圖3 SK模型的解. (a)SK發(fā)現(xiàn)低溫時存在自旋玻璃相[17]；(b)Almeida和Thouless指出自旋玻璃相并不穩(wěn)定[20]

然而，SK通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的熵在T=0時為負(fù)值，這不符合熱力學(xué)第三定律. 此外，Almeida和Thouless發(fā)現(xiàn)SK得到的自旋玻璃相并不穩(wěn)定(圖3(b))，并指出解的不穩(wěn)定性可能是由于復(fù)本對稱性假設(shè)[20]，即qαβ=q. 那么是什么原因?qū)е铝藦?fù)本對稱性破缺呢？Thouless, Anderson和Palmer發(fā)現(xiàn)[21]，自旋玻璃的自由能面非常復(fù)雜，存在大量局域極小值(對應(yīng)的狀態(tài)稱為純態(tài)[9,22])，如(圖1(d))所示. 不同的復(fù)本會陷入不同的純態(tài)，由于不同純態(tài)之間存在很高的勢壘[21]，進(jìn)而導(dǎo)致了復(fù)本之間不再等價，即復(fù)本對稱性發(fā)生破缺.

復(fù)本對稱破缺意味著復(fù)本之間可區(qū)分，因而qαβ可以取不同的值，其可能的取值個數(shù)等于復(fù)本對稱破缺的階數(shù)K加1. 同時，復(fù)本技巧要求復(fù)本數(shù)N→0，復(fù)本序參量矩陣Q的維數(shù)(N×N)趨近于零.確定這樣一個零維矩陣的形式并不是一件容易的事，尤其是還需要保證其對應(yīng)的解具有穩(wěn)定性，并且熵不能是負(fù)值.最簡單的復(fù)本對稱破缺是一階復(fù)本對稱破缺，此時矩陣Q中含有兩個參數(shù)q0、q1.所有的復(fù)本被分為兩類，同類的復(fù)本之間不可區(qū)分(qαβ=q1)，而不同類的復(fù)本之間可區(qū)分(qαβ=q0).Bray和Blandin等通過試錯的方法[23-25]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)矩陣Q取類似于圖4(b))的形式時可以得到穩(wěn)定解. 他們還提出如果考慮高階復(fù)本對稱破缺，可以得到更多穩(wěn)定解. 但是由于解析計算過于復(fù)雜，他們沒有討論復(fù)本對稱破缺方法是否能解決負(fù)熵問題.

3 復(fù)本對稱破缺

帕里西在前人工作的基礎(chǔ)上，開創(chuàng)性的提出高階復(fù)本對稱破缺方法，解決了負(fù)熵問題和解的穩(wěn)定性問題[8]. 他首先通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)復(fù)本對稱和一階復(fù)本對稱破缺假設(shè)下的熵分別是-0.16和-0.01[7]. 因此，他推測當(dāng)復(fù)本對稱破缺的階數(shù)趨于無窮時，系統(tǒng)的熵將趨于0，從而解決負(fù)熵問題. 而實現(xiàn)無窮階復(fù)本對稱破缺的困難在于，此時序參量矩陣Q中參量的個數(shù)為無窮多，其形式也有無窮多種[7]. 帕里西考慮到矩陣Q應(yīng)滿足3個條件，即體系能量有界、矩陣本征值為負(fù)(解的穩(wěn)定性條件)和高溫時自由能極大值對應(yīng)qαβ=0(高溫時為順磁相)[9,26]，創(chuàng)造性地提出了高階復(fù)本對稱破缺方法(如圖4所示).

帕里西的復(fù)本對稱破缺方法可以歸納為如下表述[8,26].N個復(fù)本可以構(gòu)成一個N×N的復(fù)本序參量矩陣Q. 復(fù)本對稱的序參量矩陣Q中只有一個參數(shù)q0(圖4(a)). 而復(fù)本對稱破缺過程沿矩陣對角線進(jìn)行. 一階復(fù)本對稱破缺的序參量矩陣Q中有兩個參數(shù)q0和q1(圖4(b)). 二階復(fù)本對稱破缺是對一階復(fù)本對稱破缺中相互等價的復(fù)本(圖4(b)中灰色)進(jìn)行破缺操作，這時序參量矩陣Q中有3個參數(shù)q0、q1和q2(圖4(c)). 如此往復(fù)就能夠?qū)崿F(xiàn)更高階復(fù)本對稱破缺. 當(dāng)破缺級數(shù)至無窮級時，帕里西得到了自旋玻璃基態(tài)的嚴(yán)格解. 但這個基態(tài)解的物理意義是什么？最初并不清楚. 帕里西在自旋玻璃理論方面另一個重要的貢獻(xiàn)就是給出了這個問題的答案[22,26-28].

圖4 帕里西復(fù)本對稱破缺方法(未顯示的矩陣元都為q0，N表示復(fù)本總數(shù)，n1、n2分別表示一階、二階對稱破缺中每個純態(tài)的復(fù)本個數(shù))

(4)

(5)

其中wα和wβ分別表示純態(tài)α和β出現(xiàn)的概率. 帕里西指出兩個純態(tài)相似度q的分布函數(shù)P(q)才是自旋玻璃的物理序參量[28,29]. 因此，與鐵磁相僅需一個序參量來描述不同，自旋玻璃的序參量是一個函數(shù)，需要用無限多個參量q來描述.

那么自旋玻璃基態(tài)解(序參量矩陣Q)與物理序參量P(q)之間是什么關(guān)系呢？答案并不顯然，這是由于無窮階復(fù)本對稱破缺時序參量矩陣Q中無論參量的個數(shù)還是形式都有無窮多種[7]，如何參數(shù)化矩陣Q的參量并不簡單.帕里西花了不少時間才建立了矩陣Q矩陣元與P(q)的關(guān)系.他首先指出當(dāng)復(fù)本數(shù)N→0時，如果序參量矩陣Q同時滿足體系能量有界、矩陣本征值為負(fù)、高溫時自由能極大值對應(yīng)的矩陣元為0三個條件[26]，那么矩陣Q是可以用參量函數(shù)q(x)來參數(shù)化

q(x)=ql，nl≤x≤nl+1

(6)

其中nl,ql分別表示第l階復(fù)本對稱破缺中每類純態(tài)的復(fù)本個數(shù)及相應(yīng)的矩陣元.有限級破缺下q(x)為分立的階梯函數(shù)(圖5)，如一階復(fù)本對稱破缺時q(x)有2個取值區(qū)間，4階復(fù)本對稱破缺時q(x)有4個取值區(qū)間.當(dāng)復(fù)本對稱破缺級數(shù)K趨近于無窮大時q(x)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)(圖5).此時參量函數(shù)q(x)參數(shù)化了自旋玻璃基態(tài)的嚴(yán)格解Q.為了找到了q(x)和物理序參量P(q)之間的聯(lián)系，帕里西研究了k點自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)q(k)的兩種不同表示.一方面，根據(jù)純態(tài)之間的非關(guān)聯(lián)性，q(k)可以用物理序參量P(q)來表示

圖5 復(fù)本對稱破缺下的參量函數(shù)q(x)(虛線、點線段和實線分別表示復(fù)本破缺級數(shù)K=1、K=4和K=∞)

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另一方面，依據(jù)復(fù)本技巧，q(k)也可以用復(fù)本序參量矩陣Q來表示

(8)

其中N(N-1)表示總復(fù)本對數(shù)，第二個等式則是第一個等式連續(xù)化后的結(jié)果[13].帕里西通過對比式(7)、(8)，發(fā)現(xiàn)自旋玻璃嚴(yán)格解Q的參數(shù)函數(shù)q(x)與物理序參量P(q)的關(guān)系

(9)

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其中x(q)為q(x)的反函數(shù)，其物理意義為兩個純態(tài)之間的相似度不大于q的概率.由此，帕里西給出了自旋玻璃基態(tài)解即序參量矩陣Q的物理意義.

考慮到自旋玻璃的解有類似分形的結(jié)構(gòu)特征，帕里西通過考察相似度的高階關(guān)聯(lián)來理解純態(tài)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).對于任意的3個純態(tài)α、β、γ的聯(lián)合概率分布：

P(q1,q2,q3)=

圖6 復(fù)本對稱破缺的家譜圖及自由能面表示. (a)家譜圖中a、b、c、d分別代表處于純α、β、γ、δ的狀態(tài)，狀態(tài)之間的相似度為到它們共同祖先的距離，如q1為a、b之間的距離；(b)復(fù)本對稱時自由能面只有一個極小值，一階、二階復(fù)本對稱破缺時自由能面分別有2個和4個極小值

復(fù)本對稱性破缺已經(jīng)被隨機(jī)激光實驗所驗證[30]. 隨機(jī)激光的模式來源于無序系統(tǒng)的本征態(tài)，而在激光增益的過程中，不同的模式通過增益介質(zhì)以非線性的方式相互作用. 不同模式間的非線性相互作用隨激光泵浦功率增大而增加(泵的功率類似于溫度的倒數(shù)). 在相同的條件下，樣品會被激發(fā)出不同的光譜(模式)，這些不同的光譜表示一個熱力學(xué)相的不同狀態(tài)(純態(tài))，而光強(qiáng)漲落的相似度代表著不同復(fù)本之間的相似度qαβ

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其中Iα(k)、Δα(k)分別代表第α個光譜的第k個模式的光強(qiáng)和光強(qiáng)漲落. 激光泵浦功率較小時(類似于高溫)，各模式不發(fā)生相互作用，光強(qiáng)漲落的相似分布在0附近，復(fù)本對稱性得到保持(圖7a). 而當(dāng)激光泵浦功率增大時(類似于低溫)，各模式發(fā)生相互作用并受到無序干擾，光強(qiáng)漲落的相似分布在{-1,1}之間，復(fù)本對稱性發(fā)生破缺(圖7c).

圖7 光強(qiáng)漲落相似的分布P(q)隨泵浦能量變化[30]. (a)、(b)為復(fù)本對稱情況；(c)、(d)為復(fù)本對稱破缺情況

4 自旋玻璃理論在不同領(lǐng)域的應(yīng)用

自旋玻璃最開始以理論方面的研究為主[13,31]，但后來人們發(fā)現(xiàn)自旋玻璃中阻挫系統(tǒng)的最優(yōu)解問題與許多其它領(lǐng)域的問題有共通之處. 因此，研究自旋玻璃的方法可以廣泛地應(yīng)用于不同領(lǐng)域的問題[9,32-35]，如組合優(yōu)化、蛋白質(zhì)折疊、Hopfield網(wǎng)絡(luò)、Gardner transition、結(jié)構(gòu)玻璃的隨機(jī)一階相變理論(RFOT)、硬球體系的jamming等.

許多組合優(yōu)化問題的求解等價于尋找一個目標(biāo)函數(shù)的極值[36]. 但是目標(biāo)函數(shù)中往往包含了大量的變量和約束條件，導(dǎo)致無法直接求解，例如圖的劃分、旅行商問題、布爾可滿足性問題. 其中，旅行商問題是指找出訪問N座城市并回到起點的最短路線，而通過連續(xù)搜索求解的時間至少為eN. 引用自旋玻璃理論，雖然我們沒辦法得到最優(yōu)解，但是可以得到最優(yōu)解的近似解. 我們可以將城市視作自旋，而城市之間是否連接和自旋之間是否有相互作用相對應(yīng). 這樣就可以將自旋玻璃理論用于求解該問題[37]. 值得一提的是，帕里西將自旋玻璃思想應(yīng)用于該領(lǐng)域，并因此獲得了2016年Onsager獎.

蛋白質(zhì)折疊是蛋白質(zhì)獲得功能性結(jié)構(gòu)和構(gòu)象的過程. 一個由100個氨基酸組成的蛋白質(zhì)的可能構(gòu)象就有3198種，如果蛋白質(zhì)折疊過程是連續(xù)搜尋所有可能的構(gòu)象，那么所需要的時間會比宇宙年齡更大. 但實際上，折疊過程所需時間為秒量級(Leventhal佯謬). 自旋玻璃理論則可以被應(yīng)用于該佯謬的解決. 此時氨基酸被類比為自旋，氨基酸相互作用被類比為自旋相互作用[34,38].

Hopfield聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)提供了模擬人類記憶的方法[39]. Hopfield網(wǎng)絡(luò)是由一些神經(jīng)元和神經(jīng)元之間的相互作用構(gòu)成. 而神經(jīng)元的抑制和興奮狀態(tài)與自旋玻璃中的自旋取向類似，神經(jīng)元之間的相互作用與自旋玻璃中的自旋相互作用類似[32,40]. 如果給網(wǎng)絡(luò)定義一個能量函數(shù)，那么網(wǎng)絡(luò)的記憶與能量的局域極小值有關(guān)[41].

自旋玻璃思想已廣泛應(yīng)用于不同的復(fù)雜系統(tǒng)，其意義超出了精確求解自旋玻璃模型本身，對于諸如計算機(jī)科學(xué)，生物科學(xué)，神經(jīng)科學(xué)等其它領(lǐng)域的發(fā)展起到了重要的作用.

5 非線性與隨機(jī)漲落的相互影響

帕里西不僅在自旋玻璃理論上做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，他在隨機(jī)過程方面的研究也成績斐然. 特別是提出了描述界面隨機(jī)生長的KPZ方程并得到了KPZ普適類[5]和發(fā)現(xiàn)了地球氣候變化中的隨機(jī)共振現(xiàn)象[42].

1) KPZ方程和KPZ普適類

界面生長受隨機(jī)性與偶然性支配. 界面高度隨時間變化的規(guī)律是什么？ 1986年，帕里西與合作者張翼成、卡達(dá)(Kardar)提出了描述界面隨機(jī)生長的KPZ方程[5]

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2) 隨機(jī)共振現(xiàn)象

可能很多人沒有注意到，其實帕里西也對地球氣候方面開展過研究. 古氣候?qū)W的研究結(jié)果表明，近70萬年地球溫度的變化呈現(xiàn)出周期性，其周期為10萬年，幅度大約為10 K[42]. 帕里西與合作者考慮了太陽能量流的非線性與天氣的隨機(jī)漲落對氣候的影響，提出了一個非常簡單的溫度T隨時間變化的非線性隨機(jī)微分方程，解釋古氣候的變化，

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6 總結(jié)

帕里西的工作跨越了多個領(lǐng)域與尺度，體現(xiàn)了無序與漲落的共同影響，揭示了無序復(fù)雜系統(tǒng)中存在的簡單普適規(guī)律. 他在復(fù)雜系統(tǒng)方面的很多工作，意義都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了這些工作本身，不僅導(dǎo)致了統(tǒng)計物理學(xué)的研究范式轉(zhuǎn)變，而且對于其它領(lǐng)域的發(fā)展起到了重要的作用，諸如統(tǒng)計物理，粒子物理，弦理論，數(shù)學(xué)物理，計算機(jī)科學(xué)，生物科學(xué)和神經(jīng)科學(xué)等. 霍金曾說過，二十一世紀(jì)是復(fù)雜科學(xué)的世紀(jì)，本年度諾貝爾物理學(xué)獎頒發(fā)給復(fù)雜系統(tǒng)，顯示了諾獎委員會意識到復(fù)雜體統(tǒng)方面的研究其對于解決人類社會重大問題的重要性. 我們也殷切地希望復(fù)雜系統(tǒng)的研究在國內(nèi)能獲得更多支持，進(jìn)一步推動復(fù)雜系統(tǒng)物理理論的發(fā)展及在實踐中的應(yīng)用.