隨機環(huán)境中受傳染性疾病影響的分枝過程的極限性質(zhì)

任敏

（宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000）

0 引言

隨機環(huán)境中的分枝過程（branching process，BPRE）最早由WILKINSON［1］于1967年提出，隨后諸多學者對其進行了研究，并取得了豐碩成果。SMITH［2］給出了隨機環(huán)境中的分枝過程幾乎必然滅絕的條件，SMITH等［3-4］研究了隨機環(huán)境和馬氏環(huán)境中的分枝過程，李應求等［5］研究了隨機環(huán)境中受控分枝過程的極限性質(zhì)，任敏等［6］研究了隨機環(huán)境中具有遷移的分枝過程的極限性質(zhì)，譚珂等［7］、王玉萍等［8］研究了隨機環(huán)境中受控分枝過程的極限性質(zhì)和收斂速度等。關于隨機環(huán)境中的分枝過程已有諸多研究成果，而關于隨機環(huán)境中受傳染性疾病影響的分枝過程研究較少，本文主要研究隨機環(huán)境中受傳染性疾病影響的分枝過程經(jīng)適當規(guī)范化后{Wn，n∈N}和{，n∈N}幾乎處處收斂和L1收斂的充分條件，{Wn，n∈N}L2收斂的充分條件，以及{Wn，n∈N}極限非退化到0的充分條件和必要條件等。

設(Ω，F(xiàn)，P)為一概率空間，(Θ，Σ)為可測空間，N為非負數(shù)集，N+為正整數(shù)集，ξ={ξn，n∈N}為(Ω，F(xiàn)，P)上 取 值 于(Θ，Σ)的 隨 機 變 量 序 列。{Pi(θ)；θ∈Θ，i∈N}和 {(θ)[1-αi，j(θ)]1-x；θ∈Θ，x=0或1，i，j∈N}為2個 概 率 分 布 列，記Pξ(?)=P(?|ξ)，Eξ(?)=E(?|ξ)。

定義1若{Zn，n≥0}滿足條件：

（iv）給 定ξ，{Xn，j，n∈N，j∈N+}為 獨 立 同 分布隨機變量序列，{In，j，n∈N，j∈N+}為獨立隨機變量序 列，{Xn，j，n∈N，j∈N+}和{In，j，n∈N，j∈N+}條件獨立。

則稱{Zn，n≥0}為獨立隨機環(huán)境ξ中受傳染性疾病影響的分枝過程。其中，Zn表示第n代粒子總和，Xn，j表 示第n代第j個粒 子產(chǎn)生 的后代數(shù)；當?shù)趎代第j個粒子感染傳染病毒未治愈時，In，j=0，當?shù)趎代第j個粒子未感染傳染病毒或感染病毒已治愈時，In，j=1。

為方便討論，引入記號：

并 約 定0＜P0(ξn)+P1(ξn)＜1，0＜αn，j(ξn)＜1，i∈N，j∈N+，a.s.。

1 馬氏性

引理1{Zn，n≥0}為隨機環(huán)境ξ中的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率為

證 明由 于Z0=N0，易 知P{Z0=N0|ξ}=P{Z0=N0|ξ0}。

下證對任意的i1，i2，…，in-1，i，j∈N+，有

由{Zn，n≥0}的定義可得

引理1得證。

引理2對任意的n∈N，存在：

（i）E(Zn+1|Fn)=Znm(ξn)g(ξn，Zn)，a.s.，特別地，有

證明（i）由引理1，可得

進而可得

（ii）由引理1，可得

從而可得

由于無法精確計算{Zn，n∈N}的條件均值，因此在取規(guī)范化因子時，考慮序列{Sn，n∈N}和{Un，n∈N}，其中，

在適當條件下，利用{Sn，n∈N}和{Un，n∈N}規(guī)范化{Zn，n∈N}，得 到 規(guī) 范 化 過 程{，n∈N}和{，n∈N}，其中=Zn/Sn，=Zn/Un。

2 {n∈N}的極限性質(zhì)

首先，給出{，n∈N}a.s.的收斂性。

定理1存在非負有限隨機變量，使得

證明由引理2，可得

則{，F(xiàn)n，n∈N}為非負上鞅。由上鞅收斂定理，可知存在非負有限隨機變量，有

對式（1）兩邊關于Pξ(?)求期望，可得

由Fatou引理可得

定理1得證。

其次，給出在一定條件下，{Wn，n∈N}L1收斂到幾乎處處收斂的極限，即此時兩種收斂是等價的，而通常兩種收斂無必然關系。

定理2若則{W2n，n∈N}L2有界，且{Wn，n∈N}L1收斂于W。

證明由引理2可得

對式（2）兩邊關于Pξ(?)取期望，可得

對式（3）兩邊取期望，可得

由 題 設 條 件 可 知，{W2n，n∈N}L2有 界，可 得{Wn，n∈N}一致可積。結合定理1，有Wn依概率收斂于W，從而可得{Wn，n∈N}L1收斂于W。

最后，討論{Wn，n∈N}極限非退化的充分條件和必要條件。

引理3［10］設R+=(0，+∞)，給定ξ，若對任意給定的n∈N，有

（i）{λj(ξn)，j≥1}是非 減序列，則在R+上存在 一 個 非 減 函 數(shù)φξn(?)，使 得φξn(x)≥λ1(ξn)，x＞0；φξn(j)≤λj(ξn)，j∈N+，且函數(shù)φ*ξn(x)≡xφξn(x)，x＞0為凸函數(shù)。

（ii）{λj(ξn)，j≥1}是非增序列，則在R+上存在一 個 非 增 函 數(shù)ψξn(?)，使 得ψξn(x)≤λ1(ξn)，x＞0；ψξn(j)≥λj(ξn)，j∈N+，且 函 數(shù)ψ*ξn(x)≡xψξn(x)，x＞0為 凹 函 數(shù)。

定理3若對任意的n∈N，{g(ξn，k)}k≥1為非減序列，且有

則E{W}＞0，即P{W＞0}＞0。

證 明由 引 理2和 引 理3，結 合{g(ξn，k)}k≥1，?n∈N的非減性，可知在R+上存在非 減 函 數(shù)φξn(?)，n∈N和 凸 函 數(shù)(x)≡xφξn(x)，x＞0，n∈N，使得

因為對任意的n∈N，φξn(?)為非減函數(shù)，且φ*ξn(?)為凸函數(shù)，所以結合Jensen不等式，可得

對式（5）關于n遞推，可得

由題設條件和Fatou引理可得

于是可得P(W＞0)＞0。

證畢。

定理4若P{W＞0}＞0，則在{W＞0}上，有

證明對任意的n∈N，由引理2，可得

因此，有

由E(W0)=N0和式（6），可得

其中，令n→∞，有

于是有

對幾乎處處w∈{W＞0}，則有

定理5若

則{Wn，n∈N}L2收斂于W。

證 明因 為{Wn，F(xiàn)n，n∈N}為 非 負 上 鞅，由Doob分解定理可知，對任意的n∈N，有

其中，{Yn，F(xiàn)n，n∈N}為鞅，{Tn，n∈N}為增過程，且滿足

由于

由式（3），可得

對式（10）兩邊取期望，可得

由式（9）和式（11），可得

由題設條件，知{Tn，n∈N}L2有界。因為{Tn，n∈N}為非負增過程，從而可得{Tn，n∈N}L2收斂于某非負 隨 機 變 量T。又 因 為{Wn，n∈N}L2有 界，故{Yn，n∈N}L2有界，且{Yn，F(xiàn)n，n∈N}為鞅，則由鞅收斂定理，知{Yn，n∈N}L2收斂于某隨機變量Y，從而可得{Wn，n∈N}L2收斂于隨機變量W。

3 {，n∈N}的極限性質(zhì)

定理6若則存在期望有限的非負隨機變量，使得

證明由引理2，可知

則{，F(xiàn)n，n≥0}為非負下鞅。由引理2，可得

對式（12）兩邊取期望，得

下面給出{，n∈N}L1收斂的充分條件。給定ξ，對任意的n∈N，記

定理7若

且{rk(ξn)，k≥1}為非 增序列，則{，n≥0}L1收斂于某非負有限隨機變量。

證明由引理3結合{rk(ξn)，k≥1}，對?n∈N的非增性，知在R+上存在非增函數(shù)ψξn(?)，n∈N和凹函數(shù)ψ*ξn(x)≡xψξn(x)，x＞0，n∈N，使得

因為ψξn(?)為非增序列，ψ*ξn(?)為凹函數(shù)，由Jensen不等式，可得

由引理2，可知

對式（13）兩邊取期望，可得

對式（14）兩邊求和，由題設條件，可得

所 以{，n≥0}為L1柯西序列，從而{，n≥0}L1收斂于某非負有限隨機變量。