用φ(ξ)展式法求非線性演化方程的行波解

王 騫，林府標

(1.貴州師范大學(xué) 附屬中學(xué)，貴州 貴陽 550001；2.貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

受數(shù)學(xué)機械化[1]思想的啟發(fā)，研究非線性演化偏微分方程[2-4]的方法與技巧不斷涌現(xiàn)。此類方程本身的物理背景和行波解的特殊性質(zhì)，使得其精確求解及行波理論已成為非線性科學(xué)關(guān)注的前沿和熱點問題之一。隨著數(shù)學(xué)機械化的應(yīng)用和計算機的更新與發(fā)展，方程的精確解的解法研究分支中呈現(xiàn)出各種代數(shù)方法，如擬設(shè)法[3]、廣義tanh函數(shù)法[4-5]、ψ(ξ)展式法[6]、廣義正余弦函數(shù)法[7-8]、齊次平衡法[9]、符號計算的代數(shù)法[10]、1/G-展開法[11]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[12]、tanh函數(shù)法[4,13]等。這些方法和技術(shù)既豐富了非線性演化方程的研究內(nèi)容，又為精確求解的機械化及探究更多新的行波解找到了突破口和方向。因此，繼續(xù)探索、研究、挖掘、構(gòu)造及創(chuàng)新這些方法是有實際價值和研究意義的。

在前人的工作和文獻[5-8]的基礎(chǔ)之上，該文研究精確求解非線性演化偏微分方程的4種φ(ξ)展式法,用這些方法分別探究七階SK-Ito方程、五階KdV方程、三階KdV方程、三階Joseph-Egri方程的新行波解。

1 一階常微分方程及精確解

1.1 標準Riccati方程

Riccati方程φ′(ξ)=η(ξ)+ω(ξ)φ(ξ)+r(ξ)φ2(ξ),r(ξ)≠0在微分方程的經(jīng)典理論、近代科學(xué)的有關(guān)分支領(lǐng)域、解析求非線性演化偏微分方程的行波解、廣義tanh函數(shù)法、符號計算機械化的代數(shù)方法等方面，均有重要應(yīng)用[4-5]。文獻[5]給出標準Riccati方程

(1)

的8種類型的精確解,其結(jié)果列于表1，其中b為實常數(shù)，可用于確定行波解的形狀和數(shù)量。

表1 Riccati方程(1)的顯式精確解, 其中ε=±1,a1,a2為常數(shù)Tab.1 Explicit exact solutions of the Riccati equation (1), where ε=±1,a1,a2 are constants

1.2 Liouville方程的約化方程

Liouville方程uxt=exp(u)是一個常用于流體力學(xué)的非線性偏微分方程，其精確求解的方法與技巧在非線性科學(xué)中，受到學(xué)者們的關(guān)注和重視[4,6]。在前人工作和文獻[6]的基礎(chǔ)上，給出Liouville方程的約化方程

(2)

的6種類型的精確解,其中ε=±1,κ,c為實常數(shù)，其結(jié)果列于表2，序號是4和5及6的精確解文獻[6]未給出。

表2 方程(2)的顯式新精確解, 其中ε=±1,a1,a2為常數(shù)Tab.2 Explicit new exact solutions of equation (2), where ε=±1,a1,a2 are constants

1.3 sin-Gordon方程的約化方程

非線性波動sin-Gordon方程uxt=sinu在孤立子理論、孤波現(xiàn)象、晶體位錯、磁學(xué)、光學(xué)、生物系統(tǒng)、超導(dǎo)體等學(xué)科分支領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，解析求行波解的各種方法異軍突起[4,7]。受前人工作的啟發(fā)及在文獻[7]的基礎(chǔ)上，給出sin-Gordon方程的約化方程

(3)

的4種類型的精確解,其中ε=±1,κ,c為實常數(shù)，其結(jié)果列于表3，序號為3和4的精確解，文獻[7]均未給出。

表3 方程(3)的顯式新精確解, 其中ε=±1,a1,κ為常數(shù)Tab.3 Explicit new exact solutions of equation (3), where ε=±1,a1,κ are constants

1.4 雙sin-Gordon方程的約化方程

不可積的雙sin-Gordon方程uxt=sinu+sin(2u)，在生物蛋白質(zhì)分子理論、物理學(xué)、孤立子理論、工程科學(xué)等分支領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，其孤立波之間的相互作用是非彈性的，探尋行波解及孤立波解的方法和技巧[4,8]。受前人工作的啟發(fā)和在文獻[8]的基礎(chǔ)上，給出雙sin-Gordon方程的約化方程

(4)

的4種類型的精確解,其中ε=±1,κ,c為實常數(shù)，其結(jié)果列于表4。

表4 方程(4)的顯式精確解, 其中ε=±1,κ,c,a1,a2,σ為常數(shù)Tab.4 Explicit exact solutions of equation (4), where ε=±1,κ,c,a1,a2,σ are constants

2 φ(ξ)展式法

受前人工作的啟發(fā)[1-4]和在文獻[5-8]的基礎(chǔ)上，用(1)～(4)式，構(gòu)造解析求非線性演化偏微分方程

P(u,ut,ux,utt,uxx,uxt,…)=0

(5)

的行波解的φ(ξ)展式法, 其中,P代表含u和u的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項式。

φ(ξ)展式法的基本思想和主要步驟：

1)設(shè)u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct是(5)式的解，其中c為常數(shù)，代表波速，則(5)式轉(zhuǎn)化為

P(U,-cU′,U′,c2U″,U″,-cU″,…)=0

(6)

2)對某些高階常微分方程(6),若可降階，可考慮首先積分一次或多次，再設(shè)解可寫成

U(ξ)=x0+x1φ(ξ)+x2(φ(ξ))2+…+xn(φ(ξ))n

(7)

其中，φ=φ(ξ)滿足(1)式或(2)式。若解假設(shè)為

(8)

其中，φ=φ(ξ)滿足(3)式或(4)式，xi(i=0,…,n)為待定實參數(shù)，正整數(shù)n可依據(jù)齊次平衡原理[4，9]，由(6)式中非線性項與最高階導(dǎo)數(shù)項平衡而獲得。

4)將解xi(i=0,…,n)代入(7)式或(8)式，依據(jù)b,κ的值及符號，選取表1～表4中相應(yīng)的φ=φ(ξ)，從而可寫出方程(5)的行波解及表達式。

3 φ(ξ)展式法的應(yīng)用

3.1 七階SK-Ito方程的行波解

七階SK-Ito方程[10]

(9)

可用于研究物理學(xué)領(lǐng)域的波理論、孤立子理論、波的色散問題等。

設(shè)方程(9)的解為u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct，其中c為常數(shù)，代表波速，于是得到

252U3U′+63(U′)3+378UU′U″+126U2U?+63U″U?+42U′U(4)+21UU(5)+U(7)-cU′=0

(10)

依據(jù)(1)式和齊次平衡原理，由(10)式中U(7)與U3U′項平衡，得n=2。因此，設(shè)(10)式的解可寫成

U(ξ)=b0+b1φ(ξ)+b2(φ(ξ))2

(11)

其中，b0,b1,b2是待定的實參數(shù)，φ=φ(ξ)滿足(1)式，將(11)式代入(10)式，得

令φi(i=0,…,9)的系數(shù)為零，得關(guān)于b0,b1,b2,b,c的方程組，用吳消元法，解得

因此，方程(9)的行波解為

(12)

(13)

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)b的符號從表1中選取，為行文簡潔，僅將解(13)列于表5，類似可寫出解(12)，解(12)和(13)文獻[10]未給出。

表5 SK-Ito方程(9)的顯式行波解, 其中ε=±1,a1,a2為常數(shù)Tab.5 Travelling wave solutions of SK-Ito equation (9), where ε=±1,a1,a2 are constants

3.2 五階KdV方程的行波解

五階KdV方程[10-11]

ut+αu2ux+βuxu2x+γuuxxx+uxxxxx=0

(14)

可用于研究等離子體、磁聲傳播、物理學(xué)波理論等，其中α,β,γ是非零常數(shù)。若取α=30,β=20,γ=10，方程(14)變成Lax方程；若取α=5,β=5,γ=5，方程(14)變成SK方程；若取α=20,β=25,γ=10，方程(14)變成KK方程；若取α=2,β=6,γ=3，方程(14)變成Ito方程。

設(shè)方程(14)的解為u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct，其中c為常數(shù)，代表波速，則得到

αU2U′+βU′U″+γUU?+U(5)-cU′=0

(15)

根據(jù)(2)式及齊次平衡原理，由(15)式中U(5)與U2U′項平衡，得n=1。因此，設(shè)(15)式的解可寫成

U(ξ)=d0+d1φ(ξ)

(16)

其中，d0,d1是待定的實參數(shù)，φ=φ(ξ)滿足(2)式，把(16)式代入(15)式，得

2αcd0d1+βcd1κ+cd1γκ-6d0γ-30κ=0。

1)情形：α=30,β=20,γ=10，解得

因此，Lax方程(14)的行波解為

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)κ的符號從表2中選取，為了行文簡潔，省略具體列舉過程。

2)情形：α=5,β=5,γ=5，解得

因此，SK方程(14)的行波解為

其中，φ=φ(ξ)可根據(jù)κ的符號從表2中選取，為了行文簡潔，省略具體列舉過程。

3)情形：α=20,β=25,γ=10，解得

因此，KK方程(14)的行波解為

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)κ的符號從表2中選取，為了行文簡潔，省略具體列舉過程。

4)情形：α=2,β=6,γ=3，解得

因此，Ito方程(14)的行波解為

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)κ的符號從表2中選取，為了行文簡潔，省略具體列舉過程。情形1)～4)找到的解文獻[10-11]未給出。

3.3 三階 KdV方程的行波解

三階非線性數(shù)學(xué)物理KdV方程[3-4,10,12]

ut+βuux+γuxxx=0

(17)

在孤立子理論學(xué)、流體動力學(xué)等分支領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用，其中β,γ是常數(shù)。

設(shè)方程(17)的解為u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct，其中c為常數(shù)，代表波速，則得到

βUU′+γU?-cU′=0

(18)

依據(jù)(3)式和齊次平衡原理，由(18)式中U?與UU′項平衡，得到n=2。因此，設(shè)(18)式的解可寫成

U(ξ)=p0+p1cos(φ(ξ))+p2cos2(φ(ξ))

(19)

或

U(ξ)=p0+p1sin(φ(ξ))+p2sin2(φ(ξ))

(20)

其中，p0,p1,p2是待定的實參數(shù)，φ=φ(ξ)滿足(3)式，將(19)式代入(18)式，得

類似地，用(20)式求解，可解得

因此，方程(17)的行波解為

ξ=x-ct,

ξ=x-ct,

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)κ的值從表3中選取，為了行文簡潔，省略具體列舉過程，這些解文獻[3-4,10,12]未給出。

3.4 Joseph-Egri方程的行波解

動力學(xué)數(shù)學(xué)物理Joseph-Egri方程[3-4,13]

ut+ux+βu2ux+γuttx=0

(21)

可用于非色散沖擊波的分散模擬，其中β,γ是常數(shù)。

設(shè)方程(21)的解為u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct，其中c為常數(shù)，代表波速，于是得到

U′-cU′+βU2U′+c2γU?=0

(22)

依據(jù)(4)式和齊次平衡原理，由(22)式中U?與U2U′項平衡，得到n=1。因此，設(shè)(22)式的解可寫成

U(ξ)=q0+q1tan(φ(ξ))

(23)

其中，q0,q1是待定的實參數(shù)，φ=φ(ξ)滿足(4)式，把(23)式代入(22)式，得

qcos2φ,qcosφsinφ,q的系數(shù)均為零，解得

因此，方程(21)的行波解為

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)κ的值從表4中選取，為了行文簡潔，省略具體列舉過程，這些解文獻[3-4,13]未給出。

4 結(jié)束語

該文是在文獻[5-8]的基礎(chǔ)上，增加了方程(2)和方程(3)的新精確解，拓展了用φ(ξ)展式法解析求一些非線性演化偏微分方程的行波解的數(shù)量，豐富了精確解的類型及多樣性。這些方法和技巧可用于求解其它一些非線性演化偏微分方程的新行波解,如Burgers方程ut+uux-uxx=0。Kuramoto-Sivashinsky方程ut+uux+αuxx+βuxxxx=0，其中，α,β為常數(shù)。耦合三階KdV方程ut+6uux-6vvx+uxxx=0,vt+3uvx+vxxx=0等。今后的研究工作中還可繼續(xù)考慮方程(1)～方程(4)的更多類型的新顯式精確解。