圓柱波導(dǎo)并矢格林函數(shù)的構(gòu)建及其在圓柱腔中的應(yīng)用

雒向東，趙宇杰，海 波，梁 曄

(1.蘭州城市學(xué)院 a.電子工程學(xué)院；b.信息工程學(xué)院，蘭州 730070；2.甘肅高師學(xué)報(bào)編輯部，蘭州 730070)

自Hansen首次引進(jìn)矢量波函數(shù)用來(lái)解決某些電磁問(wèn)題[1-3]，Stratton驗(yàn)證了這些函數(shù)的有效性[4]，這些函數(shù)的使用方法進(jìn)一步被Stratton、Morse[5]等有所推廣,戴振鐸[6]、宋文淼[7]、柯享玉[8]等就電磁理論中的并矢格林函數(shù)做了大量研究，使得并矢格林函數(shù)(簡(jiǎn)稱DGF)方法被廣泛應(yīng)用于電磁理論及工程的各個(gè)領(lǐng)域。用DGF方法解決各種電磁場(chǎng)工程問(wèn)題，其關(guān)鍵是要求出DGF表達(dá)關(guān)系，因此DGF的求解和研究自然成為學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)構(gòu)建矢量格林函數(shù)做了大量研究，如對(duì)規(guī)則形狀波導(dǎo)、常用坐標(biāo)系等問(wèn)題已有一致的結(jié)果，有些問(wèn)題如圓柱腔問(wèn)題報(bào)道文獻(xiàn)就比較少[9-13]。該研究就圓柱腔駐波波函數(shù)、圓柱波導(dǎo)并矢格林函數(shù)的構(gòu)建及其在圓柱腔中的應(yīng)用進(jìn)行探索，研究結(jié)論可為基于DGF方法解決圓柱波導(dǎo)及圓柱腔電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題等提供理論和技術(shù)支持。

1 構(gòu)建圓柱坐標(biāo)系駐波矢量波函數(shù)

圖1 圓柱波導(dǎo)

在圓波導(dǎo)內(nèi)研究齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程，假設(shè)波沿z軸方向?qū)?，沿?r方向均為駐波，其基本標(biāo)量波函數(shù)可表示為[14]

(1)

式(1)中，除n=0情況外，每一組分離常數(shù)對(duì)應(yīng)兩種不同極化場(chǎng)的模式，稱為模式極化簡(jiǎn)并。

基于圓柱坐標(biāo)系中的標(biāo)量波函數(shù)，定義兩類圓柱矢量波函數(shù)，它們?cè)趓=a時(shí)都滿足矢量狄里克萊邊界條件。兩類圓柱矢量波函數(shù)定義為[6]104-114

(2)

其中：

(3)

式(2)和(3)矢量波函數(shù)的完全表達(dá)式為

(4)

(5)

描述圓柱波導(dǎo)中的磁場(chǎng)，可采用的矢量波函數(shù)為

另外,矢量波函數(shù)之間還存在如下關(guān)系：

基于兩類圓柱矢量波函數(shù)，構(gòu)建兩個(gè)駐波矢量波函數(shù)，用Mμo(z)和Nλe(z)分別表示，其形式為

(6)

(7)

2 圓柱波導(dǎo)并矢格林函數(shù)

(8)

其中,求和指數(shù)m、n與關(guān)系式pnm=λa和qnm=μa相聯(lián)系，可簡(jiǎn)化記為

用Nonμ(-h′)、Menλ(-h′)和Monλ(-h′)分別與式(8)作前標(biāo)積，可分別得到系數(shù)為

這幾個(gè)系數(shù)可簡(jiǎn)寫為

(9)

(10)

將式(9)和(10)代入并矢格林函數(shù)滿足的麥克斯韋方程[15]

可求出a、b系數(shù)為

(11)

將式(11)代入式(10)得

(12)

其中：

(13)

kμ、kλ表示兩組模式相應(yīng)的導(dǎo)波函數(shù)，式(12)中上行符號(hào)對(duì)應(yīng)z>z′，下行符號(hào)對(duì)應(yīng)z

其中：

可推得邊界條件為

(14)

(15)

(16)

式(16)中使用了兩個(gè)單位階躍函數(shù)，它們是

進(jìn)一步推得式(15)為

(17)

由廣義函數(shù)理論知

U(z-z′)=ezδ(z-z′) ，U(z′-z)=-ezδ(z-z′) 。

(18)

將式(18)代入式(17)得

(19)

利用式(14)，式(19)又可寫成

(20)

式(20)對(duì)于所有ρ，φ，z值都適用，由于δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)δ(z-z′) =δ(R-R′),把式(20)代入式(15)得

(21)

將式(12)代入式(21)得圓柱波導(dǎo)第一類電型并矢格林函數(shù)為

(22)

式(22)中上行符號(hào)對(duì)應(yīng)z>z′，下行符號(hào)對(duì)應(yīng)z

3 圓柱波導(dǎo)并矢格林函數(shù)在圓柱腔中的應(yīng)用

(23)

(24)

(25)

(26)

代入定義的相應(yīng)矢量波函數(shù),由式(26)可推得

Aμ=-1。

(27)

考慮代表TM模電場(chǎng)的一對(duì)波函數(shù)，滿足在z=0處的狄里克萊邊界條件為

(28)

同樣代入相應(yīng)矢量波函數(shù)可推得

Bλ=1。

(29)

將式(27)(29)代入式(25)得散射項(xiàng)為

(30)

(31)

其中:

(32)

(33)

代入式(6)和(7)駐波矢量波函數(shù)，式(32)和(33)可簡(jiǎn)化為

(34)

(35)

還可推得

(36)

(37)

將式(34)至(37)代入式(31)得

(38)

其中:

這就是半無(wú)限長(zhǎng)波導(dǎo)的第一類電型并矢格林函數(shù)表示式。

(39)

(40)

(41)

(42)

由式(41)和(42)可求出

(43)

將式(43)代入式(40)得散射項(xiàng)為

(44)

將式(38)(44)代入式(39)得

(45)

其中：

(46)

式(46)可化簡(jiǎn)為

sinkμcMμ(kμ)-e-ikμcMμo(z)=Mμo(c-z)。

(47)

同理，有

(48)

式(45)中有

(49)

式(49)可化簡(jiǎn)為

-iNλ(kλ)sinkλc-e-ikλcNλe(z)=-Nλe(c-z)。

(50)

同理，有

(51)

將式(13)(47)(48)(50)(51)代入式(45)得

(52)

這就是圓柱腔的第一類電型并矢格林函數(shù)。

當(dāng)激勵(lì)頻率等于腔體諧振頻率時(shí)

kμc=nπ,n=0，1，2,…

此時(shí)圓柱腔產(chǎn)生TEnm模式電諧振。

當(dāng)激勵(lì)頻率滿足下述關(guān)系時(shí)

kλc=nπ,n=0，1，2,…

此時(shí)圓柱腔產(chǎn)生TMnm模式電諧振。

4 結(jié)語(yǔ)

利用圓柱坐標(biāo)系中矢量波函數(shù)，研究圓柱波導(dǎo)系統(tǒng)并矢格林函數(shù)，構(gòu)造圓柱腔駐波波函數(shù)，基于散射疊加原理推證圓柱腔第一類電型并矢格林函數(shù)關(guān)系，就諧振腔諧振問(wèn)題進(jìn)行研究。所得結(jié)論可為研究圓柱腔其他類型并矢格林函數(shù)以及腔內(nèi)場(chǎng)結(jié)構(gòu)等問(wèn)題提供理論依據(jù)和技術(shù)指導(dǎo)。