函數(shù)重排類的刻畫及其在定常渦塊構(gòu)造中的應(yīng)用*

江 毅

(福州理工學院計算與信息科學學院數(shù)學系，福建 福州 350506)

函數(shù)重排理論作為分析與幾何的一個重要結(jié)合，是極其有用的工具.眾所周知，許多不等式往往是在具有最優(yōu)對稱性的情形下達到最優(yōu)的，如等周不等式表明，在體積一定的條件下，球具有最小的表面積.在函數(shù)重排理論中，核心主題就是對某種最優(yōu)對稱狀態(tài)的刻畫.學者對重排理論進行了深入研究，提出了許多重排定理，如Riesz重排不等式[1]、Brascamp-Lieb-Luttinger不等式[2]和Brunn-Minkowski不等式[2]等.根據(jù)這些函數(shù)重排理論同樣可以推導出等周不等式[3]，也可以推導出Sobolev不等式[4]和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[1]的最優(yōu)解是球?qū)ΨQ函數(shù)等結(jié)論.

對于一個給定的函數(shù)，如何刻畫它自身所有重排函數(shù)所構(gòu)成的函數(shù)類及其在適當拓撲下的閉包，是一類基本的問題，這在具體問題的應(yīng)用中也非常重要.筆者擬構(gòu)造一類特征函數(shù)，通過在測度區(qū)間上構(gòu)造函數(shù)的方法給出其重排類弱閉包的另一個等價刻畫，并且將該結(jié)果應(yīng)用于定常渦塊的構(gòu)造問題中.

1 預備知識

設(shè)(Ω,μ)和(Ω′,μ′)是正測度空間，且μ(Ω)=μ′(Ω′)<+∞.考慮可測函數(shù)f:Ω→R，g:Ω′→R，稱f和g互為重排函數(shù)，如果對于?t∈R，有μ(f-1[t,+∞))=μ′(g-1[t,+∞)).由文獻[1]可知，f存在一個單調(diào)不增的函數(shù)fΔ:(0,μ(Ω))→R，使得f和fΔ互為重排函數(shù).需要指出的是，這里開區(qū)間(0,μ(Ω))賦予的是一維Lebesgue測度.

給定映射ρ:Ω→Ω′，稱映射ρ是從Ω到Ω′的保測變換，如果對于每個μ′-可測子集A?Ω′，其原象集ρ-1(A)都是μ-可測的，且μ(ρ-1(A))=μ′(A).進一步，稱映射ρ是從Ω到Ω′的保測雙射，如果ρ具有逆映射，且也是保測變換.稱(Ω,μ)是一個測度區(qū)間[5]，如果存在一個從測度空間(Ω,μ)到區(qū)間(0,μ(Ω))的保測雙射.

引理1給出了函數(shù)重排類弱閉包的一個刻畫.這個刻畫具有普遍性，但結(jié)果是抽象的，因此在具體問題的應(yīng)用中需要一些更具體的描述.為了簡單起見，這里主要考慮特征函數(shù)的情形，即某個集合的示性函數(shù).對于給定的集合A，將A上的特征函數(shù)記為1A.本研究的主要目標就是給出特征函數(shù)的重排類弱閉包的另一個等價刻畫.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)(Ω,μ)是一個測度區(qū)間，1≤p<+∞，A?Ω，f0=1A.將f0在Ω上的所有重排函數(shù)全體構(gòu)成的函數(shù)類記為F，則有

證明記

根據(jù)引理1，只需證明A1=A2.

首先證明A2?A1.任取f∈A2，要證明f∈A1，只需證明

(1)

(2)

由(2)式可得(1)式，從而A2?A1.

接下來證明A1?A2.對于任取的f∈A1，即要證明f∈A2.

采用反證法.先假設(shè){x∈Ω|f(x)>1}為正測集，那么存在s0∈(0,μ(Ω))，使得fΔ(s0)>1.由fΔ的單調(diào)性可知，在(0,s0]上都有fΔ(s)>1，由此可得

該結(jié)果與f∈A1的事實矛盾，因此在Ω上f幾乎處處小于或等于1.

再假設(shè){x∈Ω|f(x)<0}為正測集，那么存在s0∈(0,μ(Ω))，使得fΔ(s0)<0.由fΔ的單調(diào)性可知，在[s0,μ(Ω))上都有fΔ(s)<0，由此可得

該結(jié)果也與f∈A1的事實矛盾，因此在Ω上f幾乎處處大于或等于0.

綜上可得f∈A2.證畢.

3 重排類在定常渦塊構(gòu)造中的應(yīng)用

Turkington[7]將定常渦塊的構(gòu)造問題歸結(jié)為一個變分問題.設(shè)D?R2為一個有界單連通的光滑區(qū)域，-Δ在D中帶有零邊值的格林函數(shù)記為g(x,x′)，定義

其中：D賦予的是二維Lebesgue測度，其測度記為m(D)；λ表示渦強參數(shù)，λ>(m(D))-1.

Turkington考慮了如下極大化問題：

他證明了能量泛函E在Kλ(D)上的極大元可以達到，且這個極大元具有渦塊形式(見文獻[7]中的Theorem 2.1和Corollary 2.3).Turkington的證明雖極具技巧性，但稍顯冗長.在這里，可以利用定理1，將這個極大化證明吸納到抽象的泛函框架中，給出更簡潔的證明.

事實上，由定理1可知，Turkington所定義的Kλ(D)實際上就是D中高度為λ、總質(zhì)量為1的所有特征函數(shù)的弱閉包.于是利用Burton[6]建立的理論(Lemma 2.15)能推導出能量泛函E在Kλ(D)上的極大元不僅可以達到，而且具有渦塊形式，這樣就完成了文獻[7]中Theorem 2.1和Corollary 2.3的證明.