三態(tài)噪聲激勵(lì)下分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象*

彭皓 任芮彬 鐘揚(yáng)帆 蔚濤?

1)(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610064)

2)(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610064)

為了刻畫在黏彈性介質(zhì)中具有質(zhì)量漲落的耦合粒子的運(yùn)動(dòng)行為,本文提出了相應(yīng)模型,即三態(tài)噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng).利用Shapiro-Loginov 公式和Laplace 變換,發(fā)現(xiàn)了粒子間的統(tǒng)計(jì)同步性,并得到了系統(tǒng)輸出幅值增益的解析表達(dá).在此基礎(chǔ)上,針對模型涉及的關(guān)鍵要素,即耦合系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和三態(tài)噪聲,著重分析了耦合系數(shù)、系統(tǒng)階數(shù)和噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)輸出幅值增益的廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象的影響,并給出了合理解釋.具體地說,1)隨著耦合系數(shù)的增大,共振現(xiàn)象將先增強(qiáng)后減弱,直至收斂.該現(xiàn)象表明適當(dāng)?shù)鸟詈献饔媚軌虼龠M(jìn)系統(tǒng)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生,體現(xiàn)了研究耦合系統(tǒng)的重要性.2)隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大,共振現(xiàn)象將逐漸減弱.當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)取值為1,即系統(tǒng)退化為整數(shù)階系統(tǒng)時(shí),其輸出幅值增益的峰值最小,該現(xiàn)象說明分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能比傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)得到更大的輸出幅值增益.3)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)輸出幅值增益的影響會隨著與之相關(guān)的其他參數(shù)的變化而變化.在一定參數(shù)條件下,三態(tài)噪聲不僅能夠使系統(tǒng)輸出幅值獲得比雙態(tài)噪聲激勵(lì)時(shí)更大的增益,還能改變系統(tǒng)的共振類型.最后,通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了上述結(jié)果的正確性.

1 引言

隨機(jī)共振(SR)[1]是一種重要的非線性現(xiàn)象,過去的幾十年中得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.該現(xiàn)象表明,適當(dāng)?shù)脑肼暱梢栽鰪?qiáng)系統(tǒng)對微弱信號的響應(yīng),顛覆了人們以往對噪聲只具有破壞性的認(rèn)識,引發(fā)了相關(guān)研究熱潮[2-7].SR 的發(fā)生需要3 個(gè)基本條件:1)系統(tǒng)的非線性性;2)微弱相干信號;3)噪聲.因此,早期研究[8-13]主要集中于受加性白噪聲驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng).然而,大量近期研究[14-22]表明,受乘性色噪聲驅(qū)動(dòng)的線性系統(tǒng)也可以產(chǎn)生SR,在這類系統(tǒng)中,系統(tǒng)的非線性是由乘性噪聲提供的.

考慮黏彈性介質(zhì)中的Brown 運(yùn)動(dòng)時(shí),環(huán)境分子會隨機(jī)吸附或脫離于Brown 粒子,使Brown 粒子質(zhì)量發(fā)生隨機(jī)漲落.為此,可通過在Langevin 方程中引入乘性噪聲ξ(t)—“質(zhì)量漲落噪聲”來描述該質(zhì)量漲落[23]:

其中,m表示Brown 粒子的質(zhì)量,ξ(t)表示粒子質(zhì)量的隨機(jī)漲落,x(t)表示Brown 粒子的位置,γ與ω分別代表系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率,A0cos(Ωt)和η(t)分別代表系統(tǒng)受到的外部驅(qū)動(dòng)力與內(nèi)部噪聲.在早期研究[24-27]中,Brown 粒子的質(zhì)量漲落往往被建模成雙態(tài)噪聲[28].這種做法固然能簡化對模型的求解,但卻將Brown 粒子的質(zhì)量限制在了兩種狀態(tài)上.事實(shí)上,真實(shí)粒子的質(zhì)量往往存在3 種狀態(tài):增加、減小或不變.如紅細(xì)胞可將氧氣輸送至人體各部的原理是:在氧含量高的區(qū)域,紅細(xì)胞易于加載氧分子;而在氧含量低的區(qū)域,紅細(xì)胞更容易卸載氧分子.如果將一個(gè)紅細(xì)胞及其攜帶的氧分子視作一個(gè)整體(Brown 粒子),則在大多數(shù)時(shí)候,該粒子的質(zhì)量變化微弱,不足以引起其運(yùn)動(dòng)行為的顯著改變,此時(shí)可認(rèn)為粒子的質(zhì)量保持不變;但當(dāng)人體行為模式發(fā)生較大變化時(shí),如開始或結(jié)束劇烈運(yùn)動(dòng),該粒子的質(zhì)量也將隨著大量氧分子的加載或卸載而顯著增加或減少.為此,本文考慮將粒子質(zhì)量漲落建模為三態(tài)噪聲[29-32].一方面,如上所述,三態(tài)噪聲能更好地描述客觀實(shí)際,使得相關(guān)研究工作具有更好的實(shí)際意義;另一方面,在極限條件下,三態(tài)噪聲可演變?yōu)殡p態(tài)噪聲或高斯白噪聲,從而使得該研究具有較大理論價(jià)值[33-35].

當(dāng)Brown 粒子處于黏彈性介質(zhì)中時(shí),其運(yùn)動(dòng)行為不僅與系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)有關(guān),還與系統(tǒng)的歷史狀態(tài)有關(guān).因此,學(xué)者們提出將Langevin 方程中的阻尼項(xiàng)由整數(shù)階擴(kuò)展為分?jǐn)?shù)階,利用分?jǐn)?shù)階微積分的記憶性來體現(xiàn)系統(tǒng)的歷史狀態(tài)對Brown 粒子運(yùn)動(dòng)行為的影響[20,36-39].分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的表達(dá)式如下:

式中,α代表分?jǐn)?shù)階的階數(shù),積分核函數(shù)hD(t)=t-α/[Γ(1-α)]表明該分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)服從冪律記憶性,這與自然界中大量具有記憶性的材料和過程的性質(zhì)相符.因此,具有質(zhì)量漲落的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可表示為

式中,ηH(t)是依據(jù)漲落耗散定理確定的與分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)相關(guān)的內(nèi)噪聲.

事實(shí)上,在黏彈性介質(zhì)中往往存在著大量相互關(guān)聯(lián)的Brown 粒子,其耦合作用能為系統(tǒng)帶來豐富的動(dòng)力學(xué)行為.已有工作將對SR 的研究與耦合系統(tǒng)相結(jié)合,得到了大量有意義的結(jié)果[20,40-44].如蔚濤等[20]針對雙態(tài)噪聲激勵(lì)下的耦合系統(tǒng)的SR現(xiàn)象進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)粒子間的耦合作用對系統(tǒng)的共振行為有著顯著影響.具體表現(xiàn)為,耦合作用不僅能影響系統(tǒng)共振強(qiáng)度的大小,還能影響系統(tǒng)共振的類型(單峰共振和雙峰共振).

鑒于此,為了推廣前述工作,本文對三態(tài)噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)的SR 現(xiàn)象進(jìn)行了分析.需要說明的是,本文提及的SR 現(xiàn)象是指Berdichevsky 和Gitterman[14]提出的廣義隨機(jī)共振現(xiàn)象(GSR),即系統(tǒng)輸出的某些函數(shù)(如矩、自相關(guān)函數(shù)和功率譜等)隨著系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生非單調(diào)變化的現(xiàn)象.本文的結(jié)構(gòu)安排如下.第2 節(jié)給出系統(tǒng)模型,即三態(tài)噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng),并解釋了相關(guān)參數(shù)的含義.第3 節(jié)利用Shapiro-Loginov 公式和Laplace 變換,得到了統(tǒng)計(jì)同步性及系統(tǒng)輸出幅值增益的解析表達(dá).第4 節(jié)基于所得的解析表達(dá),分析了耦合系數(shù)、系統(tǒng)階數(shù)和噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)GSR 現(xiàn)象的影響,并給出了合理解釋.第5 節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性.第6 節(jié)是對全文得到的一系列結(jié)果的討論與總結(jié).

2 模型

為考察黏彈性介質(zhì)中的耦合Brown 運(yùn)動(dòng),引入如下帶質(zhì)量漲落的分?jǐn)?shù)階耦合Langevin 方程,用以刻畫三態(tài)噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng):

其中,下標(biāo) 1,2 用于區(qū)分不同粒子.

將粒子的質(zhì)量漲落建模為對稱三態(tài)噪聲ξi(i=1,2),其幅值在-a,0,a中取值,其穩(wěn)態(tài)概率為

其中,0＜q≤1/2.ξi(i=1,2)滿足如下統(tǒng)計(jì)特性:

其中,〈·〉表示取統(tǒng)計(jì)平均.噪聲幅值a代表Brown粒子質(zhì)量增加或減少的量,由于減少的量不能超過粒子本身的質(zhì)量,且環(huán)境分子在不同Brown 粒子上的吸附和脫離行為之間沒有關(guān)系,故對于對稱三態(tài)噪聲,假設(shè)噪聲幅值a＜m,并且ξ1與ξ2相互獨(dú)立.

對于任意固定的時(shí)刻t,為零均值的隨機(jī)變量,即=0 ,且與ξi(t)(i=1,2)產(chǎn)生的機(jī)制完全無關(guān),故其與ξi(t)(i=1,2)相互獨(dú)立.因此,在本文后續(xù)推導(dǎo)中,所有包含的項(xiàng)均為0,表明該加性噪聲對線性系統(tǒng)中的共振行為不產(chǎn)生任何影響,故可將其略去不表,以達(dá)到簡化演算過程的目的.

在該模型中,xi(i=1,2)是ξj(j=1,2)的泛函,從而由Shapiro-Loginov 定理[45]可知:

(7)式中的各公式在后續(xù)的理論推導(dǎo)中將發(fā)揮重要作用.

3 理論結(jié)果

3.1 同步性

接下來,通過計(jì)算〈x1-x2〉來分析兩個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡間的統(tǒng)計(jì)同步性.

首先,將方程(1a)和方程(1b)作差可得

對方程(8)兩端同時(shí)取平均并利用方程(7)可得

將方程(8)乘以ξ1+ξ2并取平均可得

將方程(8)乘以ξ1ξ2并取平均可得

將方程(4a)和方程(4b)分別乘以ξ1與ξ2后作差并取均值可得

綜上,得到了一個(gè)包含以下9 個(gè)變量的封閉線性方程組(方程(9)—方程(17)):

根據(jù)常微分方程中的Picard 存在唯一性定理,該封閉線性方程組有唯一解.經(jīng)過長時(shí)間演化之后,初值的影響將逐漸消失.因而,不失一般性,本文假設(shè)系統(tǒng)具有零初始條件.進(jìn)而,作Laplace 變換后可得

求解方程組(19),可得Zi(s)(i=1,2,3,···,9)的值為

對(21)式作Laplace 逆變換可得相應(yīng)的時(shí)域解如下:

解(22)可進(jìn)一步等價(jià)表示為

從(23)式可以看出:兩個(gè)粒子的行為在統(tǒng)計(jì)意義上是完全同步的.這表明本文的系統(tǒng)也同樣滿足蔚濤等[26]提出的“統(tǒng)計(jì)同步性”,也即,系統(tǒng)的平均場行為與單粒子行為具有統(tǒng)計(jì)一致性.在本文的后續(xù)工作中,即通過研究單粒子行為來研究系統(tǒng)的平均場行為.

3.2 輸出幅值增益

本節(jié)利用3.1 節(jié)所得結(jié)果推導(dǎo)一階矩〈xi〉及系統(tǒng)輸出幅值增益G的表達(dá)式.

對方程(4a)取平均并利用(7)式可得

將方程(4a)乘以ξ1后取平均并利用(7)式可得

將方程(4a)乘以ξ2后取平均并利用(7)式可得

將方程(4a)乘以ξ1ξ2后取平均并利用(7)式可得

綜上,得到了一個(gè)包含以下9 個(gè)變量的封閉線性方程組(方程(24)—方程(32)):

對封閉方程組(33)作Laplace 變換可得

求解方程組(34)可得Yi(s)(i=1,2,3,···,9)的解析表達(dá)式.特別地,

其中,

對(35)式作Laplace 逆變換可得〈x1〉的解析表達(dá)式如下:

其中,h1(t)是H1(s)作Laplace 逆變換的結(jié)果.

另一方面,也可通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)理論對〈x1〉進(jìn)行求解.方程組(34)可看作一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng),因而,其輸出應(yīng)該是與輸入信號同頻的余弦信號,僅在幅值和相位上有所差別.據(jù)此,〈x1〉可表示為

其中A和φ分別代表〈x1〉的幅值和相位,和(35)式對比可得

其中,j 代表虛數(shù)單位,滿足 j2=-1.最終,根據(jù)輸出幅值增益的定義可得

其中,H1(s)的具體表達(dá)式見(36)式.

特別地,當(dāng)q=0.5 時(shí),三態(tài)噪聲將退化為雙態(tài)噪聲.在這種情況下,(33)式和(34)式中的變量將滿足以下關(guān)系:

將(41)式中的關(guān)系式代入方程組(34)的前4 個(gè)方程中容易發(fā)現(xiàn),方程組(34)將退化為蔚濤等[27]已發(fā)表論文中的方程組.因而,當(dāng)q=0.5 時(shí),本文的研究結(jié)果可涵蓋蔚濤等[27]之前的研究結(jié)果.

4 系統(tǒng)輸出幅值增益的GSR 現(xiàn)象

本節(jié)將利用(40)式對系統(tǒng)輸出幅值增益的GSR 現(xiàn)象進(jìn)行討論,以分析參數(shù)對該現(xiàn)象的影響.

4.1 系統(tǒng)輸出幅值增益隨噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率q 變化的GSR

圖1 為隨q變化的GSR 在α-ε平面的相圖,反映了GSR 現(xiàn)象出現(xiàn)與否的參數(shù)范圍.在本文的相圖中,不同的灰度代表系統(tǒng)處于不同的共振狀態(tài),具體地說:

圖1 隨q 變化的GSR 在 α-ε平面的相圖,其中 m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.4,λ=0.1,a=0.7Fig.1.Phase diagram for GSR versus q in the α-ε plane,with m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.4,λ=0.1,a=0.7.

1)黑色區(qū)域(i)代表系統(tǒng)輸出幅值增益未出現(xiàn)GSR 現(xiàn)象;

2)灰色區(qū)域(ii)代表系統(tǒng)輸出幅值增益出現(xiàn)單峰共振現(xiàn)象;

3)白色區(qū)域(iii)代表系統(tǒng)輸出幅值增益出現(xiàn)雙峰共振現(xiàn)象.

如圖1 所示,在這一組參數(shù)設(shè)定下,耦合系數(shù)和系統(tǒng)階數(shù)均對系統(tǒng)輸出幅值增益的共振現(xiàn)象有顯著影響.當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較小時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益出現(xiàn)了單峰共振現(xiàn)象.而當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較大時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益沒能出現(xiàn)共振現(xiàn)象.與之相反,當(dāng)耦合系數(shù)較小時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益沒能出現(xiàn)共振現(xiàn)象.當(dāng)耦合系數(shù)足夠大時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益出現(xiàn)了單峰共振現(xiàn)象.為了解釋上述現(xiàn)象,不失一般性,在分別選擇ε=4 和α=0.2 的條件下,進(jìn)一步分析了耦合系數(shù)和系統(tǒng)階數(shù)對系統(tǒng)GSR 現(xiàn)象的影響,結(jié)果如圖2 所示.

圖2 系統(tǒng)輸出幅值增益隨噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率q 變化的GSR 現(xiàn)象,其中 m=1 ,γ=0.1,ω=1,Ω=1.4,λ=0.1,a=0.7(a)ε=4;(b)α=0.2Fig.2.The OAG versus q with m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.4,λ=0.1,a=0.7:(a)ε=4;(b)α=0.2.

圖2(a)給出了系統(tǒng)輸出幅值增益在不同系統(tǒng)階數(shù)的條件下,隨著三態(tài)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率變化而發(fā)生的變化情況.可以看出,當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)由0.2 增大到0.4 時(shí),系統(tǒng)GSR 現(xiàn)象隨之減弱.當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)由0.4 進(jìn)一步增大到1 時(shí),系統(tǒng)GSR 現(xiàn)象逐漸消失.該現(xiàn)象與圖1 反映的結(jié)果一致.為了解釋這個(gè)現(xiàn)象,本文分析了分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的頻率特征,結(jié)果如圖3[27]所示.可以看出,隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加,輸出信號中的高頻成分能量增強(qiáng),低頻成分能量相應(yīng)減弱.根據(jù)絕熱近似原理,低頻信號較高頻信號更容易達(dá)到SR 現(xiàn)象產(chǎn)生的條件.

圖3 分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的頻率特征Fig.3.Frequency characteristics of the fractional damping term.

圖2(b)給出了系統(tǒng)輸出幅值增益在不同耦合系數(shù)的條件下,隨著三態(tài)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率變化而發(fā)生的變化情況.能夠發(fā)現(xiàn),當(dāng)ε=0 時(shí),系統(tǒng)退化為非耦合系統(tǒng),系統(tǒng)輸出幅值增益沒能產(chǎn)生GSR現(xiàn)象.隨著耦合系數(shù)的增大,系統(tǒng)輸出幅值增益開始出現(xiàn)廣義共振現(xiàn)象.具體地說,當(dāng)耦合系數(shù)由0.5 增大到2 時(shí),系統(tǒng)的共振現(xiàn)象隨之增強(qiáng).當(dāng)耦合系數(shù)進(jìn)一步由2 逐漸增大到100 時(shí),系統(tǒng)的共振現(xiàn)象逐漸減弱,直至收斂.這是因?yàn)榱Ｗ娱g適當(dāng)?shù)鸟詈献饔媚軌驗(yàn)橄到y(tǒng)提供產(chǎn)生共振現(xiàn)象所需的非線性條件.當(dāng)耦合作用過大時(shí),兩個(gè)粒子將被強(qiáng)大的耦合力連接成一個(gè)剛性的整體,從而使系統(tǒng)的非線性減弱,進(jìn)而減弱系統(tǒng)的共振現(xiàn)象.

從圖2 還可以看出,系統(tǒng)輸出幅值增益的共振峰均出現(xiàn)在q小于0.5 時(shí),并在q等于0.5 時(shí)取得最小值.由于三態(tài)噪聲將在q等于0.5 時(shí)退化為雙態(tài)噪聲,上述結(jié)果說明了在這一組參數(shù)條件下,三態(tài)噪聲與雙態(tài)噪聲相比,能為系統(tǒng)輸出創(chuàng)造更高的增益.

4.2 系統(tǒng)輸出幅值增益隨耦合系數(shù) ε 變化的GSR

從圖4 可以看出,噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率和系統(tǒng)階數(shù)均對系統(tǒng)輸出幅值增益隨耦合系數(shù)變化的GSR 行為有著顯著的影響,即隨著q的增大,系統(tǒng)將由雙峰共振演變?yōu)閱畏骞舱?并且,當(dāng)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率較大時(shí),隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大,系統(tǒng)也將由雙峰共振演變?yōu)閱畏骞舱?不失一般性,在分別選擇q=0.3 和α=0.1 的條件下,進(jìn)一步分析了系統(tǒng)階數(shù)和噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)GSR 現(xiàn)象的影響,結(jié)果如圖5 所示.

圖4 隨 ε 變化的GSR 現(xiàn)象在 q-α 平面的相圖,其中m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.6,λ=0.1,a=0.4Fig.4.Phase diagram for GSR versus ε in the q-α plane,with m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.6,λ=0.1,a=0.4.

圖5(a)給出了系統(tǒng)輸出幅值增益在不同系統(tǒng)階數(shù)的條件下,隨耦合系數(shù)的變化情況.不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)取值為0.2 時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益隨耦合系數(shù)的變化產(chǎn)生雙峰共振.隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大,系統(tǒng)輸出幅值增益逐漸由雙峰共振演變?yōu)閱畏骞舱?且共振峰逐漸降低.特別地,當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)取值為1,即系統(tǒng)退化為整數(shù)階系統(tǒng)時(shí),其輸出幅值增益的峰值最小,該現(xiàn)象說明分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能比傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)得到更大的輸出幅值增益.

圖5(b)給出了系統(tǒng)輸出幅值增益在不同噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率的條件下,隨耦合系數(shù)變化而變化的情況.可以看出,當(dāng)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率取值為0 時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益沒能產(chǎn)生廣義共振現(xiàn)象.其原因是此時(shí)三態(tài)噪聲退化為常數(shù),隨機(jī)系統(tǒng)也相應(yīng)地退化為確定性系統(tǒng).粒子x1和x2的運(yùn)動(dòng)行為完全一致,致使系統(tǒng)中的耦合項(xiàng)ε(x1-x2)和ε(x2-x1)消失,進(jìn)而消除了系統(tǒng)產(chǎn)生共振現(xiàn)象所必須的非線性條件.當(dāng)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率取值為0.25 時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益出現(xiàn)雙峰共振.當(dāng)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)一步增大到0.5,即三態(tài)噪聲退化為雙態(tài)噪聲時(shí),系統(tǒng)輸出幅值增益出現(xiàn)單峰共振,且共振峰的高度明顯提高.該結(jié)果表明,在這一組參數(shù)條件下,雙態(tài)噪聲能使系統(tǒng)輸出幅值獲得較三態(tài)噪聲激勵(lì)時(shí)更大的增益.

圖5 系統(tǒng)輸出幅值增益隨耦合系數(shù) ε 變化的GSR 現(xiàn)象,其中 m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.6,λ=0.1,a=0.4(a)q=0.3;(b)α=0.1Fig.5.The OAG versus ε with m=1,γ=0.1,ω=1,Ω=1.6,λ=0.1,a=0.4:(a)q=0.3;(b)α=0.1.

5 數(shù)值仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性,下面通過數(shù)值仿真模擬模型(2)式所刻畫的振子運(yùn)動(dòng).對于充分小的仿真時(shí)間間隔 Δt,該模型在離散時(shí)間下的一階近似表達(dá)式為

其中,

在給定系統(tǒng)參數(shù)條件下,取仿真時(shí)長t=300,采樣間隔 Δt=10-2,可得系統(tǒng)輸出信號時(shí)域圖和頻域圖如圖6 所示.

圖6(a)為系統(tǒng)輸出信號時(shí)域圖,可以看出,受噪聲的影響,系統(tǒng)輸出具有較大的隨機(jī)性.此時(shí),從時(shí)域圖上已經(jīng)無法判斷出是否有正弦響應(yīng)信號存在.因此,通過對時(shí)域輸出信號進(jìn)行傅里葉變換,得到了與之對應(yīng)的頻域輸出信號,如圖6(b)所示.從圖6(b)可清楚地看到,系統(tǒng)輸出在外部驅(qū)動(dòng)頻率(Ω=0.4π)處出現(xiàn)了明顯的尖峰,表明系統(tǒng)輸出響應(yīng)中含有與外部驅(qū)動(dòng)信號(A0cos(Ωt))同頻的正弦信號.其峰值(2.149)代表系統(tǒng)對外部驅(qū)動(dòng)信號的響應(yīng)幅值,噪聲的存在使得該響應(yīng)幅值與其真值之間存在隨機(jī)偏差.為此,下面采用Monte-Carlo 方法來消除該隨機(jī)偏差.

在圖6 的參數(shù)條件下,重復(fù)進(jìn)行N次仿真實(shí)驗(yàn),取N次結(jié)果的平均值作為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的仿真值,以(40)式確定的理論結(jié)果為參考值,可得仿真誤差隨仿真次數(shù)的變化,如圖7 所示.

圖6 系統(tǒng)輸出信號 (a)時(shí)域圖;(b)頻域圖.m=1,γ=0.1,α=0.5,ε=1,ω=1,Ω=0.4π,a=0.2,λ=0.1,q=0.3Fig.6.System output signal:(a)Time domain diagram;(b)frequency domain diagram.m=1,γ=0.1,α=0.5,ε=1,ω=1,Ω=0.4π,a=0.2,λ=0.1,q=0.3.

圖7(a)為仿真與理論結(jié)果對比圖.可以看出,仿真結(jié)果始終在理論結(jié)果的附近隨機(jī)波動(dòng),表明仿真結(jié)果與理論結(jié)果之前確實(shí)存在隨機(jī)偏差.隨著仿真次數(shù)N的增加,隨機(jī)波動(dòng)的幅度逐漸減小.為更加清楚地反映該隨機(jī)偏差的收斂情況,進(jìn)一步給出了相應(yīng)的絕對隨機(jī)偏差隨仿真次數(shù)N的變化圖(圖7(b)).圖7(b)表明,隨著仿真次數(shù)N的增加,噪聲帶來的隨機(jī)偏差將逐漸收斂.特別地,若以δ0=10-3為可接受的偏差門限,則當(dāng)N≥2881 時(shí),即可滿足該門限需求.一般地,噪聲強(qiáng)度越大或者偏差門限越小,則所需的仿真次數(shù)N越大.

圖7 仿真誤差圖 (a)仿真與理論對比圖;(b)仿真誤差與仿真次數(shù)關(guān)系圖Fig.7.Simulation error graph:(a)Comparison between simulation and theory;(b)relationship between simulation error and simulation times.

6 結(jié)論

本文研究了三態(tài)噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)的GSR 現(xiàn)象.通過對模型進(jìn)行一系列理論推導(dǎo),發(fā)現(xiàn)了粒子間的統(tǒng)計(jì)同步性,并進(jìn)一步得到了系統(tǒng)輸出幅值增益的解析表達(dá).為了體現(xiàn)本文提出的模型是對前人工作的延續(xù)和推廣,針對模型涉及的關(guān)鍵要素,即耦合系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和三態(tài)噪聲,重點(diǎn)分析了耦合系數(shù)、系統(tǒng)階數(shù)和噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)輸出幅值增益的GSR 現(xiàn)象的影響.具體結(jié)論如下:1)耦合系數(shù)對GSR 現(xiàn)象的影響.隨著耦合系數(shù)的增大,GSR 現(xiàn)象先增強(qiáng)后減弱,直至收斂.該現(xiàn)象表明適當(dāng)?shù)鸟詈献饔媚軌虼龠M(jìn)系統(tǒng)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生.其原因是適當(dāng)?shù)鸟詈献饔迷鰪?qiáng)了系統(tǒng)產(chǎn)生GSR 所需的非線性條件.當(dāng)耦合作用過大時(shí),兩個(gè)粒子將被強(qiáng)大的耦合力連接成一個(gè)剛性的整體,從而使系統(tǒng)的非線性減弱,進(jìn)而減弱系統(tǒng)的共振現(xiàn)象.2)系統(tǒng)階數(shù)對GSR 現(xiàn)象的影響.隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大,GSR 現(xiàn)象將逐漸減弱.從分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)的頻率特征可以看出,隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加,輸出信號中的高頻成分能量增強(qiáng),低頻成分能量相應(yīng)減弱.根據(jù)絕熱近似原理,低頻信號較高頻信號更容易達(dá)到SR 現(xiàn)象產(chǎn)生的條件.特別地,當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)取值為1,即系統(tǒng)退化為整數(shù)階系統(tǒng)時(shí),其輸出幅值增益的峰值最小,該現(xiàn)象說明分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能比傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)得到更大的輸出幅值增益.此外,不同的系統(tǒng)階數(shù)還能誘導(dǎo)系統(tǒng)出現(xiàn)不同類型的GSR,即單峰共振和雙峰共振.3)噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對GSR 現(xiàn)象的影響.噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)輸出幅值增益的影響會隨著與之相關(guān)的其他參數(shù)的變化而變化.在一定參數(shù)條件下,三態(tài)噪聲不僅能夠使系統(tǒng)輸出幅值獲得比雙態(tài)噪聲激勵(lì)時(shí)更大的增益,還能改變系統(tǒng)的共振類型.綜上所述,耦合系數(shù)、系統(tǒng)階數(shù)和噪聲穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)移概率均對系統(tǒng)輸出幅值增益的GSR 現(xiàn)象有顯著影響,體現(xiàn)了對三態(tài)噪聲激勵(lì)下的分?jǐn)?shù)階耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行理論研究的重要意義.