一種基于標(biāo)記單光子源的態(tài)制備誤差容忍量子密鑰分發(fā)協(xié)議*

馬嘯 孫銘爍 劉靖陽(yáng) 丁華建 王琴?

1)(南京郵電大學(xué),量子信息技術(shù)研究所,南京 210003)

2)(南京郵電大學(xué),寬帶無(wú)線通信與傳感網(wǎng)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210003)

在實(shí)際量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)中,由于設(shè)備、器件存在缺陷,在量子態(tài)制備過(guò)程中往往存在誤差,而這些態(tài)制備誤差會(huì)導(dǎo)致一定的系統(tǒng)安全性漏洞.本文在Tamaki 等(Phys.Rev.A 90 052314)的工作基礎(chǔ)之上,提出了一種基于標(biāo)記單光子源的態(tài)制備誤差容忍量子密鑰分發(fā)協(xié)議.本文將發(fā)送端制備態(tài)誤差進(jìn)行參數(shù)刻畫(huà)并帶入量子密鑰協(xié)議安全性分析之中,避免了實(shí)際應(yīng)用中由于態(tài)制備裝置的不理想可能引入的安全性漏洞,提高了系統(tǒng)的安全性.同時(shí),為了方便起見(jiàn),本文采用三強(qiáng)度誘騙態(tài)方案開(kāi)展建模分析與數(shù)值仿真計(jì)算.仿真結(jié)果顯示,本文提出的協(xié)議對(duì)態(tài)制備誤差具有很好的魯棒性.同時(shí),由于標(biāo)記單光子源具有真空脈沖概率低的優(yōu)點(diǎn),與此前基于弱相干態(tài)脈沖的同類協(xié)議相比,我們的協(xié)議在傳輸距離較遠(yuǎn)時(shí)能夠顯示出更優(yōu)的性能.因而,該工作有望為未來(lái)發(fā)展長(zhǎng)距離量子保密通信應(yīng)用與研究提供重要的參考價(jià)值.

1 引言

量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution,QKD)協(xié)議主要利用量子態(tài)編碼信息來(lái)實(shí)現(xiàn)密鑰安全分發(fā)的目的,其安全性基于量子力學(xué)基本原理,理論上具有無(wú)條件安全性[1-5].在實(shí)際應(yīng)用中,通信的雙方通過(guò)QKD 結(jié)合“一次一密”操作[6],可以實(shí)現(xiàn)無(wú)條件安全的保密通信,在避開(kāi)泄漏隱患的同時(shí),也降低了保存密碼本的資源與成本,因此受到了廣泛關(guān)注.在早期的QKD 協(xié)議安全性分析過(guò)程中,如原始的GLLP 協(xié)議[7],沒(méi)有考慮態(tài)制備誤差,一般假定量子態(tài)的制備過(guò)程是理想的.而在實(shí)際實(shí)驗(yàn)條件下,由于設(shè)備存在缺陷,比如相位調(diào)制器、偏振調(diào)制器等器件存在調(diào)制誤差,導(dǎo)致態(tài)制備存在誤差,降低了系統(tǒng)的現(xiàn)實(shí)安全性.隨著研究的深入,將態(tài)制備誤差考慮進(jìn)量子密鑰協(xié)議安全性分析過(guò)程中的思想引起研究者的關(guān)注.2014 年,Tamaki等[8]在GLLP 協(xié)議[7]的基礎(chǔ)上考慮了調(diào)制誤差在內(nèi)的源缺陷,提出了一種誤差容忍(loss tolerant,LT)QKD 協(xié)議.隨后徐飛虎等[9]和唐志遠(yuǎn)等[10]分別在實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行了演示驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)之上,一系列與光源安全性相關(guān)的研究工作相繼開(kāi)展[11-15].

不過(guò),以上研究工作使用的大多數(shù)是弱相干態(tài)光源(weak coherent source,WCS),該光源服從泊松分布,包含相當(dāng)比例的真空態(tài)脈沖.由于真空態(tài)脈沖在遠(yuǎn)距離時(shí)會(huì)對(duì)系統(tǒng)誤碼率產(chǎn)生重要影響,因而使得基于WCS 的誤差容忍協(xié)議的最遠(yuǎn)安全傳輸距離收到一定限制.針對(duì)以上問(wèn)題,本文提出了基于一種基于標(biāo)記單光子源(heralded singlephoton source,HSPS)的態(tài)制備誤差容忍(state preparation error tolerant,SPT)量子密鑰分發(fā)協(xié)議,并且以三強(qiáng)度誘騙態(tài)方案[16,17](信號(hào)態(tài)+弱誘騙態(tài)+真空態(tài))為例進(jìn)行相應(yīng)的模型分析與數(shù)值仿真計(jì)算.

2 HSPS 與WCS 光源比較

標(biāo)記單光子源一般由參量下轉(zhuǎn)換(PDC)過(guò)程產(chǎn)生,其產(chǎn)生示意圖如圖1 所示.泵浦激光作用在非線性晶體上,經(jīng)PDC 過(guò)程產(chǎn)生分布一致的雙模壓縮光場(chǎng),即參量光,其中一路通常稱為信號(hào)光(signal),另一路稱為休閑光(idler)[18-22].選擇合適的實(shí)驗(yàn)條件,可以使參量光服從熱分布或是泊松分布[23,24].本文以具有泊松分布的參量光為例來(lái)進(jìn)行介紹.

圖1 實(shí)際系統(tǒng)中的標(biāo)記單光子源的光路裝置模型Fig.1.Model of optical path device for marking single photon source in experimental system.

如圖1 所示,參量光經(jīng)二向色鏡(DM)分開(kāi)后,其中休閑光經(jīng)本地探測(cè)器(D1)探測(cè)后,產(chǎn)生同步電信號(hào),可以對(duì)信號(hào)光起到標(biāo)記作用.被標(biāo)記后的信號(hào)光被稱為標(biāo)記單光子源(HSPS),在光子數(shù)空間可表示為:,其中l(wèi)為每脈沖包含的平均光子數(shù);為在l平均光子數(shù)強(qiáng)度下包含i光子態(tài)的概率.假如本地探測(cè)器的探測(cè)效率和暗計(jì)數(shù)率分別記為ηA和dA,則被標(biāo)記后的光子數(shù)分布可表示為:.在QKD 過(guò)程中,發(fā)送方Alice 在本地制備HSPS,然后通過(guò)量子信道發(fā)送給接收方Bob,Bob 使用探測(cè)器D2 進(jìn)行探測(cè),探測(cè)器效率為ηB.

表1 比較了在平均光子數(shù)強(qiáng)度為0.4 時(shí),HSPS與WCS 兩種光源中不同光子數(shù)脈沖在總脈沖數(shù)中所占概率(此處假設(shè)ηA=0.75 ,dA=10-6)[23-25].由表1 可見(jiàn),WCS 中包含大量的正空脈沖的比例,而HSPS 中包含真空態(tài)脈沖的概率幾乎可以忽略不計(jì).

表1 在平均光子數(shù)強(qiáng)度為0.4 時(shí),WCS 和HSPS光源中不同光子數(shù)脈沖出現(xiàn)的概率Table 1. Proportion of different photon number pulses in WCS and HSPS when the average photon intensity is 0.4.

3 理論模型

在實(shí)際的QKD 系統(tǒng)中,由于器件的不完美,不可避免地存在量子態(tài)制備誤差,若不對(duì)此種情況加以考慮,竊聽(tīng)者Eve 可能會(huì)利用這一安全性漏洞進(jìn)行攻擊,竊取信息從而導(dǎo)致系統(tǒng)性能的下降.針對(duì)這一問(wèn)題,我們提出了基于標(biāo)記單光子源的態(tài)制備誤差容忍量子密鑰分發(fā)協(xié)議,該協(xié)議通過(guò)將態(tài)制備誤差加以刻畫(huà),將其納入考慮范圍,使得竊聽(tīng)者不能利用這一缺陷竊取信息,理論上減小了系統(tǒng)對(duì)量子態(tài)制備過(guò)程的漏洞,使得該模型的結(jié)果可以對(duì)誤差具有一定程度的容忍性能,模型的魯棒性得以增強(qiáng).并且研究了該協(xié)議在不同態(tài)制備誤差條件下的性能.

3.1 計(jì)算相位誤碼率eX

首先,Alice 利用相位調(diào)制器隨機(jī)制備三種量子態(tài){|φ0Z〉,|φ1Z〉,|φ0X〉}.由于現(xiàn)實(shí)環(huán)境下相位編碼或偏振編碼等系統(tǒng)在態(tài)制備過(guò)程存在一定的缺陷,制備出的量子態(tài)本身不可避免地會(huì)與預(yù)期存在一定偏差,通過(guò)借鑒文獻(xiàn)[8]中的定義,對(duì)量子態(tài)中的誤差刻畫(huà)如下:

其中δ(δ≥0)表示相位調(diào)制器(PM)或偏振調(diào)制器(PR)與預(yù)期結(jié)果相比的調(diào)制偏差,也稱為態(tài)制備誤差[8].

我們所選用的標(biāo)記單光子源采用了光子對(duì)糾纏的方法,在糾纏的光子對(duì)中假定一個(gè)光子到達(dá)的時(shí)間可以由另外一個(gè)光子表示.由于糾纏的光子具有同時(shí)性,通過(guò)被指示的那個(gè)光子到達(dá)時(shí)間標(biāo)記,可以較為準(zhǔn)確地控制探測(cè)器的開(kāi)關(guān)時(shí)間以降低真空脈沖和多光子脈沖的概率值,從而提高單光子脈沖的概率,有效地減少長(zhǎng)距離量子密鑰分發(fā)過(guò)程中暗計(jì)數(shù)的影響,進(jìn)而增加系統(tǒng)的安全傳輸距離[23,24,26].

基于糾纏協(xié)議,Alice 發(fā)送量子態(tài)等價(jià)于制備量子態(tài),具體表示如下:

其中A 表示Alice 方所擁有的系統(tǒng),Ae表示Alice擁有的擴(kuò)展系統(tǒng),B 表示發(fā)送給Bob 方的系統(tǒng),Alice 經(jīng)過(guò)選基測(cè)量系統(tǒng)A 后發(fā)送系統(tǒng)B 給Bob方.(2)式表述的是Alice 針對(duì)發(fā)送量子態(tài)的態(tài)制備過(guò)程,是態(tài)制備的等價(jià)糾纏態(tài).通過(guò)(2)式可以看出,Alice 在選擇X基時(shí)只制備對(duì)應(yīng)于比特0 的量子態(tài),選擇Z基時(shí)制備對(duì)應(yīng)于比特0 與比特1的量子態(tài),制備的量子態(tài)可以通過(guò)偏振編碼或者相位編碼應(yīng)用于量子密鑰分發(fā)過(guò)程.該態(tài)制備過(guò)程不依賴于具體光源,同樣適用于HSPS 光源.

然后將定義相位誤碼率表征為X基的虛擬比特誤碼率,表達(dá)式如下表示:

若要求虛擬協(xié)議下的比特誤碼率,首先要求出虛擬協(xié)議下的傳輸速率.研究表明,虛擬態(tài)傳輸速率由虛擬態(tài)發(fā)送的概率與虛擬態(tài)在對(duì)應(yīng)基下成功測(cè)量的概率兩者構(gòu)成,具體表示如下:

考慮到真實(shí)態(tài)也位于X-Z平面,由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得出實(shí)際傳輸速率表達(dá)式為.經(jīng)過(guò)變量代換,可以表示如下:

其中參數(shù)P(jα)表示Alice 方實(shí)際發(fā)射態(tài)的概率,分母表示Bob 選基的概率,表示σt的傳輸速率.進(jìn)而可得出實(shí)際傳輸速率的表示形式:

本文通過(guò)建立等價(jià)虛擬協(xié)議,不僅可以針對(duì)目標(biāo)參數(shù)—相位誤碼率eX進(jìn)行了準(zhǔn)確表征,而且在真實(shí)的QKD 協(xié)議框架中,測(cè)得實(shí)際傳輸速率結(jié)果后,通過(guò)分別探尋實(shí)際傳輸速率、虛擬態(tài)傳輸速率與信道參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系,以信道參數(shù)為媒介可以反向求出虛擬態(tài)傳輸速率,最后代入相位誤碼的表達(dá)式得出結(jié)果大小.

3.2 單光子脈沖增益 Q1 與系統(tǒng)增益Qμ

為了計(jì)算最終安全密鑰生成率,需要對(duì)單光子的穿透率(Y1)下界和單光子的誤碼率(e1)上界進(jìn)行估計(jì).理想情況下,Alice 發(fā)送n光子,接收方探測(cè)器響應(yīng)的概率Yn為

其中Csα|jγ表示接收端選擇α作為測(cè)量基時(shí)對(duì)|φjγ〉態(tài)進(jìn)行測(cè)量并獲得強(qiáng)度S的理想概率.h代表光子從Alice 端到Bob 端的傳輸效率,其表達(dá)式可寫(xiě)為:η=ηB·10-αl/10,其中α為信道的衰減系數(shù),l為信道的長(zhǎng)度.光子態(tài)增益由光源分布以及探測(cè)器響應(yīng)概率Yn組成,由于增益受到HSPS 光源亞泊松分布的影響,其表達(dá)式所示如下:

將增益的求和定義式進(jìn)行展開(kāi),進(jìn)行不同的放縮移項(xiàng),分別利用信號(hào)態(tài)增益、單光子增益與單光子響應(yīng)率的關(guān)系,可以得到使用HSPS 光源時(shí)單光子脈沖響應(yīng)率的上下界、單光子的增益(Q1)以及系統(tǒng)總增益(Qμ),具體表示如下:

3.3 密鑰生成率R

系統(tǒng)量子比特誤碼率Eμ定義為

將以上參數(shù)代入下面密鑰率公式,即可計(jì)算密鑰率大小:

其中,f為系統(tǒng)糾錯(cuò)系數(shù);eX為相位誤碼率;Eμ為系統(tǒng)量子比特誤碼率;h(x)為香農(nóng)熵函數(shù):h(x)=-xlog2(x)-(1-x)log2(1-x);通過(guò)求解前面參數(shù),可以算出最終的安全密鑰[9,17].

4 數(shù)值仿真結(jié)果及分析討論

在數(shù)值仿真中,使用合理的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)[23-25],如表2 所列.

表2 基于HSPS 的三強(qiáng)度誘騙態(tài)態(tài)制備誤差容忍QKD 協(xié)議仿真使用的參數(shù)列表Table 2. Parameter list used in simulation of state-preparation-error tolerant QKD protocol for three strength decoy states based on HSPS.

為了說(shuō)明本協(xié)議與基于WCS 光源的誤差容忍協(xié)議的區(qū)別,分別畫(huà)出了態(tài)制備誤差為0 和0.4時(shí)兩者的密鑰率隨距離的變化曲線,如圖2 所示.

圖2 基于不同光源的態(tài)制備誤差容忍協(xié)議密鑰生成率對(duì)比圖Fig.2.Comparison of the key generation rates of the two different state-preparation-error tolerant protocols using either HSPS or WCS.

由圖2 可看出,在相同的態(tài)制備誤差的情況下,當(dāng)近距離時(shí)(＜150 km),基于WCS 光源的協(xié)議顯示出高于基于HSPS 協(xié)議的密鑰生成率,主要由于在后者方案中所使用的本地探測(cè)器的探測(cè)效率較低所致.不過(guò)在遠(yuǎn)距離時(shí)(＞200 km),基于WCS 光源方案的密鑰生成率急劇下降,而基于HSPS 光源方案的密鑰生成率下降趨勢(shì)相對(duì)平緩.比如,前者在211 km 后已經(jīng)不再能生成密鑰,而后者最大傳輸距離可達(dá)到228 km.以上結(jié)果說(shuō)明了本協(xié)議更適合應(yīng)用于遠(yuǎn)距離量子密鑰分發(fā)應(yīng)用.

下面考察使用相同的光源(HSPS),但是不同的態(tài)制備誤差下(δ=0,0.2,0.4,0.6),使用本文提出的協(xié)議與使用GLLP 協(xié)議[24]的密鑰生成率有何區(qū)別,如圖3 所示.

圖3 中的兩種協(xié)議使用的仿真參數(shù)與表2 相同,其中虛線代表本協(xié)議在不同的態(tài)制備誤差條件下密鑰生成率隨距離變化的曲線,從上到下四條虛線分別對(duì)應(yīng)態(tài)制備誤差為δ=0,0.2,0.4,0.6 時(shí)的結(jié)果;四條實(shí)線分別代表使用GLLP 協(xié)議的對(duì)應(yīng)結(jié)果.由圖3 可看出,在態(tài)制備誤差為零時(shí),后者(使用GLLP 協(xié)議)的碼率更高;但是隨著態(tài)制備誤差的增大,后者的碼率急劇下降.而本協(xié)議隨著態(tài)制備誤差的增大,密鑰生成率變化非常緩慢,尤其是在態(tài)制備誤差相對(duì)較小時(shí),比如δ=0.2 時(shí)密鑰率曲線幾乎與δ=0 時(shí)密鑰率曲線重合.以上結(jié)果證明了本協(xié)議對(duì)態(tài)制備誤差具有極好的魯棒性.

圖3 在不同態(tài)制備誤差下,對(duì)比本協(xié)議與GLLP 協(xié)議[24]的密鑰生成率隨傳輸距離變化趨勢(shì)Fig.3.Comparison of the key generation rate between the present work and GLLP protocol under different state preparation errors.

5 結(jié)論

本文提出了基于HSPS 的態(tài)制備誤差容忍量子密鑰分發(fā)協(xié)議,隨后以三強(qiáng)度誘騙態(tài)方法為例來(lái)進(jìn)行模型構(gòu)建和參數(shù)估計(jì)方法介紹,同時(shí)開(kāi)展相應(yīng)數(shù)值仿真計(jì)算.該協(xié)議對(duì)發(fā)送端制備態(tài)誤差大小進(jìn)行刻畫(huà)并帶入安全性分析之中,避免了可能存在的安全性漏洞,提高了系統(tǒng)的安全性.由于本協(xié)議所使用光源自身的優(yōu)勢(shì),與此前基于WCS 光源的同類協(xié)議相比,在遠(yuǎn)距離傳輸時(shí)具有更優(yōu)的性能.同時(shí),本協(xié)議對(duì)實(shí)際量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)中存在的態(tài)制備誤差具有良好的魯棒性,幾乎不影響其密鑰產(chǎn)生率大小.

本方法原則上同樣可以與測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)的量子密鑰分發(fā)協(xié)議[27-30]以及雙場(chǎng)量子密鑰分發(fā)[31-34]等協(xié)議結(jié)合,進(jìn)一步增大系統(tǒng)所能支持的安全通信傳輸距離.因而,該工作為未來(lái)發(fā)展長(zhǎng)距離量子保密通信實(shí)際應(yīng)用起到重要促進(jìn)作用.

感謝南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院張春輝老師和周星宇老師的幫助與討論.