巧用網(wǎng)格求銳角三角函數(shù)值

陳俊

我們常常在網(wǎng)格圖中利用垂直、平行關(guān)系構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理等方法求出任意兩個格點(diǎn)間的距離來解決銳角三角函數(shù)值問題。

一、連接關(guān)鍵格點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形

例1 如圖1，△ABC的各個頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上，則tanA的值為 。

【解析】圖中∠A所在的△ABC不是直角三角形，要想得到tanA的值，可以利用網(wǎng)格線之間的垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形，使∠A成為直角三角形中的一個銳角。如圖2，在AC的延長線上取格點(diǎn)H，連接BH。根據(jù)網(wǎng)格線之間的垂直關(guān)系，可知BH⊥AH，垂足為H。設(shè)小正方形方格的邊長為a，根據(jù)勾股定理，可以求出BH=[5a]，AH=[25a]，從而根據(jù)正切的定義得tanA=[BHAH]=[5a25a]=[12]。

二、做垂線段，構(gòu)造直角三角形，并輔以等積法

例2 如圖3，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC= 。

【解析】△ABC不是直角三角形，通過連接格點(diǎn)又不能得到與∠BAC有關(guān)的直角三角形，但△ABC三邊的長度和面積都能確定，因此，可以過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，如圖4，則∠ADB=90°。根據(jù)△ABC面積的兩種不同的表示方式，可以求出垂線段BD的長，從而在Rt△ABD中求出sin∠BAC的值。

設(shè)小正方形方格的邊長為a，則根據(jù)勾股定理得AB=[（2a）2+（3a）2]=[13]a，由等積法可得BD=[22]a，所以在Rt△ABD中，sin∠BAC=[BDAB]=[22a13a]=[2626]。

三、通過圖形平移，進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化

例3 如圖5，在正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)O，則tan∠BOD的值等于 。

【解析】∠BOD不是某一直角三角形的銳角，頂點(diǎn)O也不是格點(diǎn)，不滿足利用定義求銳角三角函數(shù)值的條件。根據(jù)平移的性質(zhì)，我們可以平移CD到C′D′，C′D′與AB交于點(diǎn)O′，如圖6所示，平移后，∠BO′D′=∠BOD，且O′在格點(diǎn)上，這樣tan∠BOD=tan∠BO′D′。

設(shè)小正方形的邊長為a，則O′B=[5]a，O′D′=[22]a，BD′=3a，O′F=2a。

過點(diǎn)B作BE⊥O′D′，垂足為E。利用等積法，得S△BO′D′=[12]·BD′·O′F=[12]·O′D′·BE，則BE=[322]a。

由勾股定理，得O′E=[O′B2-BE2]=[22]a，

∴tan∠BO′E=[BEO′E]=[322a22a]=3，

∴tan∠BOD=tan∠BO′E=3。

本題通過平移CD，將原問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用等積法和勾股定理求出關(guān)鍵線段的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解。

在網(wǎng)格中求銳角三角形函數(shù)值，關(guān)鍵是利用銳角邊上的格點(diǎn)找到直角三角形或構(gòu)造直角三角形來進(jìn)行求解。當(dāng)銳角所在的三角形是直角三角形時，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義就可以直接求解;若銳角所在的三角形是非直角三角形時，常需要通過作垂線、平移線段等方式構(gòu)造直角三角形，并輔以等積法求關(guān)鍵線段來解決。

（作者單位：江蘇省南京外國語學(xué)校方山分校）