三角板中的相似三角形

耿恒考

三角板是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的文具，利用一副三角板可以編擬出好多經(jīng)典的題目。下面，我們就一起來欣賞由三角板構(gòu)造出的相似三角形“K型圖”的應(yīng)用問題。

問題1 如圖1，將含45°角的直角三角板，放在平面直角坐標(biāo)系中。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

大家很容易想到，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，在圖1中分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線段AD、BE，利用△OAD≌△BOE，證得BE=OD=2，OE=AD=1，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2）。

【拓展】如果將含45°角的直角三角板像圖2這樣放置，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），如何求點(diǎn)B的坐標(biāo)呢？我們可以用同樣的方法，過點(diǎn)A作x軸的垂線AD，交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交DA的延長線于點(diǎn)E，利用△OAD≌△ABE，證得AE=OD=2，BE=AD=1，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）。

問題2 如圖3，將含30°角的直角三角板，放在平面直角坐標(biāo)系中。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

類比問題1，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)，如圖3，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線段AD、BE，利用△OAD∽△BOE，且相似比為1∶[3]，證得BE=[23]，OE=[3]，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（[-3]，[23]）。

【拓展】如果將含30°角的直角三角板按如圖4這樣放置，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，[3]），如何求點(diǎn)B的坐標(biāo)呢？我們可以用同樣的方法，過點(diǎn)A作x軸的垂線AD，交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交DA的延長線于點(diǎn)E，利用△OAD∽△ABE，且相似比為[3]∶1，證得AE=[3]，BE=1，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，[23]）。

【感悟】觀察以上幾個(gè)問題中用三角板構(gòu)造出的相似圖形，不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特征：都有三個(gè)直角頂點(diǎn)在同一條直線上。我們經(jīng)常把這樣利用“一線三等角”來證明兩個(gè)三角形相似的圖形，稱為“K型圖”。其實(shí)“一線三等角”中的等角不一定是直角，銳角、鈍角也都可以。

如圖5，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C、D在直線AB同側(cè)，如果∠A=∠B=∠CPD=α，那么∠1+∠2=∠1+∠C=180°-α，可得∠C=∠2，再有∠A=∠B，證得△CAP∽△PBD。

其實(shí)，上面問題中，如果點(diǎn)C、D分別在直線AB的異側(cè)，只要有∠EAC=∠ABD=∠CPD=α，同樣可以證得△CAP∽△PBD。如圖6，請你嘗試用上面圖5的方法來證明這個(gè)結(jié)論。

利用“一線三等角”證明相似三角形“K型圖”來解決問題，在各級各類考試中頻繁出現(xiàn)。

問題3 如圖7，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動三角板頂點(diǎn)P。

（1）能否使你的三角板兩條直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請你求出這時(shí)AP的長;若不能，請說明理由。

（2）再次移動三角板位置，使三角板直角頂點(diǎn)P在AD上移動，直角邊PH始終通過點(diǎn)B，另一條直角邊PF與DC延長線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm？若能，請你求出這時(shí)AP的長;若不能，請說明理由。

【解析】（1）因?yàn)椤爸苯琼旤c(diǎn)P落在AD邊上”“三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C”，所以∠A=∠D=∠BPC=90°，可得相似三角形的“K型圖”，據(jù)此列出關(guān)于AP的方程來解決問題;當(dāng)然也可以在這三個(gè)直角三角形中利用勾股定理得到關(guān)于AP的方程來解決。

能。在Rt△ABP與Rt△DPC中，

AB2+AP2=PB2，PD2+CD2=PC2，

而在Rt△BPC中，PB2+PC2=BC2，

∴AB2+AP2+PD2+CD2=BC2。

設(shè)AP=xcm，則PD=（10-x）cm（0

42+x2+（10-x）2+42=102，

解得x1=2，x2=8。

∴AP=2cm或8cm。

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，列出方程求解即可。還可以過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，可得矩形ABEG，如圖8，此時(shí)的問題（2）即轉(zhuǎn)化為問題（1）的形式。用“K型圖”列出關(guān)于AP的方程，或在三個(gè)直角三角形中利用勾股定理得到關(guān)于AP的方程，便可解決此題。

能。設(shè)AP=xcm，CQ=ycm（0

∵四邊形ABCD是矩形，∠HPF=90°，

∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，

∴AP·CE=AB·CQ，AP·PD=AB·DQ，

∴2x=4y，x（10-x）=4（4+y），

得x2-8x+16=0，解得x1=x2=4，

∴AP=4cm。

【拓展】第（2）問改為“再次移動三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動，直角邊PH始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與直線DC交于點(diǎn)Q，與直線BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm？若能，請你求出這時(shí)AP的長;若不能，請你說明理由。”

【解析】根據(jù)現(xiàn)在的條件，需要考慮兩種情況：①點(diǎn)Q在邊DC的延長線上，見第（2）問的解析;②點(diǎn)Q在邊DC上。

能。如圖9，過點(diǎn)E作EG⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)G，可得矩形ABEG，DG=EC=2cm，AG=BE=12cm。

利用△ABP∽△GPE，可得AB·GE=PG·AP。

設(shè)AP=xcm，則PG=（12-x）cm（0

∴4×4=x（12-x），即x2-12x+16=0，解得x1=6+[25]（不合題意，舍去），x2=6-[25]。

所以符合題意的AP長為4cm或（6-[25]）cm。

【感悟】本題重點(diǎn)考查了相似三角形的“K型圖”、勾股定理及矩形的性質(zhì)的應(yīng)用。一塊三角板的運(yùn)動，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值。

（作者單位：江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校）