運(yùn)用相似 靈活解題

趙宏敏

圖形相似是初中數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容，特別是相似三角形具有很多重要性質(zhì)，如：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高線、周長之比都等于相似比，面積之比等于相似比的平方。利用相似三角形的性質(zhì)可以解決很多問題，下面舉例說明。

一、利用相似三角形求線段長

例1 如圖1，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點D，CD平分∠ACB。若AD=2，BD=3，則AC的長為 。

【分析】解答這道題時，很多同學(xué)會想到作AE⊥BC于點E，如圖2，由角平分線的性質(zhì)得出[ACBC]=[ADBD]=[23]，設(shè)AC=2x，則BC=3x，由線段垂直平分線得出MN⊥BC，BN=CN=[32]x，又MN∥AE，得出[ENBN]=[ADBD]=[23]，NE=x，BE=BN+EN=[52]x，CE=CN-EN=[12]x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果，同學(xué)們可以試著去寫一下。但是這種解法既要添輔助線，計算量也大。我們不妨從角的角度出發(fā)，證出∠ACD=∠DCB=∠B，證明△ACD∽△ABC，得出[ACAB]=[ADAC]，即可求出AC的長。

解：∵BC的垂直平分線MN交AB于點D，∴CD=BD=3，

∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5。

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B。

∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，

∴[ACAB]=[ADAC]，

∴AC2=AD×AB=2×5=10，∴AC=[10]。

【感悟】利用相似三角形的性質(zhì)求線段長，主要是通過證明兩個三角形相似，得出對應(yīng)邊的比例關(guān)系式，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比值相等和已知條件求出線段的長。解答本題時要充分利用線段的垂直平分線性質(zhì)，把邊的條件轉(zhuǎn)化成角的條件，從而在判定相似后，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，求出線段的長。

二、利用相似三角形求面積比

例2 如圖3，點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，△ADE∽△ABC，M、N分別是DE、BC的中點，若[AMAN]=[12]，則[S△ADES△ABC]= 。

【分析】掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵。根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比，求出[DEBC]，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解答。

解：∵M(jìn)、N分別是DE、BC的中點，

∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線。

∵△ADE∽△ABC，∴[DEBC]=[AMAN]=[12]，

∴[S△ADES△ABC]=（[DEBC]）2=[14]。

【感悟】利用相似三角形解答與面積相關(guān)的問題，常用到如下性質(zhì)：1.等高的兩個三角形面積的比等于對應(yīng)底的比，等底的兩個三角形面積的比等于對應(yīng)高的比;2.相似三角形面積的比等于相似比的平方。靈活運(yùn)用上述性質(zhì)可以快速解答面積問題。

三、利用相似三角形證明比例線段

例3 如圖4，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD與BE、AE分別交于點P、M。求證：MP·MD=MA·ME。

【分析】要想證明乘積相等，可先轉(zhuǎn)化為比例式，觀察這四條線段是否分布在兩個三角形中。由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊關(guān)系可證△BAE∽△CAD，通過等積式倒推可知，證明△PME∽△AMD即可。

證明：∵AC=[2]AB，AD=[2]AE，

∴[ACAB]=[ADAE]。

∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，

∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA。

∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD，

∴[MPMA]=[MEMD]，∴MP·MD=MA·ME。

【感悟】靈活運(yùn)用相似三角形的相似比是證明線段成比例的常用方法。一般地，當(dāng)所證線段成比例式時，或等積式中的四條線段都在同一條直線上時，或所證比例式中的四條線段分別是兩個三角形的兩邊時，均可以借助等量代換和相似三角形，得到比例式或等積式，進(jìn)而使所求證結(jié)論成立。

相似三角形在解題中的應(yīng)用十分廣泛，是破解求線段長，證明角相等、線段相等、線段成比例式或等積式問題的重要利器。 同學(xué)們要牢固掌握相似三角形知識，做到準(zhǔn)確遷移和靈活運(yùn)用，從而提高解題的能力。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星澄學(xué)校）