函數(shù)與導數(shù)問題的轉化
——探析2022年浙江高考數(shù)學第22題的多種解法

?杭州第七中學 王浩宇

1 試題呈現(xiàn)

(1)求f(x)的單調區(qū)間.

(2)已知a,b∈R，曲線f(x)上不同的三點(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))處的切線都經(jīng)過點(a,b).證明：

(注：e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù).)

2 思路分析

本題第(1)小題求導即可，較為簡單.下面主要對第(2)小題進行思路分析.

2.1 第(2)小題第(ⅰ)問思路分析

分析題干，發(fā)現(xiàn)命題者在題干中給出了曲線過點(a,b)的三條切線，題干中的信息可轉化為方程b=f′(x)(a-x)+f(x)有三個正根.

思路一：函數(shù)零點個數(shù).

由于方程b=f′(x)(a-x)+f(x)無法直接求解，故將其等價轉化為函數(shù)零點個數(shù)問題，畫出函數(shù)的草圖，數(shù)形結合分析，可知a，b需滿足的條件.此時不等式左側已經(jīng)得證，而右側不等式的證明則可通過分析法，放縮b的范圍得證，此為方法1.

思路二：兩個函數(shù)圖象交點個數(shù).

進一步研究發(fā)現(xiàn)，可將b單獨分離，減少函數(shù)中參數(shù)的數(shù)量，便于計算.將問題轉化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題，該方法與方法1類似，在計算上略有簡化，此為方法2.

思路三：換元法簡化計算過程.

方法2中函數(shù)有較多分式，在求導時計算量較大，故對該函數(shù)使用換元法(取倒數(shù))，將分式轉化為整式簡化計算，其余做法與方法2類似，此為方法3.

第(ⅰ)問具體思維導圖如圖1所示.

圖1

2.2 第(2)小題第(ⅱ)問思路分析

分析題干，由思路分析可知h(x)的單調性，可得條件1.由于所證結論中存在x1,x3，因此大膽進行嘗試，寫出h(x1)和h(x3)的具體表達式；由于所證結論中未出現(xiàn)參數(shù)b，故將h(x1)與h(x3)兩式相減消去參數(shù)b，可得條件2.此處是該題的一個難點，在沒有思路時，可大膽猜測，小心求證.

為了縮小已知和求證之間的差距，嘗試對所證的結論進行轉化.參考a

思路一：單向放縮化簡.

思路二:雙向放縮化簡.

思路三：函數(shù)單調性證明.

在方法3構造函數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)可以利用函數(shù)p(x)的單調性證明，此為方法5.該過程可以避免構造函數(shù)和對不等式進行放縮，只需利用p(x)的單調性.在具體計算過程中發(fā)現(xiàn)該方法計算量非常大且非常繁瑣，構造的函數(shù)也較難想到，故并不推薦.

思路四：極限法消參.

對要證結論消參，將x1,x3中的一個用e和a表示，之后證明極端情況成立.所得式子與一元二次不等式有非常類似的結構，故考慮以求解一元二次不等式方式進行證明，該過程需要使用泰勒公式將對數(shù)函數(shù)進行轉化，此為方法6.

第(ⅱ)問思維導圖如圖2所示：

圖2

3 具體解答方法

3.1 第(1)小題解答方法

3.2 第(2)小題第(ⅰ)問的解答方法

分析題干：

f(x)上不同的三點處的切線為

y=f′(xi)(x-xi)+f(xi)(i=1,2,3)

由于點(a,b)滿足上面三個方程，因此b=f′(x)·(a-x)+f(x)有三個正實根x1,x2,x3.

方法1:函數(shù)的零點個數(shù).

構造函數(shù)h(x)=f(x)-b-f′(x)(x-a)，要滿足題目條件，需要h(x)有三個正零點.畫出h(x)的草圖，如圖3所示.

圖3

方法2：兩個函數(shù)圖象的交點.

設g(x)=f(x)+f′(x)(a-x),則g(x)的圖象與y=b有三個交點.g(x)草圖，如圖4所示.

圖4

方法2是方法1的變式，計算量與方法1接近，分別從兩函數(shù)圖象的交點和函數(shù)的零點角度分析問題.但以上兩種解法均有分式出現(xiàn)，可否一開始就進行換元達到化簡運算的目的？由此得出方法3，主要考查學生直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).

圖5

方法3：換元法化簡計算.

3.3 第(2)小題第(ⅱ)問的解答方法

方法1：不等式轉化與放縮.

條件1：若0

代入t1+t3的值并化簡，

①

方法1最后的求導計算量非常大，主要考查學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng).在該方法的研究過程中，因為q(x)的式子結構較為復雜，考慮到x=1既是q(x)的零點，也是q(x)的拐點，故大膽嘗試將n-1看成一個整體對q(n)進行化簡，構建高階無窮小量，該方法能夠大幅度減少運算量，但是較難想到.雖然該方法的思路高于學生現(xiàn)有的認知，但是教師可以將此作為學生思維的最近發(fā)展區(qū)，引導成績優(yōu)秀的學生進行研究.

方法2:雙向放縮不等式.

筆者嘗試對方法2中的計算步驟進行化簡，盡可能構建已知和未知的相同部分，最終得到更簡單的方法3.教師在講解的過程中，也要做到“優(yōu)術”，層層遞進簡化計算.

方法3：對比消元.

和第(ⅰ)問一樣，由于證明過程中需要多次用到換元法化簡，故筆者嘗試在證明開始就使用換元法，得到方法4.方法4的證明思路與方法1類似.

方法4：倒數(shù)換元.

放縮不等式除了求導、舍去較小值以外，還能利用函數(shù)單調性，方法4就是利用特殊函數(shù)p(t)的單調性解決問題.該方法思維含量較少，但是計算量非常大，會消耗學生大量時間，不劃算.

方法5：特殊函數(shù)法.

筆者繼續(xù)尋找計算量更小的方法，通過對p(t)的分析，發(fā)現(xiàn)p(t)非常接近二次不等式，僅多出一個對數(shù)結構的式子.回顧高中數(shù)學知識，泰勒公式展開能將對數(shù)轉化為整式，故嘗試使用泰勒公式展開化簡問題，方法如下.

方法6：泰勒公式展開.

4 總結

2022年的浙江高考數(shù)學壓軸題繼承了浙江卷命題簡捷明了的風格，并未出現(xiàn)大段文字，為了與明年的全國卷銜接，壓軸題還出現(xiàn)了需要轉換的內容，學生需要將“三條切線過同一個點”這個條件進行轉化，以此獲得解題所需的不等式.

該題為雙變量含參不等式的證明，屬于難題，主要難點在計算和等價轉化上.該題不僅考查學生對數(shù)學解題“術”的應用，還考查學生對數(shù)學解題“道”的理解.對于這類含有參數(shù)的不等式，通過構造不同函數(shù)，利用函數(shù)圖象不斷等價轉化，類比討論，采用極端位置分析等方法，考查學生數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

解題過程中的感悟如下：

多參函數(shù)設主元，整體代換簡運算；

泰勒展開來幫忙，適當放縮繁變簡.