“指、對(duì)同構(gòu)法”在不等式問題中的應(yīng)用

?山東省博興縣第三中學(xué) 王麗慧

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式綜合的不等式恒成立或不等式證明問題，是各類模擬考試及高考的常見題型.解答此類問題的常用策略是利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的變換關(guān)系，構(gòu)造相同的函數(shù)模型，并利用函數(shù)的性質(zhì)求解.下面針對(duì)這一方法的應(yīng)用引例說(shuō)明.

1 題目呈現(xiàn)

例1已知函數(shù)f(x)=x2e3x.

(2)若x>0時(shí)，恒有f(x)≥(a+3)x+2lnx+1，求實(shí)數(shù)a的范圍.

本題第(1)問較為基礎(chǔ)，直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.第(2)問由不等式恒成立求參數(shù)的范圍，題目所給的不等式既含有指數(shù)式，又含有對(duì)數(shù)式，可利用“同構(gòu)法”處理.下面詳細(xì)闡述同構(gòu)法的變形與應(yīng)用技巧.

2 解法綜述

在此類問題中常涉及如下幾種函數(shù)模型：

這些函數(shù)的性質(zhì)直接利用導(dǎo)數(shù)即可判斷，在此不再贅述.

同構(gòu)法的應(yīng)用有兩種變換方式：

一種是化指數(shù)式，如

另一種是化對(duì)數(shù)式，如

切線放縮法主要有兩個(gè)切線模型，即ex≥x+1(x=0時(shí)取等號(hào))和x-1≥lnx(x=1時(shí)取等號(hào)).這兩個(gè)不等式也可利用導(dǎo)數(shù)法直接證明，過程略.

3 問題解答

下面采用兩種同構(gòu)變形方式處理.

3.1 “化指”

由切線不等式ex≥x+1，得e2ln x+3x≥2lnx+3x+1，當(dāng)2lnx+3x=0時(shí)等號(hào)成立.

所以

即函數(shù)g(x)的最小值為0.

所以滿足條件的a的范圍是(-∞,0).

3.2 “化對(duì)”

由切線不等式x-1≥lnx(x=1時(shí)取等號(hào))，得ln(x2e3x)+1≤x2e3x，當(dāng)x2e3x=1時(shí)等號(hào)成立.

所以滿足條件的a的范圍是(-∞,0).

4 小試牛刀

例2對(duì)于任意x>0，不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為______.

解法1:“化指”.

將不等式2ae2x-lnx+lna≥0變形，得2ae2x≥lnx-lna.

因?yàn)?ae2x=eln(2a)e2x=eln a+2x+ln 2，所以e2x+ln a+ln 2≥lnx-lna，進(jìn)一步構(gòu)造得

e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥lnx-lna+(2x+lna+ln 2).

化簡(jiǎn)得

e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥ln(2x)+2x.

因?yàn)?x=eln(2x)，所以

e2x+ln a+ln 2+2x+lna+ln 2≥eln (2x)+ln (2x).

①

設(shè)g(x)=ex+x，則式①為g(2x+lna+ln 2)≥g[ln(2x)].又g(x)=ex+x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以2x+lna+ln 2≥ln(2x)，即lna≥lnx-2x.

解法2:“化對(duì)”.

②

5 考題鏈接

例3已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

本題是2020年新高考山東卷導(dǎo)數(shù)壓軸題，所給關(guān)系式中既有指數(shù)式，也有對(duì)數(shù)式，可利用同構(gòu)法處理.下面僅對(duì)第(2)問進(jìn)行解答.

解法1:“化指”.

將不等式aex-1-lnx+lna≥1變形，得aex-1≥lnx-lna+1，即

eln aex-1=eln a+x-1≥lnx-lna+1.

進(jìn)一步變形得

eln a+x-1+(lna+x-1)≥lnx-lna+1+(lna+x-1)，即eln a+x-1+(lna+x-1)>lnx+x，即

eln a+x-1+(lna+x-1)≥eln x+lnx.

③

設(shè)g(x)=ex+x，則不等式③等價(jià)于

g(lna+x-1)≥g(lnx).

又g(x)為增函數(shù)，所以lna+x-1≥lnx，即

lnx-x+1≤lna.

所以lna≥0,解得a≥1.故a∈[1,+∞).

解法2：“化對(duì)”.

④

所以lna≥0，解得a≥1.故a∈[1,+∞)

總之，有關(guān)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的不等式問題，雖然綜合性強(qiáng)，但只要我們掌握相應(yīng)的處理策略及變形技巧，即可化難為易.