圖形優(yōu)美 思維精妙
——探究?jī)蓷l拋物線相切的問(wèn)題

?甘肅省張家川縣第一高級(jí)中學(xué) 李曉東

平時(shí)，我們經(jīng)常遇到直線與拋物線相切的問(wèn)題，也掌握了處理此類問(wèn)題的常用方法.那么，當(dāng)遇到一條拋物線與另一條拋物線相切時(shí)，該如何處理呢？實(shí)際上，可根據(jù)圖形特征，轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切；亦可根據(jù)切點(diǎn)的唯一性，轉(zhuǎn)化為相關(guān)方程有唯一解.下面結(jié)合一道試題的多解探究以及變式訓(xùn)練，領(lǐng)會(huì)解題思維，提升解題技能.

1 好題采擷

(2021年廣東地區(qū)中科大強(qiáng)基測(cè)試第2題)設(shè)拋物線y=x2與x=ay2+1相切，則a=______.

分析:本題以兩條拋物線相切為載體，具有一定的創(chuàng)新性，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則內(nèi)涵豐富；側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力；有利于數(shù)學(xué)思想方法、知識(shí)在解題中的靈活運(yùn)用，能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖1

2 多解探究

如圖1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出拋物線y=x2與x=ay2+1(該拋物線顯然恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)).根據(jù)題意易知a>0.(先確定參數(shù)的取值范圍，便于進(jìn)一步分析.)

由圖可知，在兩條拋物線的公共點(diǎn)處，存在一條直線與兩條拋物線均相切.

視角一：由于題設(shè)兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切，又因?yàn)楫?dāng)直線與拋物線相切時(shí)，可考慮對(duì)應(yīng)二次方程的判別式Δ=0在處理問(wèn)題中的靈活運(yùn)用，所以本題可充分利用“判別式為零”，并結(jié)合切點(diǎn)的坐標(biāo)加以靈活分析.

①

②

點(diǎn)評(píng)：該解法的關(guān)鍵是充分利用直線與拋物線相切，根據(jù)Δ=0巧求切點(diǎn)的坐標(biāo)，突出體現(xiàn)了“方程思想”在解題中的靈活運(yùn)用，對(duì)運(yùn)算求解能力的要求較高.

視角二：由于題設(shè)兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切，又因當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，可考慮導(dǎo)數(shù)的幾何意義在分析、解決問(wèn)題中的靈活運(yùn)用，所以本題可充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并結(jié)合相關(guān)導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以靈活分析.

解法2：依題意，對(duì)y=x2求導(dǎo)得y′=2x；對(duì)x=ay2+1求導(dǎo)得1=2ayy′.

點(diǎn)評(píng)：解法2的關(guān)鍵是充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在拋物線上，構(gòu)建等式.此外，要注意對(duì)x=ay2+1的求導(dǎo)，應(yīng)靈活運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

點(diǎn)評(píng)：解法3與解法2不同之處在于需要先轉(zhuǎn)化題設(shè)條件，以便能夠直接利用求導(dǎo)公式；同時(shí)要注意兩條拋物線在切點(diǎn)處的切線斜率相等及導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用.

視角三：由于題設(shè)兩條拋物線相切可轉(zhuǎn)化為存在一條直線與兩條拋物線均相切，又因當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，可考慮對(duì)應(yīng)二次方程的判別式Δ=0與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所以本題可將“判別式為零”與“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”在解題中同時(shí)加以靈活運(yùn)用.

③

④

點(diǎn)評(píng)：解法4的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用了Δ=0和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)要注意直線方程點(diǎn)斜式的運(yùn)用.顯然，該解法對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用能力的考查較強(qiáng)，有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

視角四：考慮“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”的靈活運(yùn)用，可先將題設(shè)兩條拋物線相切轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或者關(guān)于y的方程有唯一解，再結(jié)合其他知識(shí)加以靈活分析.

解法5：將y=x2代入x=ay2+1，可得

ax4=x-1.

⑤

依題意知方程⑤有唯一解，所以直線y=x-1與拋物線y=ax4必相切.

⑥

點(diǎn)評(píng)：解法5需要先將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有唯一解，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切，最后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)和方程思想加以靈活求解.顯然，該解法突出考查了學(xué)生靈活運(yùn)用“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”分析、解決目標(biāo)問(wèn)題的能力.

圖2

點(diǎn)評(píng)：解法6需要先將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，再借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想加以靈活求解，有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 變式訓(xùn)練

⑦

說(shuō)明：有興趣的讀者可參考前述例題的多種不同解法，給出本題的其他解法.

綜上，處理兩條拋物線相切的問(wèn)題，有多種不同的解題視角以及對(duì)應(yīng)的具體解法.需要我們特別關(guān)注的是：(1)要學(xué)會(huì)以圖形的直觀、明了性作為分析、解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，便于幫助我們迅速獲得具體的解題思路；(2)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”，將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，便于根據(jù)已掌握的知識(shí)、方法順利求解；(3)通過(guò)試題的多解探究以及變式訓(xùn)練，努力提高直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)而提高分析、解決此類問(wèn)題的技能技巧.

4 結(jié)語(yǔ)

一言以蔽之，小題不小，蘊(yùn)含豐富，具有較好的思維價(jià)值、探究?jī)r(jià)值，值得我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)品味、深思；有利于提高學(xué)生對(duì)所學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的綜合運(yùn)用能力，也有利于進(jìn)一步拓寬視野，提高思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，進(jìn)而提升理性思維能力.