三維趨化系統(tǒng)全局弱解的存在性和漸近穩(wěn)定性

唐浩怡，彭紅云

（廣東工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 廣州 510520）

關(guān)于拋物?雙曲型系統(tǒng)解的適定性(局部和全局)和漸近穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)研究很多，但這些研究大多集中于連續(xù)初值[1-4]。相比連續(xù)初值，不連續(xù)初值的研究難度更大。本文考慮以下PDE-ODE趨化模型

在不連續(xù)初值下全局弱解的適定性和大時間行為。該模型描述了腫瘤血管生成過程中血管內(nèi)皮細(xì)胞生長信號因子VEGF(Vascular Endothelial Growth Factor)和血管內(nèi)皮細(xì)胞之間的相互作用[5]。u(x,t)和c(x,t)分別代表血管內(nèi)皮細(xì)胞的密度和血管內(nèi)皮細(xì)胞生長信號因子的濃度。參數(shù) ξ>0是衡量趨化強(qiáng)度的趨化系數(shù)，μ代表生長信號因子的降解率。通過Cole-Hopf變換[6]

系統(tǒng)(1)可變?yōu)閽佄?雙曲型方程

系統(tǒng)(3)滿足初始條件和無窮遠(yuǎn)狀態(tài)

對于一維的趨化拋物?雙曲型系統(tǒng)(3)已經(jīng)有了大量的研究。首先，一維行波解的存在性和穩(wěn)定性可參考文獻(xiàn)[7]，關(guān)于解的整體存在性可參考文獻(xiàn)[8-10]，關(guān)于有界區(qū)間上解的存在性可參考文獻(xiàn)[4，11]。對于多維全空間 R2，文獻(xiàn)[12]討論了關(guān)于有界區(qū)域上平面行波的非線性穩(wěn)定性。對于高維情形，當(dāng)初值接近常數(shù)平衡態(tài)時，關(guān)于經(jīng)典解爆破準(zhǔn)則的研究可參考文獻(xiàn)[13-14]，在文獻(xiàn)[13]中也討論了當(dāng)，∈Hs(Rd)(d∈Z+)，很小時，解的大時間行為。在初值正則性高的情況下，當(dāng)小，解的代數(shù)衰減率可以進(jìn)一步在文獻(xiàn)[1]得到。當(dāng)∈H2(Rd)（d∈Z+）且很小時，文獻(xiàn)[2]討論了在 Rd(d=2,3)上解的整體存在性和時間衰減速率。以上的結(jié)論都是基于初值的高正則性和Hs(s∈N，s≥1)模小的情況下，所得到的解都是強(qiáng)解。而關(guān)于不連續(xù)初值的研究難度更大，成果不多，因為 ?v的可積性在連續(xù)初值的分析[1-2，13]中有關(guān)鍵性地位并且很容易得到。由于初值的正則性低，難以得到 ?v的可積性，只能期望得到v的Lp可積性。在文獻(xiàn)[15-16]中分別討論了在R 和R2上全局弱解的適定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性。本文期望在R3空間討論模型(3)全局弱解的穩(wěn)定性。其中，本文引入了“有效粘性通量”的工具來處理需要的能量估計和v的正則性。由Navier-Stokes方程組相關(guān)研究[17]的啟發(fā)，式(3)的第一個等式可改寫為=?·F，“有效粘性通量”F可定義為

那么，式(3)的第二個等式可化為vt=?χuv+F。利用有效粘性通量，可以處理初始值正則性較低帶來的困難。因為χ 和對本文的分析沒有實質(zhì)影響，以下不妨設(shè)，首先引入弱解的定義。

定義1若(u,v)可積且對于任意可測函數(shù)，有

那么(u,v)是系統(tǒng)(3)～(5)的弱解，式中：j=1,2,3，ψ0(x)=ψ(x,0)。下面介紹本文的主要結(jié)論。

定理1假設(shè)40且≤M,存在依賴于M的常數(shù) ε>0，使得當(dāng)=θ0≤ε時，Cauchy問題(3)～(5)存在一個全局弱解(u,v)(x,t)滿足

并且使得式(8)中的漸近行為成立：

式中：2

定理1的初值條件表明(u0,v0)可以是不連續(xù)的，這給分析帶來了很多困難。為了證明定理1，首先對初值進(jìn)行磨光，在磨光后的初值下得到全局光滑解(uδ,vδ)，然后當(dāng)極限δ→0時，得到系統(tǒng)(3)～(5)的弱解。本文證明的關(guān)鍵點在于得到與磨光參數(shù) δ無關(guān)的全局先驗估計。由于以往處理連續(xù)初值的理論框架不能完全解決本文中的問題，所以需要引入“有效粘性通量”F來獲得關(guān)于δ 的一致估計。相比于二維的研究，有一些非線性項在三維情形下更難處理，這需要一些新的技巧來處理這些非線性項，從而得到關(guān)于δ的一致先驗估計。

1 預(yù)備引理

介紹一些記號：

（1）Hk(R3)表示在R3上的k階Sobolev空間，范數(shù)形式為，L2是L2(R3)的縮寫。

（2）θ0=∥u0?1∥2+∥v0∥2，在文中θ0是一個很小的數(shù)，不失一般性設(shè)θ0<1。

以下介紹Cauchy問題(3)～(5)光滑解的局部存在性和爆破準(zhǔn)則。

引理1[13]令。存在使得Cauchy問題(3)～(5)存在唯一的解(u?1,v)∈L∞((0,T?],Hs(Rd))，d∈Z+。

引理2[14]令。如果(u,v)是引理1在最大有效時間T?>0上唯一的局部解，那么當(dāng)

時，解(u,v)可以往T?>0以外延拓。

在這種變換下，式(6)中定義的“有效粘性通量”F可寫為

引理3[16]令是系統(tǒng)(10)的光滑解，則存在一個正常數(shù)C，使得

引理4[18]令1≤q,r≤∞，r∈(0,p)，1

2 近似解的先驗估計

在這一節(jié)中，本文擬在磨光初值下構(gòu)造近似解來證明定理1。令，其中，=u0?1，jδ是標(biāo)準(zhǔn)磨光核。然后考慮近似系統(tǒng)

通過引理1，可以得到滿足初值(16)～(17)的近似系統(tǒng)(15)的解的局部存在性。然后，將在以下引理中證明近似解滿足一些與參數(shù)δ 無關(guān)的全局先驗估計。簡單起見，仍然用表示近似解。令T>0是給定時間，是系統(tǒng)(15)在R3×(0,T]上的光滑解。設(shè)σ=σ(t)=min{1,t}，定義

接下來，將利用先驗假設(shè)的方法得到系統(tǒng)(15)～(17)光滑解的先驗估計。假設(shè)對于任意t∈[0,T]，光滑解滿足

式中：M和θ0的定義與定理1中的相同，η0定義為

最后，將在式(19)下獲得(15)～(17)的整體解，從而封閉先驗假設(shè)。下面從的L2估計開始。

引理5在定理1的條件下，若系統(tǒng)(15)～(17)的光滑解滿足式(19)，則滿足不等式

證明對式(15)的第一個方程和第二個方程分別乘以和v，再把所得結(jié)果加起來并積分可得

由H?lder，Cauchy-Schwarz不等式和式(14)得

把式(23)代入式(22)可得

對式(24)在[0,t]上積分，利用式(17)～(19)有

引理6在定理1的條件下，若系統(tǒng)(15)～(17)的光滑解滿足式(19)，則滿足不等式

式中：σ=σ(t)=min{1,t}。

證明第一步：對式(15)的第一個方程乘以，將所得結(jié)果在R3×[0,T]上積分得

對于式(26)右邊的第二項，利用 Cauchy-Schwarz 不等式、式(14)、式(19)和式(21)可得

式中的常數(shù)λ >0將在后面給定。對于式(26)右邊的最后一項

由Cauchy-Schwarz不等式和0≤σ≤1得

由系統(tǒng)(15)的第二式可得

因此，有

由Cauchy-Schwarz不等式、H?lder不等式、式(14)、式(18)和式(19)有

再由式(11)和式(14)得

由式(19)、式(33)和0≤σ≤1，可得

由θ0<1，η0>0，式(11)、式(14)、Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得

由式(13)和H?lder不等式有

由式(18)、式(19)、式(35)、式(36)、Young不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

由Young不等式、式(18)和式(19)得

然后，把式(37)和式(38)代入式(34)，取 θ0足夠小使得，由式(20)得

由式(32)和式(39)得

對式(31)右邊的最后一項，由Cauchy-Schwarz不等式，式(14)，式(19)和插值不等式可得

把式(40)和式(41)代入式(31)，取 θ0足夠小使得，有

聯(lián)合式(29)可得

結(jié)合式(29)得

式(42)取θ0足夠小使得≤1，

引理7在定理1的條件下，若系統(tǒng)(15)～(17)的光滑解滿足式(19)，則滿足不等式

而且對于任意t∈(σ(T),T]，有

引理8在定理1的條件下，取，若系統(tǒng)(15)～(17)的光滑解滿足式(19)，則滿足

證明由式(11)和vt=得

對式(44)乘以|v|2v，再對結(jié)果積分有

對式(45)在[σ(T),T]上積分，由式(43)得

由插值不等式和式(19)，對任意2

由Young不等式有

由式(14)得

由式(25)和式(35)得

由式(19)、式(25)、式(36)、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和式(39)得

把式(52)代入式(48)得

另一方面，當(dāng)0≤t≤σ(T)時，

因此，

引理9在定理1的條件下，若系統(tǒng)(15)～(17)的光滑解滿足式(19)，則滿足不等式(54)

3 定理1的證明

參考文獻(xiàn)[16]的證明方法，可以得到關(guān)于 δ的一致估計：

同時，有

再由Aubin-Lions-Simon 引理[15]，取一個子序列，當(dāng)δ→0時，可得在C([0,∞),H?1(R3))中，vδ(·,t)強(qiáng)收斂于v，在(u,v)中uδ(·,t)強(qiáng)收斂于u(·,t)，在L2([0,∞),L2(R3))中，?uδ(·,t)弱收斂于 ?u(·,t)。

上述結(jié)果可知(u,v)是系統(tǒng)(3)～(5)的弱解。參考文獻(xiàn)[16]的證明方法，本文可以證明式(8)。定理1證明完畢。