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    略論數(shù)學(xué)教學(xué)中的“傾聽歷史”

    2022-02-10 13:13:36陳雨晴韓粟汪曉勤
    教育研究與評論 2022年12期
    關(guān)鍵詞:學(xué)科德育數(shù)學(xué)理解傾聽

    陳雨晴 韓粟 汪曉勤

    摘要:在數(shù)學(xué)教學(xué)中,傾聽并不局限于師生之間、生生之間,還包括通過數(shù)學(xué)內(nèi)容與古人建立聯(lián)系,即“傾聽歷史”。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生開放、包容地對待古人的數(shù)學(xué)見解,站在古人的立場看待數(shù)學(xué)知識?!皟A聽歷史”除了幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識更為深刻的認(rèn)識,還在教學(xué)中發(fā)揮了數(shù)學(xué)史的德育價值?!皟A聽歷史”的做法包括:分析古今差異,理解數(shù)學(xué)知識;探尋古人錯誤,提升學(xué)習(xí)信心;體悟古人思想,把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)教學(xué);傾聽;數(shù)學(xué)理解;學(xué)科德育

    一、 引言

    立德樹人是當(dāng)今教育的根本任務(wù),而數(shù)學(xué)教育則承載著落實這一根本任務(wù)的重要功能。培養(yǎng)“德才兼?zhèn)洹毙腿瞬抛怨乓詠矶际俏覈慕逃硐?,所謂“才德全盡謂之圣人”。而“圣”在《說文解字》中的解釋為“通也,從耳呈聲”,可見“圣人”是善于傾聽的人。猶太民族經(jīng)典著作《塔木德》也告誡人們,應(yīng)該用兩倍于說話的時間去傾聽。可以說,“學(xué)會傾聽”是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要內(nèi)容。

    著眼于學(xué)生、教師和教學(xué)內(nèi)容這三個教學(xué)的基本要素,已有的關(guān)于數(shù)學(xué)課堂中“傾聽”的討論集中在學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間,著眼于當(dāng)下存在的生命體,而忽視了教學(xué)內(nèi)容這一重要的因素,也忽視了當(dāng)下的學(xué)習(xí)者與創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識的古人的關(guān)系。日本學(xué)者佐藤學(xué)認(rèn)為,學(xué)習(xí)包含同教科書(客觀世界)的相遇與對話。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生時常迷失在書本的概念、方法、命題里;以考試為導(dǎo)向的教學(xué)迫使學(xué)生在短時間內(nèi)快餐式地攝入大量知識,而來不及消化,更談不上吸收;書本知識及教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生而言,如同浮光掠影一閃而過。同時,除了未能深入教材編寫者的心靈去理解教材之外,學(xué)生也缺乏傾聽知識創(chuàng)造者的意識,從而未能與古人形成有效的對話,而與古人數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的精彩之路漸行漸遠(yuǎn)。為了更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容,學(xué)生不僅需要傾聽教師、同伴,還應(yīng)該傾聽知識的創(chuàng)造者。

    有研究者指出:“‘傾聽教育學(xué)的思想取向側(cè)重將‘傾聽視為研究和問題解決,旨在探索人的思想或觀念誕生和發(fā)展的奧秘。”對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,古人的思想觀念已成為數(shù)學(xué)史的一部分,故而數(shù)學(xué)史可以搭建學(xué)生和古人溝通的橋梁,成為我們傾聽知識創(chuàng)造者的重要通道。由此,“傾聽歷史”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“學(xué)會傾聽”的重要組成,不僅體現(xiàn)了參悟古人的思想方法以解決數(shù)學(xué)問題的智育價值,而且彰顯著摒棄以自我為中心的思維習(xí)慣,學(xué)會尊重和包容的德育價值。

    鑒于此,本文以數(shù)學(xué)史為抓手,探討數(shù)學(xué)教學(xué)中“傾聽歷史”的意蘊,提出數(shù)學(xué)教學(xué)中“傾聽歷史”的路徑與方法,并通過案例說明具體的實踐過程,以期為今日教學(xué)提供參考。

    二、 數(shù)學(xué)教學(xué)中“傾聽歷史”的意蘊

    (一) “傾聽歷史”的基本內(nèi)涵

    “傾聽歷史”是站在不同時代、不同文化的立場下對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)意義的內(nèi)化和理解過程?!皟A聽歷史”要求我們對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)文本保持開放的態(tài)度,旨在有效地與古人形成對話,進(jìn)而產(chǎn)生思維的碰撞、智慧的交流。狹義的傾聽,意即“側(cè)耳而聽之,同時還要用心細(xì)聽”,不僅涉及感覺,還涉及思維這一更為復(fù)雜的認(rèn)知過程。耳是傾聽過程的媒介,聽覺系統(tǒng)通過耳對外界的刺激進(jìn)行信息編碼和加工,而聽者在這個過程中用心用腦、積極思考。顯然,我們已經(jīng)無法在物理上聽到古人的聲音,因此,“傾聽歷史”超越了傳統(tǒng)意義的以耳為介,強調(diào)的是心靈的感受、精神的領(lǐng)悟。這要求我們跳出先入為主的觀念,以尊重和包容的態(tài)度對待古人的數(shù)學(xué)見解。

    (二) “傾聽歷史”的哲學(xué)審思

    從哲學(xué)上看,“傾聽歷史”注重史料的源初性,強調(diào)清除偏見而不虛推古人,以實現(xiàn)在精神上與古人處于平等的對話地位。審視東西方的傾聽哲學(xué)可以發(fā)現(xiàn),中國的文化傳統(tǒng)自古便對傾聽有著深刻的認(rèn)識,傾聽哲學(xué)蘊含的智慧烙印在中華民族的文化基因中。其中,道家的傾聽哲學(xué)是體現(xiàn)中華民族崇尚傾聽文化的典型代表。道家講究大道無形、大音希聲,并將聽分為三個境界:耳聽、心聽和神聽。老子認(rèn)為:“上學(xué)以神聽,中學(xué)以心聽,下學(xué)以耳聽。以耳聽者,學(xué)在皮膚;以心聽者,學(xué)在肌肉;以神聽者,學(xué)在骨髓。”耳聽停留在感官察覺,依聲循跡;心聽依賴于“我可以理解”的已有經(jīng)驗進(jìn)行表征的判斷和推求;唯有神聽才可以讓事物不受干擾地顯露本來面目,保持原始狀態(tài)的敞亮,神聽是體悟道的奧秘的過程?!皟A聽歷史”追求神聽之境,關(guān)注對數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞悉,以實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的交融和個人智慧的通達(dá)為目標(biāo)。

    而西方的文化脈絡(luò)中,“視覺中心主義”長期占據(jù)思想的主導(dǎo)地位,直到近現(xiàn)代,傾聽思想的地位才逐漸提升。以海德格爾、伽達(dá)默爾、杜威為代表的哲學(xué)家在反思傳統(tǒng)哲學(xué)的基礎(chǔ)上探討傾聽思想的價值和意義,傾聽文化隨之呈現(xiàn)多元發(fā)展的生機。海德格爾指出:“為了清除偏見,我們必須下定決心去傾聽。傾聽使我們超逾所有傳統(tǒng)習(xí)見的藩籬,進(jìn)入更為開闊的領(lǐng)域。”清除偏見(避免標(biāo)簽化、臉譜化)是為了更好地認(rèn)識與思考,其本真態(tài)度便是傾聽。傾聽更意味著理解與領(lǐng)會,要“以一種謙卑的態(tài)度向他者敞開”,“只有回到一個人或事物自身的歷史與其存在的環(huán)境,我們才可能真正理解它”。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,如果僅關(guān)注和記憶外顯形式下精致而完善的概念、命題、公式等,就難以理解它們內(nèi)隱的深刻思想。只有回到數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歷史背景,以平等尊重的態(tài)度看待數(shù)學(xué)家們的工作,體悟他們的思想精髓,才能有效地傾聽古人,也即實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)意義的理解和領(lǐng)會。

    伽達(dá)默爾則提醒我們:“并不是說,傾聽某人講話或閱讀某個著作時,我們必須忘掉所有關(guān)于內(nèi)容的前見解和所有我們自己的見解。我們只是要求對他人的和文本的見解保持開放的態(tài)度?!睌?shù)學(xué)本身具有相對性,不同時空和不同文化造就了多元化的數(shù)學(xué)思想。就像歐氏幾何中的三角形內(nèi)角和等于180°,而羅氏幾何中的三角形內(nèi)角和小于180°,黎曼幾何中的三角形內(nèi)角和大于180°一樣,非歐幾何的出現(xiàn)并不能否定歐氏幾何的合理性,因為數(shù)學(xué)家們是站在不同的立場去創(chuàng)造不同的幾何體系的。數(shù)學(xué)公理未必就是絕對正確的真理,只是“對數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的約定”。同一個數(shù)學(xué)研究對象也可能呈現(xiàn)不同的定義。比如,在古希臘時期,橢圓是以平面與圓錐的截線來定義的,而在17世紀(jì)之后,橢圓的第一定義“平面上到兩定點的距離之和為常數(shù)的動點軌跡”,第二定義“平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的動點軌跡”,第三定義“平面內(nèi)與兩定點形成的直線的斜率乘積為定值的動點軌跡”相繼登上歷史舞臺。事實上,我們對數(shù)學(xué)一直處于探索中,理應(yīng)開放而辯證地看待各種不同的數(shù)學(xué)見解,更應(yīng)站在知識產(chǎn)生的時代背景中與數(shù)學(xué)家們對話,傾聽數(shù)學(xué)家們的心聲。而數(shù)學(xué)史是人創(chuàng)造的,因此,也成為我們傾聽古人的媒介。

    (三) “傾聽歷史”的教育價值

    回到數(shù)學(xué)教育,“傾聽歷史”有助于彰顯數(shù)學(xué)史的德育價值。著名教育家蘇霍姆林斯基始終關(guān)注學(xué)生傾聽能力的培養(yǎng)。他認(rèn)為,傾聽能力是一種觀察能力,作為傾聽的觀察具有“提升道德的敏銳性和促進(jìn)智力發(fā)展”的價值。數(shù)學(xué)教育是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展的重要載體,同時能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法。“傾聽歷史”使我們能夠在古人的數(shù)學(xué)研究歷程中汲取經(jīng)驗,同時為我們提供了研究數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的思考方向,數(shù)學(xué)史的智育價值通過“傾聽歷史”得以發(fā)揮。然而,未融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)也能促進(jìn)學(xué)生的智力發(fā)展,讓學(xué)生獲取一定的數(shù)學(xué)知識,此時“傾聽歷史”所具備的更為獨特的意義是什么呢?未融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂喪失了許多精彩的德育素材和資源,因此,“傾聽歷史”彰顯數(shù)學(xué)史德育價值從而落實學(xué)科德育方面的意義顯得至關(guān)重要。

    數(shù)學(xué)往往給人留下“聰明者的游戲”“天書”等印象。課堂中,學(xué)生不追問知識產(chǎn)生的動因而機械記憶數(shù)學(xué)公式、疲于應(yīng)付考試的現(xiàn)象屢見不鮮。學(xué)生如果對數(shù)學(xué)持有自卑和抗拒的態(tài)度,以應(yīng)付考試為學(xué)習(xí)的第一要務(wù),怎能真正地理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)呢?“傾聽歷史”旨在改變學(xué)生對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家“遙不可及”的固有印象。從“畢達(dá)哥拉斯悖論”到“貝克萊悖論”再到“羅素悖論”,數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了三次危機,可見其并非一帆風(fēng)順;同樣,數(shù)學(xué)家們研究數(shù)學(xué)的過程也是艱辛和曲折的,比如納皮爾(J.Napier,1550—1617)二十年如一日地制作對數(shù)表,難以想象他面對如此繁雜的計算克服了多大的困難。這些歷史能夠讓學(xué)生明白:即使是某個時代最偉大的數(shù)學(xué)家,他們的認(rèn)識也存在局限性;數(shù)學(xué)并非天外來物,如今呈現(xiàn)的一個個結(jié)論都是數(shù)學(xué)家們通過嘔心瀝血的研究得到的?!皟A聽歷史”同樣要對古人保持尊重的態(tài)度。比如,負(fù)數(shù)的概念在如今的中學(xué)階段便能夠被學(xué)生所理解,但古人卻花了幾千年去認(rèn)識它,而我們不能自認(rèn)為古人愚蠢或我們比古人高明。“傾聽歷史”同時要摒棄以自我為中心的思維習(xí)慣。比如,現(xiàn)在我們習(xí)慣于將方程寫作等號的一邊為0的形式,而從歷史上看,古人并未采取這種寫法,那么學(xué)生在解方程時一定要化為等式的一端為0的形式嗎?“傾聽歷史”能夠讓學(xué)生體悟到,數(shù)學(xué)是一門具有探索性、演變性、發(fā)展性的學(xué)科,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時,也應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們追求真理、勇于創(chuàng)新、堅持不懈的精神?!袄硇浴⑶楦?、信念和品質(zhì)”等數(shù)學(xué)史德育要素,通過“傾聽歷史”,能夠更好地滲入課堂,使課堂更富人文性,進(jìn)而能夠促進(jìn)學(xué)生在知、情、意、行上全面發(fā)展。

    綜上所述,“傾聽歷史”溝通了學(xué)生認(rèn)知能力和非認(rèn)知能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),絕不局限于表層數(shù)學(xué)知識的理解和深層數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟,還需要關(guān)注數(shù)學(xué)背后的“人”,需要關(guān)心數(shù)學(xué)家們和數(shù)學(xué)研究者們在“做數(shù)學(xué)”時的想法。對數(shù)學(xué)背后“人”的元素的觀照能夠反哺數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程,使學(xué)生實現(xiàn)對知識的深刻理解。

    三、 數(shù)學(xué)教學(xué)中如何“傾聽歷史”

    (一) 分析古今差異,理解數(shù)學(xué)知識

    米山國藏曾言:“數(shù)學(xué)中的許多重要概念從它最初的原始狀態(tài),隨著時間的推移,由于種種原因而被一次一次地擴張、推廣,結(jié)果成為像今天這樣廣泛而精確的概念?!睌?shù)學(xué)定義、命題等的古今差異成為學(xué)生認(rèn)知過程的障礙?!皟A聽歷史”就是要回到知識發(fā)展的關(guān)鍵歷史階段,在了解當(dāng)時數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)知識的見解后,再來思考古人的想法與我們相異的原因,從而充分理解數(shù)學(xué)知識。

    比如,現(xiàn)今的教科書中,對數(shù)的定義通常是:若ax=N(a>0且a≠1),則數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù)(logarithm)。對數(shù)是學(xué)生難以理解的數(shù)學(xué)概念。對數(shù)的“對”是什么含義?對數(shù)的中英文名稱有什么來歷?這些問題都困擾著學(xué)生。而對數(shù)概念發(fā)展至今,其定義的形式已經(jīng)出現(xiàn)了巨大的變化,對數(shù)原本的含義以及對數(shù)蘊含的數(shù)學(xué)思想也難以在現(xiàn)今的定義中窺見。對數(shù)由納皮爾發(fā)明,納皮爾是基于等差和等比數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系來研究對數(shù)的,納皮爾還構(gòu)建了一個運動的幾何模型來解釋這種對應(yīng)關(guān)系。對數(shù)的“對”實為幾何級數(shù)和算術(shù)級數(shù)之間的對應(yīng);而“l(fā)ogarithm”來源于“l(fā)ogos(比)”和“arithmos(數(shù))”的組合,這里的比是等比數(shù)列的公比,數(shù)便是公比的個數(shù)。在那個時代,納皮爾發(fā)明對數(shù)的動機是簡化計算,將大數(shù)的乘除轉(zhuǎn)化為加減;同時,納皮爾是在前人研究雙數(shù)列的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探尋對應(yīng)關(guān)系蘊藏的運算法則的,對數(shù)的思想來源也是前人的研究。在當(dāng)時,指數(shù)概念尚未成型。而歐拉認(rèn)識到“對數(shù)源于指數(shù)”,并明確指出對數(shù)和指數(shù)的互逆關(guān)系時,指數(shù)的概念與符號已經(jīng)被世人所熟悉。以冪指數(shù)形式定義的對數(shù)已經(jīng)和誕生時的原貌迥然不同,從冪指數(shù)形式的定義中難以看到對數(shù)產(chǎn)生的動機和對數(shù)的含義,甚至還容易讓人產(chǎn)生“指數(shù)比對數(shù)出現(xiàn)得更早”的誤會?!皟A聽歷史”,分析古今差異產(chǎn)生的原因,可知:(1) 納皮爾是以前人對雙數(shù)列的研究為基礎(chǔ)發(fā)明的對數(shù);(2) 在納皮爾時代,指數(shù)概念尚不清晰,又何談讓人們意識到指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系呢?

    再如,古今對正弦定理的證明也有很大的差異。如今的教科書中,利用向量或三角形面積等證明正弦定理是主流方法。這些方法都很簡潔,無須增加過多的輔助線。而最早證明正弦定理的是納綏爾?。∟asirEddin,1201—1274)。他的做法是:

    如圖1所示,在△ABC中,延長BA于點E,延長CA于點G,使得BE=CG=R;分別以B、C為圓心,BE、CG為半徑作圓,與直線BC交于點J、I;分別過點A、E、G作直線BC的垂線,垂足分別為D、F、H。

    其中,EF=sinB,GH=sinC,由△ABD∽△EBF,△ACD∽△GCH可得AB∶AD=BE∶EF=R∶sinB,AD∶AC=GH∶CG=sinC∶R,將上述兩個等式相乘可得AB∶AC=sinC∶sinB。

    傾聽納綏爾丁的心聲,為什么他會產(chǎn)生利用相似三角形證明的想法?為什么他會構(gòu)造半徑相等的圓?因為在當(dāng)時,三角函數(shù)是以與圓相關(guān)的一些線段來定義的,其本質(zhì)是線段,而值與圓的半徑相關(guān)。在以幾何研究為主流的時代,相似三角形是產(chǎn)生線段比例很好的工具,而正弦定理實際上就是某些三角形中線段的比例關(guān)系。隨著時間的推移,三角函數(shù)的三角比定義走進(jìn)人們的視野,而正弦定理的面積證法便基于三角比的關(guān)系。繼續(xù)往后,隨著人們對向量的認(rèn)識逐漸深入,正弦定理作為向量的應(yīng)用也應(yīng)運而生。也許,從現(xiàn)在的視角出發(fā),證明正弦定理無須作出過多的輔助線。但是,體會二者之間的差異,我們發(fā)現(xiàn),不是納綏爾丁不懂求簡,而是三角函數(shù)的定義存在古今差異;同時,納綏爾丁充分踐行了當(dāng)時主流的對三角函數(shù)的研究思路,即將其放在圓中考慮。

    “傾聽歷史”,分析古今差異,即要縱觀數(shù)學(xué)知識的歷史脈絡(luò),將數(shù)學(xué)知識放在產(chǎn)生的時代中去理解?;蛟S數(shù)學(xué)知識的原意在一代又一代的發(fā)展中被“遮蔽”起來了,我們要做的便是借助數(shù)學(xué)史進(jìn)行“解蔽”。

    (二) 探尋古人錯誤,提升學(xué)習(xí)信心

    “只有那些從來也沒有嘗試過新事物的人才會永遠(yuǎn)不犯錯誤。”這句常被認(rèn)為是出自愛因斯坦的引言,提醒人們不要害怕在研究的過程中犯錯誤,因為謬誤與真理時常相伴。數(shù)學(xué)史的用途之一是向?qū)W生揭示曾經(jīng)阻礙過進(jìn)步的概念困難和錯誤?!皟A聽歷史”便要探尋數(shù)學(xué)家們出現(xiàn)不恰當(dāng)?shù)幕蝈e誤的數(shù)學(xué)理解的成因,因為根據(jù)歷史相似性原理,數(shù)學(xué)家們出現(xiàn)的錯誤也可能是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中容易陷入的困境。從教師的立場看,學(xué)生或許犯錯了,可是從古人的立場看,學(xué)生只不過經(jīng)歷了概念理解的一個必然階段。從古人的想法中得到的啟發(fā),能夠幫助教師理解學(xué)生,也能促進(jìn)學(xué)生樹立積極、正面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心。

    學(xué)生容易理解錯誤或認(rèn)知不完善的數(shù)學(xué)概念,在歷史上往往也經(jīng)歷了漫長的發(fā)展,經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)家們不斷地修正,最終才呈現(xiàn)完善的定義。

    例如,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾經(jīng)錯誤地認(rèn)為無理數(shù)(不可公度量)不存在。那是他們過于迷信經(jīng)驗(直觀)帶來的普遍認(rèn)識,沒有意識到邏輯(理性)的力量和價值,沒有充分形成理性的信念。

    又如,棱柱在《幾何原本》第11卷中被定義為“由一些平面構(gòu)成的,其中有兩個面是相對的、相等的、相似的且平行的,其他各面均為平行四邊形的立體圖形”。圖2顯然是該定義的反例,而已有研究表明,學(xué)生也容易憑借幾何直觀形成與此棱柱定義相似的錯誤認(rèn)知。

    “傾聽歷史”,探尋古人錯誤,即要了解數(shù)學(xué)家們的錯誤是怎么產(chǎn)生的,并對他們的數(shù)學(xué)見解秉持開放包容的態(tài)度。在課堂中,學(xué)生的錯誤認(rèn)知或許正與歷史上數(shù)學(xué)家們的理解契合,借助數(shù)學(xué)史,學(xué)生也會更加辯證地看待這些錯誤認(rèn)知。

    (三) 體悟古人思想,把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

    “數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和重要的因素就是數(shù)學(xué)思想,整個數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上,并按照這些思想發(fā)展起來的……數(shù)學(xué)的各種方法是數(shù)學(xué)最重要的部分?!绷饔诒砻娴臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)會讓學(xué)生喪失在精彩的思想方法中汲取精神養(yǎng)分的機會,“傾聽歷史”便要了解數(shù)學(xué)家們的思想方法和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程,做到知其然,知其所以然,知其何以所以然。古人的某些思想方法在今日看來并未過時,并且是教學(xué)的絕妙素材。正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯所言:“讀讀歐拉,他是我們所有人的老師?!毕热说慕?jīng)驗?zāi)軌蜷_闊我們的視野,同時,理解先人的思想方法也是理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的必經(jīng)之路。

    例如,“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”,數(shù)與形是數(shù)學(xué)主要的研究對象,數(shù)形結(jié)合思想可謂貫穿整個數(shù)學(xué)課程(尤其是高中數(shù)學(xué)課程)的思想主線之一,而解析幾何融幾何直觀與代數(shù)運算于一體,充分彰顯了數(shù)形結(jié)合的思想?!皟A聽歷史”便要挖掘數(shù)形結(jié)合思想與解析幾何誕生的關(guān)系以及這種思想在解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想古已有之。比如,“形數(shù)”是古希臘時期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的重要研究對象,體現(xiàn)了以形表數(shù)和以數(shù)馭形——形數(shù)之間的互相表征。而法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(R.Descartes,1596—1650)也是站在前人的肩膀上創(chuàng)立的解析幾何。16世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viète,1540—1603)系統(tǒng)地引入代數(shù)符號并豐富了方程理論,從而推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。韋達(dá)試圖用代數(shù)方法來解決幾何作圖問題,并且認(rèn)為線段的加減乘除可以由代數(shù)符號表示,從而轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。笛卡兒《幾何學(xué)》的第一卷以長度將線段和數(shù)量聯(lián)系起來,意圖將幾何問題代數(shù)化,并用方程表示線段之間的關(guān)系,而第二卷則將平面上的點與坐標(biāo)(x,y)對應(yīng),化曲線為含有未知數(shù)x、y的方程。笛卡兒察覺到“代數(shù)的一些內(nèi)容缺乏直觀性”,并認(rèn)為“歐幾里得幾何缺乏動感和想象力”,而立志建立“一種集代數(shù)與幾何兩門學(xué)科的優(yōu)點于一身而能去掉兩者的缺點的新學(xué)科”。

    數(shù)形結(jié)合思想是產(chǎn)生解析幾何的關(guān)鍵,“解析”意即用代數(shù)方程來研究幾何問題。從幾何研究的角度來看,傳統(tǒng)幾何學(xué)側(cè)重于定性地演繹圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系,而解析幾何則借助代數(shù)方程定量地分析圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系。這種轉(zhuǎn)變實際上包含了在數(shù)學(xué)內(nèi)部將純幾何研究對象進(jìn)一步抽象為代數(shù)研究對象的過程,并通過建立方程模型來刻畫幾何圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系。笛卡兒的思想實際上經(jīng)歷了史寧中教授所說的“抽象—推理—模型”的過程,而這個過程更是彰顯了數(shù)學(xué)家的理性精神。同時,笛卡兒的數(shù)形結(jié)合思想所體現(xiàn)的對數(shù)學(xué)本質(zhì)的見解也值得我們學(xué)習(xí)。他說:“所有那些旨在研究順序與度量的科學(xué),都和數(shù)學(xué)有關(guān)。至于所求的度量是關(guān)于數(shù)的呢,形的呢,聲的呢,還是其他東西的呢,都是無關(guān)緊要的?!雹趯τ诮袢盏慕馕鰩缀谓虒W(xué)而言,數(shù)形結(jié)合思想不是“建設(shè)限代化”(“建立坐標(biāo)系—設(shè)出相關(guān)點—限制條件—代入方程—化簡”)這句口號所能簡單地概括的。學(xué)生應(yīng)該了解化常量為變量在實現(xiàn)由靜態(tài)幾何到動態(tài)幾何的過程中的作用,應(yīng)該體悟數(shù)形結(jié)合思想助力幾何實現(xiàn)由二維平面到高維空間突破的價值。

    “傾聽歷史”,體悟古人思想,意味著對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。每一個數(shù)學(xué)概念的誕生都并非一蹴而就的,我們除了要知其然,知其所以然,知其何以所以然,還應(yīng)該看到知識背后數(shù)學(xué)家們的火熱思考,學(xué)習(xí)他們的理性精神。

    總之,我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識,不應(yīng)停留在表面所呈現(xiàn)的知識上,還應(yīng)該涉及做數(shù)學(xué)的“人”,從數(shù)學(xué)家身上學(xué)習(xí)理性、求真、創(chuàng)新、執(zhí)著等精神,進(jìn)而獲得對數(shù)學(xué)更深刻的見解。

    (陳雨晴,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院。韓粟,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院。汪曉勤,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院,教授,博士生導(dǎo)師。主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究,致力于HPM研究、實踐、傳播和人才培養(yǎng)。著有《數(shù)學(xué)文化透視》《HPM:數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》《數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué):理論、實踐與案例》《數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué):理論、實踐與案例》等。)

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