小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵與推理能力培養(yǎng)

☉顧 俊

數(shù)學(xué)教育的主要目的，是為了讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)推理，同時(shí)要有推理的能力。數(shù)學(xué)推理被認(rèn)為是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容之一。早在1950年，我國(guó)就提出要培養(yǎng)兒童善于推理、分析的能力，同時(shí)要學(xué)會(huì)鉆研方法，培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立良好的學(xué)習(xí)意識(shí)。21世紀(jì)初期，我國(guó)實(shí)行課程改革，將數(shù)學(xué)推理能力作為提升數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)，要求對(duì)數(shù)學(xué)推理能力進(jìn)行更加清晰的描述和分析。

一、數(shù)學(xué)推理能力的意義

在新頒布的高中數(shù)學(xué)課堂標(biāo)準(zhǔn)中，將邏輯推理能力作為學(xué)生的核心素養(yǎng)之一，要求學(xué)生能從多個(gè)層面分析發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，作為科學(xué)精神的重要核心內(nèi)容。因此，重視學(xué)生的推理能力，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)一科有幫助，同時(shí)對(duì)于其他科目也都起著重要作用［1］。學(xué)生在談?wù)摰酵评磉^(guò)程時(shí)，通常會(huì)覺(jué)得自己對(duì)推理這個(gè)概念比較了解，但實(shí)際情況卻并不是如此，不同學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)推理的理解存在很大不同［2］。除此之外，學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段，對(duì)于數(shù)學(xué)的推理看法也會(huì)有所差異。例如，在推理中，數(shù)學(xué)推理與一般推理具有何種關(guān)聯(lián)？如果學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)規(guī)律的變化總結(jié)失敗，是否可以采用推理方法？由上述分析可以了解到，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力，將數(shù)學(xué)推理能力融入到教學(xué)中，無(wú)論是對(duì)教學(xué)目標(biāo)還是對(duì)學(xué)生未來(lái)發(fā)展都有重要意義。

二、理解數(shù)學(xué)推理

（一）數(shù)學(xué)推理內(nèi)涵

推理是指人們?cè)谏罨蛘邔W(xué)習(xí)過(guò)程中，常見(jiàn)的一種思維方式。不同學(xué)者對(duì)推理的理解有所差異。大部分學(xué)者認(rèn)為推理與思考和推斷緊密相連，還有學(xué)者認(rèn)為，推理最主要的特點(diǎn)是具有社會(huì)性。具體而論，人們所處環(huán)境不同，以及個(gè)體存在差異，因此，會(huì)有不同的觀點(diǎn)和判斷，對(duì)某一部分群體不證自明的觀點(diǎn)具有重要作用，但是并非適用于所有群體。推理就是篩選不同觀點(diǎn)的過(guò)程。這一過(guò)程需要不斷協(xié)商，同時(shí)也具有集體性的特征，推理與論證之間具有密切聯(lián)系，論證也可以稱為推理中的一部分，兩者所表達(dá)的內(nèi)容和含義相互關(guān)聯(lián)。推理主要包含數(shù)據(jù)資料以及理論成分。部分研究學(xué)者認(rèn)為，推理的活動(dòng)強(qiáng)化所處的環(huán)境與人際關(guān)系，說(shuō)明是推理的主要定義，重視對(duì)邏輯性的正確和完整進(jìn)行考察，涉及到的學(xué)科比較少［3］。大部分推理過(guò)程都是用于分析和評(píng)價(jià)論證，為人們提供所需要的證據(jù)。推斷實(shí)際上是一種基本行為，在日常生活和工作中，離不開(kāi)推斷和思考，人們?yōu)樽约鹤龀鰶Q定和判斷、對(duì)未來(lái)做出計(jì)劃等都無(wú)法離開(kāi)推斷。

（二）數(shù)學(xué)推理中的四種視角

在研究數(shù)學(xué)推理階段，存在多種分類方法、不同的表達(dá)和不同的類別，是因?yàn)檠芯咳藛T對(duì)數(shù)學(xué)推理方面重視度不同。例如，在數(shù)學(xué)教學(xué)階段，推理需要重視學(xué)習(xí)過(guò)程還是學(xué)習(xí)結(jié)果？推理教學(xué)中，需要重點(diǎn)關(guān)注推理策略還是重點(diǎn)關(guān)注推理結(jié)構(gòu)？結(jié)合邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可以將數(shù)學(xué)推理從以下幾個(gè)層面進(jìn)行論述。

第一點(diǎn)是從結(jié)果視角層面分析，這方面更關(guān)注的是推理過(guò)程中的邏輯結(jié)構(gòu)，重視結(jié)果。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，將推理作為解決問(wèn)題的流程和方法，更加重視推理所得到的論點(diǎn)和結(jié)果。此種方面并不是對(duì)推理過(guò)程有所忽視，更多是需要學(xué)生分析和觀察，重視學(xué)生解決問(wèn)題的結(jié)果。

第二點(diǎn)是從過(guò)程視角層面分析，這一視角不僅需要關(guān)注邏輯結(jié)構(gòu)，同時(shí)也要關(guān)注邏輯推理，重視推理步驟和推理對(duì)象。從這一層面出發(fā)的研究人員較多。部分學(xué)者提出，數(shù)學(xué)推理過(guò)程中包含對(duì)結(jié)構(gòu)與量進(jìn)行有效推理和歸納。還有研究學(xué)者對(duì)于邏輯性和思維過(guò)程，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，重點(diǎn)分析數(shù)學(xué)命題之間的內(nèi)涵傳遞，分析數(shù)學(xué)歸納和演繹推理過(guò)程的思維模式，是一種基本的體驗(yàn)。

第三點(diǎn)是從社會(huì)的角度出發(fā)，添加推理過(guò)程的溝通能力和認(rèn)知能力。通過(guò)與他人對(duì)話或者自我對(duì)話的方式，運(yùn)用其中一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，向另外一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)延伸，這種方式為數(shù)學(xué)推論的過(guò)程。例如，尋找差異和相同的過(guò)程，包含識(shí)別和猜想規(guī)律，由于在推理過(guò)程中，需要一定的例子來(lái)支持理論，因此，這種方式可以成為尋找異同點(diǎn)，也可以作為論證過(guò)程的支持。由此可以發(fā)現(xiàn)，個(gè)體具有非常復(fù)雜的思維活動(dòng)，不同類型的推理活動(dòng)，并不是按照一定次序推理的，而是根據(jù)不同推理過(guò)程進(jìn)行推理的，不同推理過(guò)程之間相互影響和促進(jìn)。

第四點(diǎn)為結(jié)構(gòu)性視角，這種推理方式是重視推理如何從主張走向結(jié)構(gòu)。分析構(gòu)成、推理、邏輯結(jié)構(gòu)之間相互聯(lián)系的要素。此種推理方式形式包含以下幾點(diǎn)：第一點(diǎn)為歸納推理，第二點(diǎn)為演繹推理，第三點(diǎn)為溯因推理。比較熟悉的推理方式是歸納推理和演繹推理。我國(guó)又將數(shù)學(xué)推理劃分為演繹推理和合情推理。合情推理是指把已有的事情作為基礎(chǔ)，根據(jù)自己的直覺(jué)與經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)類比和推理等方式，最終得出結(jié)論、公理等內(nèi)容。邏輯推理可以包含兩種，一種為特殊推理，還有一種為一般推理。演繹推理是能夠得到結(jié)論的一種推理方式，同時(shí)也是在數(shù)學(xué)推理中常常存在的一種推理方式。歸納推理實(shí)際上是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行查詢，找到數(shù)學(xué)內(nèi)容相似點(diǎn)的推理。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力

推理所包含的范圍比較廣泛，無(wú)論從具體某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域中進(jìn)行推理，還是一般性的不同角度進(jìn)行推理分析，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，幾乎都有數(shù)學(xué)推理滲透其中。對(duì)于數(shù)學(xué)推理教學(xué)而言，無(wú)法提出公認(rèn)的環(huán)節(jié)和程序解決所有問(wèn)題，一般情況下，都需要學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)中的各種公式。在構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力框架的過(guò)程中，可以從鼓勵(lì)學(xué)生相互交流，設(shè)計(jì)課堂任務(wù)，營(yíng)造良好氛圍，以及合理地對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)和評(píng)價(jià)等方面進(jìn)行。除此之外，也可以通過(guò)以下兩個(gè)層面，促使學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力得到提升。

（一）設(shè)計(jì)具有創(chuàng)造性的推理任務(wù)

在分析推理類型過(guò)程中，與模仿性推理進(jìn)行比較，讓學(xué)生擁有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)推理更為困難，但這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理念的重要內(nèi)容。創(chuàng)造性任務(wù)是指讓學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題，同時(shí)也要探索問(wèn)題所包含的真實(shí)含義。此處的創(chuàng)造性并非指設(shè)計(jì)的題目如何獨(dú)特和新穎，而是在事先不給予學(xué)生答案，讓學(xué)生獨(dú)立思考和分析，讓學(xué)生不斷探索和理解。部分教師覺(jué)得此種方式更容易操作。瑞典教科書(shū)中，在數(shù)學(xué)教學(xué)中大部分都是死記硬背和推理任務(wù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，超過(guò)79%的學(xué)習(xí)任務(wù)都能夠采用簡(jiǎn)單模仿的方式進(jìn)行解決。在數(shù)學(xué)任務(wù)中，學(xué)生需要進(jìn)入到解決問(wèn)題的策略和步驟，同時(shí)能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，將其運(yùn)用到新的問(wèn)題之中。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容階段，要結(jié)合教材進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生不斷探索提高解決問(wèn)題的能力［4］。例如，在學(xué)習(xí)《平行四邊形的面積》過(guò)程中，在教材中，將鋪草坪作為背景計(jì)算面積，同時(shí)也會(huì)提示學(xué)生如何做輔助線，之后告知學(xué)生平行四邊形與長(zhǎng)方形面積之間存在的聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生善于觀察，最后得出面積公式。通過(guò)教材可以看出，教師需要不斷引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考。思考過(guò)程能夠提升學(xué)生的推理能力，但采用此種方式屬于一種策略模仿。

教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)《圓錐的體積》過(guò)程中，如果教師僅僅使用一個(gè)與它相同等高等底的圓柱，將水或者沙子倒入在圓柱或者圓錐中。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，倒入圓錐中的水，如果倒在圓柱中，需要倒三次，學(xué)生就了解到圓柱的體積是圓錐體積的三倍。這種情況是只關(guān)注到推理結(jié)果。如果教師想讓學(xué)生更加注重推理過(guò)程，就讓學(xué)生猜測(cè)圓柱與圓錐之間的聯(lián)系，學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)圓錐體積情況下，一定會(huì)通過(guò)計(jì)算面積的方式進(jìn)行推理，這種推理類比過(guò)程會(huì)非常有趣。如果學(xué)生在推理過(guò)程中出現(xiàn)差錯(cuò)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生作出正確結(jié)論。學(xué)生在思考過(guò)程中就會(huì)更加具有創(chuàng)造性，不僅能夠在學(xué)習(xí)中進(jìn)行猜測(cè)，同時(shí)也可以在學(xué)習(xí)中進(jìn)行推理，讓猜測(cè)與推理融合，探測(cè)數(shù)學(xué)的結(jié)果［5］。教師為了能夠更好地設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)，需要為學(xué)生提供假設(shè)與猜想，讓學(xué)生對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行分析和討論，同時(shí)也需要讓學(xué)生不斷學(xué)習(xí)、修改和調(diào)動(dòng)，促使學(xué)生經(jīng)歷提出論點(diǎn)，尋找論證依據(jù)，最終得出結(jié)果等過(guò)程。在尋找數(shù)學(xué)答案階段，對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力具有重要意義。一般的布置任務(wù)方式不具有創(chuàng)造性推理概念，無(wú)法有效地提高學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力。創(chuàng)造性推理任務(wù)需要花費(fèi)更多時(shí)間，不僅需要教師從創(chuàng)造性知識(shí)的難度中進(jìn)行分析，同時(shí)還要篩選出數(shù)學(xué)中的各種情景和活動(dòng)，除此之外，教師還需要了解學(xué)生的反饋，對(duì)于學(xué)生提出的問(wèn)題做出指導(dǎo)。教師將課內(nèi)的創(chuàng)造推理逐步向課外延伸，或者將課內(nèi)外學(xué)習(xí)推理進(jìn)行結(jié)合，也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的有效方法。

（二）指導(dǎo)學(xué)生表達(dá)和解釋推理

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)生能夠說(shuō)出正確答案，但是無(wú)法解釋自己的看法和觀點(diǎn)，對(duì)于推理過(guò)程卻無(wú)法提供，這在數(shù)學(xué)教學(xué)中屬于一種普遍現(xiàn)象。例如，在數(shù)學(xué)研究中，分析數(shù)字1、4、7、10為何永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)三的倍數(shù)？有些學(xué)生會(huì)回答是由于數(shù)字規(guī)律是加3，因此無(wú)法促使得到的數(shù)字是3的倍數(shù)，有一類學(xué)生會(huì)舉出例子進(jìn)行回答，將其中的一些數(shù)字作為例子，說(shuō)10不是3的倍數(shù)，還有一些學(xué)生會(huì)提及到數(shù)列，將1作為開(kāi)始，因此，最終得到的數(shù)字不會(huì)出現(xiàn)3的倍數(shù)。完整的解釋是，由于數(shù)字是由1開(kāi)始，因此，所得到的數(shù)字永遠(yuǎn)會(huì)比3的倍數(shù)多1。

在分析過(guò)程中學(xué)生也有自己的想法，但是缺少推理環(huán)節(jié)，因此，學(xué)生的推理思路無(wú)法得到建立。教師在教學(xué)過(guò)程中，需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)答案進(jìn)行描述，要使用一些邏輯語(yǔ)言。例如，因?yàn)椤?，所以……等。讓學(xué)生學(xué)會(huì)為自己的結(jié)果作出解釋，幫助學(xué)生合理地表達(dá)數(shù)學(xué)過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生推理能力是重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)推理是提升學(xué)生素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。雖然大部分研究者已經(jīng)對(duì)推理等進(jìn)行分析和概括，但在小學(xué)數(shù)學(xué)推理過(guò)程中，更需要重視關(guān)注學(xué)生的推理過(guò)程。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理，不要在意推理過(guò)程是否合理，不需要對(duì)創(chuàng)造性推理和模仿推理進(jìn)行嚴(yán)格區(qū)分，最重要的是讓學(xué)生能夠?qū)W會(huì)假設(shè)，讓學(xué)生在假設(shè)之后不斷思考和表達(dá)，這個(gè)過(guò)程就是學(xué)生經(jīng)歷的數(shù)學(xué)推理過(guò)程。例如，在學(xué)習(xí)《三角形面積》過(guò)程中，教師可以讓學(xué)生由猜想開(kāi)始，然后根據(jù)自己所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分析，最終得到結(jié)果?；蛘呤墙處熃o出三角形面積的計(jì)算方法，讓學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行推斷和分析，這種也是推理過(guò)程。數(shù)學(xué)推理過(guò)程包含學(xué)生的推斷和思考，在思考過(guò)程中，既包含創(chuàng)造性的思維能力，同時(shí)也包含批判性思考能力，學(xué)生在不斷判斷和檢驗(yàn)中得到正確論點(diǎn)，通過(guò)在推理中不斷創(chuàng)造，最終得到新的理論。想要促使學(xué)生學(xué)會(huì)推理，并不是讓其在某一節(jié)數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行推理，而是要讓推理過(guò)程貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課堂。對(duì)于教師而言，也需要具備推理的意識(shí)和思維，掌握科學(xué)的推理方式，合理求證，在指導(dǎo)學(xué)生階段，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。

綜上所述，教師在教學(xué)階段，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力具有重要作用，不僅可以促使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。但是，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的過(guò)程中，創(chuàng)新性推理所涵蓋的內(nèi)容較少。因此，需要教師不斷完善。教師通過(guò)設(shè)計(jì)支持創(chuàng)新性推理內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)和推理過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)階段能夠不斷思考，提升思考能力和思維能力。學(xué)生在不斷推理中小心求證，能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)特征。希望文章的分析，能夠?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教師提供一些教學(xué)建議，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力獻(xiàn)方獻(xiàn)策。