幾何直觀——讓數(shù)學(xué)思考“看得見”

■文/方 婷

數(shù)學(xué)家克萊因指出：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握。”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)借助幾何直觀，為學(xué)生創(chuàng)造自主思考、體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)概念的能力。幾何直觀是指利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，主要有兩層含義：一是對直觀圖形賦予代數(shù)意義，即用數(shù)代形；二是對抽象的數(shù)學(xué)問題賦予直觀圖形的意義，即以形助數(shù)。本文探討了教師如何借助幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)概念的能力，以期增強(qiáng)學(xué)生理解算理的能力和解決問題的能力。

一、借助直觀圖，培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)感是學(xué)生理解數(shù)、理解抽象和具象之間關(guān)系的能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出，建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系。數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占了很大的比重，雖然不少學(xué)生在幼兒階段已經(jīng)學(xué)會數(shù)數(shù)，會進(jìn)行簡單的計(jì)算，但大多數(shù)學(xué)生并未形成良好的數(shù)感。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識，如整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和負(fù)數(shù)等的認(rèn)識需要運(yùn)用大量的直觀圖形作為支撐，如數(shù)軸、點(diǎn)子圖、長方形等數(shù)學(xué)圖形，這些直觀的“形”在幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)、比較數(shù)的大小等方面發(fā)揮了巨大的作用。

例如，在教學(xué)“小數(shù)的初步認(rèn)識”時(shí)，教師從生活中的1角出發(fā)，讓學(xué)生思考1角可以怎樣表示。有的學(xué)生認(rèn)為可以用10分表示，還有的學(xué)生認(rèn)為可以用0.1元表示。接著，教師提問：“如果下面圖形（見圖1）都表示1元，你會選擇在哪個(gè)圖來表示0.1元？”大部分學(xué)生選擇了第三個(gè)圖形，并涂滿了一個(gè)格子，以表示0.1元。教師追問：“為什么大家都選擇第3幅圖呢？”讓學(xué)生明白了將格子平均分成10份，每一份就是0.1元。教師借助圖形直觀揭示一位小數(shù)的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生對一位小數(shù)與十分之幾分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系有了充分的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建了對小數(shù)的認(rèn)知，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)。

圖1

二、借助直觀圖，理解算理

算理是計(jì)算的原理和依據(jù)，解決的是“為什么這樣算”的問題；算法是計(jì)算的程序和方法，解決的是“怎樣算”的問題。教師進(jìn)行計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解算理，掌握算法，使運(yùn)算學(xué)習(xí)從技能習(xí)得向思維發(fā)展轉(zhuǎn)變。

（一）直觀感知，算理相融

康德認(rèn)為：“人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束?！崩斫馑憷?、掌握算法是運(yùn)算教學(xué)的目標(biāo)之一，算理是內(nèi)隱的、抽象的。小學(xué)生的思維以形象思維為主，他們難以理解抽象的算理。對此，教師可借助點(diǎn)子圖、長方形圖等直觀圖形，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法。

例如，在蘇教版六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”這節(jié)課中，教師可借助折紙涂色活動讓學(xué)生掌握的計(jì)算方法。具體來說，活動可以分三個(gè)步驟展開。首先，教師要讓學(xué)生明確分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，既要考慮分?jǐn)?shù)乘法的意義，也要考慮分?jǐn)?shù)的意義。根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，教師要讓學(xué)生明確表示是多少；根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，教師要讓學(xué)生明白表示把正方形紙平均分成2份，取其中的1份；表示把紙平均分成4份，取其中的1份。其次，觀察感知，直觀表示。在明晰意義的基礎(chǔ)上，教師可讓學(xué)生先將正方形紙對折，取其中的一半涂色，然后將涂色的一半對折再對折，平均分成四份，取出其中的一份涂色。最后，借助直觀，解釋算理。教師可讓學(xué)生根據(jù)折紙過程（見圖2），說一說算理。學(xué)生通過交流能夠明白：把半張紙平均分成4份，取其中的1份，相當(dāng)于把一張紙平均分成了8份，取其中的1份，所以用2×4的積作為分母，1×1的積作為分子。

圖2

（二）溝通聯(lián)系，感悟算理

在計(jì)算教學(xué)中，由于思考方式不同，同一算式往往會出現(xiàn)不同的計(jì)算方法。教師應(yīng)重視創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生觀察不同算法之間的相同之處，幫助學(xué)生在對比聯(lián)系中理解算理。

例如，在北師大版三下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”中，教材設(shè)計(jì)了三個(gè)層次，第一層次是嘗試用豎式計(jì)算14×12；第二層次是結(jié)合點(diǎn)子圖解釋豎式每一步的含義；第三層次是計(jì)算三道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目，總結(jié)豎式乘法的計(jì)算方法。其中，第二層次最為重要，要求學(xué)生能夠分別指出豎式的兩個(gè)計(jì)算步驟所對應(yīng)的點(diǎn)子圖（見圖3），直觀理解豎式筆算的算理。如果把兩種算法進(jìn)行聯(lián)系，讓學(xué)生觀察其相同之處，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，這些方法看著不一樣，其實(shí)本質(zhì)上都是一樣的，每一種方法都需要把這兩個(gè)兩位數(shù)中的每一位上的數(shù)進(jìn)行相乘，然后把乘得的結(jié)果相加。這種發(fā)現(xiàn)可以幫助學(xué)生掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)不同算法之間的相通之處，促進(jìn)學(xué)生對方法的深度思考，從而使學(xué)生對算理的理解更加深入。

圖3

三、借助直觀圖，解決問題

解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的關(guān)鍵在于正確分析數(shù)量之間的關(guān)系，如果學(xué)生找不到數(shù)量關(guān)系，就難以解決實(shí)際問題。在實(shí)際教學(xué)過程中，部分學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)無從下手，不能根據(jù)文字表達(dá)和分析數(shù)量關(guān)系。對此，教師應(yīng)在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生畫圖、用圖的能力。

（一）學(xué)會畫圖，清晰表達(dá)

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，部分學(xué)生無從下手，這可能是因?yàn)閷W(xué)生讀題時(shí)沒有理解題意，不能快速地找到數(shù)量關(guān)系。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力非常重要。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會畫直觀圖，將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，將抽象的文字變?yōu)榘氤橄蟮膱D形，讓學(xué)生更容易理解題意。

比如，在教學(xué)六上“解決問題的策略”時(shí)，習(xí)題題目為：“張寧和王曉星一共有畫片108張。張寧給王曉星18張后，兩人畫片的張數(shù)同樣多。兩人原來各有多少張？”學(xué)生讀完這道題，面露難色，不知該如何思考。教師提問：“你能嘗試著畫線段圖來表示這道題目的意思嗎？”學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)畫出了線段圖，如圖4所示。

圖4

展示學(xué)生的圖畫后，教師追問：“對于三個(gè)同學(xué)畫的線段圖，你有什么想說的嗎？”并鼓勵(lì)學(xué)生討論交流，讓學(xué)生在交流討論中明確第一幅圖已知條件和問題沒有標(biāo)，第二幅圖兩人畫片的數(shù)量關(guān)系混淆。在討論交流結(jié)束后，教師讓學(xué)生結(jié)合完善后的線段圖表達(dá)題目的意思。在這個(gè)教學(xué)過程中，教師圍繞學(xué)生畫圖的“半成品”資源，引領(lǐng)學(xué)生交流、分析，將“半成品”加工成完整的線段圖，再讓學(xué)生通過語言將線段圖轉(zhuǎn)換成文字表達(dá)，使抽象的問題“可視化”，化難為易、化隱為顯，從而幫助學(xué)生理解題意、分析數(shù)量關(guān)系。

（二）借助圖形，學(xué)會分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。在教學(xué)中，教師要善于培養(yǎng)學(xué)生畫直觀圖表達(dá)問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生根據(jù)直觀圖分析數(shù)量關(guān)系的能力，以幫助學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵。

比如，在前面的數(shù)學(xué)習(xí)題中，如果學(xué)生已經(jīng)完善好線段圖（見圖5），教師就可以讓學(xué)生借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，尋求解決辦法。

圖5

在這一教學(xué)中，學(xué)生借助線段圖，能夠直觀看出“張寧畫片的張數(shù)比王曉星多36張”這一隱含條件，從而想到三種不同的解題方法。由此可見，學(xué)生借助直觀圖，可以明確解題思路，找到題目中的隱含條件，這有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的效率，促進(jìn)學(xué)生分析和解決問題能力的提高。

四、學(xué)會反思，感悟價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》提出：“幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑?！被诖耍處煵粌H要讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用幾何直觀分析問題、解決問題，還要讓學(xué)生深刻認(rèn)識幾何直觀運(yùn)用的重要作用。在教學(xué)中，教師可通過對比、溝通，讓學(xué)生加深認(rèn)識，養(yǎng)成運(yùn)用直觀圖的習(xí)慣。

在教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可讓學(xué)生對比文字和線段圖進(jìn)行交流。例如，在某次教學(xué)結(jié)束后，教師詢問學(xué)生：“請大家回顧剛才的解題過程，你有哪些體會和收獲呢？”有的學(xué)生回答：“剛開始我不會解決，但是通過畫線段圖，能夠很輕松地解決?！庇械膶W(xué)生回答：“線段圖可以幫助我們找到解決問題的方法?！庇械膶W(xué)生回答：“我們今后在遇到不會解決的問題的時(shí)候，可以嘗試畫線段圖，尋求解決思路?！薄瓘膶W(xué)生的答案中可以感受到，畫圖、用圖的方法已經(jīng)在他們的心中扎下了根，他們能夠在之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用圖形解決問題。

總之，幾何直觀具有雙重性，它既是一種思維形式，也是一種解決問題的重要方式。教師借助幾何直觀，可以使抽象的問題形象化、具體化，化繁為簡、化難為易，幫助學(xué)生更好地理解和記憶數(shù)學(xué)概念；可以將計(jì)算中的思維路徑以圖形的手段表現(xiàn)出來，幫助學(xué)生理解算理，促進(jìn)算理與算法的融合；可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單，有助于學(xué)生探索解決問題的思路，推算問題的結(jié)果。