妙用“一題多解”，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)

◎王美環(huán)

(天津市濱海新區(qū)漢沽第二中學(xué)，天津 300480)

一、引 言

新課標(biāo)有言：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法”.

數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不僅是傳授知識(shí),數(shù)學(xué)教學(xué)需要幫助學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).“一題多解”可以幫助培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性,教師若能充分挖掘一題多解的題型，在課堂上多方位開(kāi)拓學(xué)生的解題思路,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)和提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量都具有深刻的意義.

下面，就以幾道求角度的題目為例，談?wù)勥@些題目的多種解題思路.

二、圓中求角度

題目1：已知PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B,∠APB=80°,C為⊙O上一點(diǎn).

(1)如圖①，求∠ACB的大小；

圖①

(2)如圖②，AE為⊙O的直徑，AE與BC相交于點(diǎn)D.若AB=AD，求∠EAC的大小.

圖②

題目分析：本題是圓中關(guān)于角度的計(jì)算，主要考查學(xué)生對(duì)與角度有關(guān)的一些定理及其推論的綜合應(yīng)用的掌握情況，涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、圓周角定理及其推論、三角形內(nèi)角和定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式等.

解法探析：

圖1

第2問(wèn)中，PA,PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A,B,∠APB=80°這些已知條件未變，∠ACB作為弧AB所對(duì)的圓周角這一因素亦未變，所以第1問(wèn)求得的∠ACB=50°在第2問(wèn)中可以用.求∠EAC，需要結(jié)合具體的圖形，可以把∠EAC看作是某個(gè)三角形的內(nèi)角或是內(nèi)角的一部分，利用三角形內(nèi)角和定理及其推論求解；亦可以把∠EAC看作是⊙O的圓周角，利用圓周角定理及其推論求解.而無(wú)論哪種求解思路，基本都分為三步，先求∠BAD，再求∠ABD(或∠ADB)，最后求∠EAC.具體解法如下：

第一步：求∠BAD

方法1：由切線長(zhǎng)定理可得PA=PB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PAB=∠PBA，結(jié)合已知∠APB=80°，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠PAB=50°，由切線的性質(zhì)可得OA⊥AP，從而∠PAB+∠BAD=90°，所以∠BAD=40°.

方法2：如圖2，連接CE，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ACE=90°，即∠ACB+∠BCE=90°，由第1問(wèn)知∠ACB=50°，所以∠BCE=40°，由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠BAE=∠BCE=40°.

圖2

方法3：如圖3，連接BE，由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠AEB=∠ACB，由第1問(wèn)知∠ACB=50°，所以∠AEB=50°，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ABE=90°，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余，可得在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，所以∠BAE=40°.

圖3

第二步：求∠ABD(或∠ADB)

第三步：求∠EAC

方法1：(放在△ACD中求)

由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠ADB=∠DAC+∠ACD，因?yàn)椤螦DB=70°，∠ACB=50°，所以∠EAC=20°.

方法2：(放在△ACE中求)

如圖2，由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠AEC=∠ABC=70°，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ACE=90°，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余，可得在Rt△ACE中，∠EAC+∠AEC=90°，所以∠EAC=20°.

方法3：(放在△ABC中求)

由三角形內(nèi)角和定理，可得在△ABC中，∠BAD+∠DAC+∠ABC+∠ACB=180°，因?yàn)椤螧AD=40°，∠ABD=70°，∠ACB=50°，所以∠EAC=20°.

方法4：(放在△OAC中求)

如圖4，連接OB,OC，由OA=OB，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OBA=∠OAB=40°，因?yàn)椤螦BD=∠OBA+∠OBD=70°，所以∠OBD=30°.由OB=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠OCB=∠OBC=30°，因?yàn)椤螦CB=∠OCA+∠OCB=50°，所以∠OCA=20°.由OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EAC=∠OCA=20°.

圖4

方法5：(放在△ABE中求)

如圖3，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ABE=90°，由∠ABE=∠ABD+∠EBD，∠ABD=70°，可得∠EBD=20°，由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠EAC=∠EBC=20°.

方法6：(放在⊙O中求)

解法總結(jié)：在圓中計(jì)算一個(gè)角度，需要結(jié)合具體的圖形.既可以把需求的角放在某個(gè)三角形中，看作是該三角形的內(nèi)角或是內(nèi)角的一部分，去尋找該角與三角形其他內(nèi)角(或外角)的關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和定理(三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°)及其推論(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、直角三角形的兩個(gè)銳角互余)求解.也可以把需求的角放在圓中，看作是該圓的圓周角，去尋找與該角所對(duì)同一條弧的圓周角或圓心角，利用圓周角定理(一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)圓心角的一半)及其推論(同弧所對(duì)的圓周角相等)求解.

三、平行線中求角度

題目2：如圖③，已知直線a∥b，∠1=110°，則∠2=________.

圖③

題目3：如圖④，AD∥CE，則∠A+∠B+∠C=________.

圖④

題目分析：這兩道題目是平行線中關(guān)于角度的計(jì)算，主要考查學(xué)生對(duì)與角度有關(guān)的一些性質(zhì)、定理及其推論的綜合應(yīng)用的掌握情況，涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、平角及周角的性質(zhì)、平行公理的推論、三角形內(nèi)角和定理等.另外，還考查學(xué)生對(duì)于添加輔助線的掌握，包括過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線、連接兩點(diǎn)、延長(zhǎng)線段等.

解法探析(題目2)：

方法1：(利用平行線的性質(zhì)1)

如圖5，由平角的性質(zhì)，可得∠1+∠3=180°，

圖5

因?yàn)椤?=110°，所以∠3=70°，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，可得∠2=∠3=70°.

方法2：(利用平行線的性質(zhì)2)

如圖5，由平角的性質(zhì)，可得∠1+∠4=180°，

因?yàn)椤?=110°，所以∠4=70°，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得∠2=∠4=70°.

方法3：(利用平行線的性質(zhì)3)

如圖5，由對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠5=∠1，因?yàn)椤?=110°，所以∠5=110°，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得∠2+∠5=180°，從而∠2=70°.

解法探析(題目3)：

方法1：(構(gòu)造同旁內(nèi)角)

如圖6，過(guò)點(diǎn)B向右作BF∥AD，結(jié)合已知AD∥CE，根據(jù)“平行于同一條直線的兩直線互相平行”，可得BF∥CE.根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得∠A+∠ABF=180°，∠CBF+∠C=180°，從而∠A+∠ABF+∠CBF+∠C=360°，即∠A+∠ABC+∠C=360°.

圖6

方法2：(構(gòu)造周角)

如圖7，過(guò)點(diǎn)B向左作BG∥AD，與方法1同理可得BG∥CE.根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得∠A=∠ABG，∠C=∠CBG，由周角的性質(zhì)可得∠ABG+∠ABC+∠CBG=360°，通過(guò)等量代換，可得∠A+∠ABC+∠C=360°.

圖7

方法3：(構(gòu)造平角)

如圖8，過(guò)點(diǎn)B向右作BF∥AD，反向延長(zhǎng)AD，CE分別至點(diǎn)M，N.根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得∠ABF=∠BAM，∠CBF=∠BCN.由平角的性質(zhì)，可得∠BAD+∠BAM=180°，∠BCN+∠BCE=180°，通過(guò)等量代換，可得∠BAD+∠ABF+∠CBF+∠BCE=360°，即∠BAD+∠ABC+∠BCE=360°.

圖8

方法4：(構(gòu)造三角形)

如圖9，連接AC，由已知AD∥CE，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得∠CAD+∠ACE=180°.由三角形內(nèi)角和定理，可得∠BAC+∠B+∠BCA=180°.從而∠CAD+∠BAC+∠B+∠BCA+∠ACE=360°，即∠BAD+∠B+∠BCE=360°.

圖9

方法5：(構(gòu)造三角形)

如圖10，延長(zhǎng)AB與CE的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得∠A+∠H=180°,由平角的性質(zhì)，可得∠ABC+∠HBC=180°，∠BCH+∠BCE=180°,從而∠A+∠ABC+∠BCE+∠H+∠HBC+∠BCH=540°.由三角形內(nèi)角和定理，可得∠H+∠HBC+∠BCH=180°，所以∠A+∠ABC+∠BCE=360°.

圖10

解法總結(jié)：在平行線中計(jì)算角度，主要是根據(jù)平行線的三條性質(zhì)(兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，平角的性質(zhì)(平角等于180°)，周角的性質(zhì)(周角等于360°)，對(duì)頂角的性質(zhì)(對(duì)頂角相等)，三角形內(nèi)角和定理(三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°)等，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將未知角度與已知角度建立起聯(lián)系，進(jìn)而求解.

四、結(jié) 語(yǔ)

利用“一題多解”在習(xí)題中變換解法，既能活躍學(xué)生的思維能力，又能促使學(xué)生更好地創(chuàng)新，還能幫助學(xué)生更好地串聯(lián)知識(shí)和方法.在教學(xué)中教師應(yīng)積極地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，促使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中尋找解類似問(wèn)題的思路、方法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，為學(xué)生的全面發(fā)展和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).