從一題出發(fā)，優(yōu)化例題的有效性教學(xué)策略

◎?qū)O 潔

(南京六合勵(lì)志學(xué)校，江蘇 南京 211500)

一、教學(xué)案例

案例1

1.情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣

區(qū)別于一般的復(fù)習(xí)課，本節(jié)課沒(méi)有設(shè)置幾個(gè)例題來(lái)復(fù)習(xí)章節(jié)知識(shí)點(diǎn).課前準(zhǔn)備好兩張全等的三角形紙片，依托這個(gè)道具，展開(kāi)復(fù)習(xí).

教師：今天，老師和同學(xué)們一起帶著手中的這兩張三角形紙片去旅行，玩轉(zhuǎn)全等三角形.看到這兩張全等的三角形紙片，你能想到哪些與全等三角形相關(guān)的知識(shí)？

學(xué)生1：已知這兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角也相等.(性質(zhì))

學(xué)生2：全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.(判定)

學(xué)生3：若這兩個(gè)三角形能夠完全重合，那么這兩個(gè)三角形叫做全等三角形.(全等的定義)

教學(xué)說(shuō)明：一般的復(fù)習(xí)課，可以以知識(shí)框架圖進(jìn)行展開(kāi)，也可以用一份試卷進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn).基于學(xué)生的整體素質(zhì)較高，采用了兩張紙片展開(kāi)本節(jié)復(fù)習(xí)課，區(qū)別于一般復(fù)習(xí)課的情境創(chuàng)設(shè)，留給了不同層次的學(xué)生更多的思考空間和活動(dòng)空間，從不同層次上激發(fā)了學(xué)生的探知欲望，讓不同的學(xué)生有不同的發(fā)展.伴隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂和核心素養(yǎng)的提出，讓老師更多地認(rèn)識(shí)到學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和個(gè)體的素質(zhì)一樣，會(huì)影響到其一生的發(fā)展.那么什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？它又是怎樣形成的呢？張奠宙教授在一文中寫(xiě)道：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括“真、善、美”三個(gè)維度：(1)理解理性數(shù)學(xué)文明的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性；(2)具備用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力；(3)能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛(ài)數(shù)學(xué).通俗地講，是指人們?cè)谏钪杏龅降膯?wèn)題可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人可以從數(shù)學(xué)的角度看待問(wèn)題，可以用數(shù)學(xué)的思維方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題.在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的課堂上，如何設(shè)置有效的例題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考和熱愛(ài)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，利用有限的課堂時(shí)間，優(yōu)化例題，優(yōu)化課堂的有效性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而形成自主的知識(shí)構(gòu)建能力并打造高效課堂.

2.動(dòng)手操作，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力

教師：請(qǐng)把這兩個(gè)直角三角形紙片組合成新的圖形，并結(jié)合圖形，提出問(wèn)題，并解決.

教學(xué)說(shuō)明：英國(guó)劇作家威廉莎士比亞的一句名言：一千名讀者就有一千個(gè)哈姆雷特.這正是由于不同的人受的教育和知識(shí)文化程度不同，對(duì)外界事物的感知能力也不同，對(duì)事物的看法肯定也是大相徑庭的，所以每個(gè)人讀相同的一本書(shū)都有不同的想法.在數(shù)學(xué)課堂上，相同的紙片，不同層次的學(xué)生也有不同的組合方式、不一樣的問(wèn)題.設(shè)計(jì)組合新圖形的探究活動(dòng)是本節(jié)課的重點(diǎn)，借助“組合成新圖形”，通過(guò)已知條件，讓學(xué)生自己提出問(wèn)題并證明.

3.進(jìn)一步探究，培養(yǎng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，深層美

學(xué)生4：如圖1，已知△ABC和△DEF為直角三角形，且△ABC≌△DFE，求證：△ABF是等腰三角形.

圖1

學(xué)生4簡(jiǎn)述證明過(guò)程，并在證明過(guò)程中，其他學(xué)生提出質(zhì)疑：點(diǎn)A，B，F(xiàn)能否構(gòu)成三角形要事先證明，即B，C，F(xiàn)三點(diǎn)是否共線.

學(xué)生5：如圖2，已知△ABC和△DEF為直角三角形，且△ABC≌△FDE，B，C，E三點(diǎn)共線，求證：AB⊥BD.

圖2

教師：由這幅圖，你還有哪些想法？

學(xué)生6：一線三等角,用這幅圖證明畢達(dá)哥拉斯定理……

學(xué)生7：如圖3，已知△ABC和△DEF為直角三角形，且△ABC≌△DEF，按如圖方式擺放，求證：△CEO≌△FBO.(寫(xiě)出具體的證明過(guò)程)

圖3

教師：由這幅圖，你還能提出哪些問(wèn)題？

學(xué)生8：連接AO，圖中有哪些全等的三角形？AO有哪些特別的意義？

教師：你有哪些方法證明AO是垂直平分線？角平分線？中線？

(學(xué)生上臺(tái)展示不同的證明方法，綜合運(yùn)用全等的性質(zhì)和判定方法，得到AO的特別的意義)

教師：黑板上還有一些圖形我們沒(méi)有研究，你能把它們進(jìn)行分類嗎？分類的依據(jù)又是什么？

學(xué)生9：按照組合圖形的形狀分成三角形、四邊形以及其他圖形.

學(xué)生10：還可以按照?qǐng)D形的變換方式，比如：可以經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折三種變換組合成新的圖形.

教學(xué)說(shuō)明：美國(guó)的著名認(rèn)知教育心理學(xué)家布魯納的認(rèn)知——結(jié)構(gòu)論指出，認(rèn)知學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)探索，從事物和現(xiàn)象的變化中去發(fā)現(xiàn)原理，這是構(gòu)成學(xué)生學(xué)習(xí)的重要條件.布魯納認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式是在一定的學(xué)習(xí)情境中，通過(guò)自己的探索從而獲得問(wèn)題的答案和形成觀念的一種學(xué)習(xí)：即發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)并不只限于那種尋找人類尚未知曉的事物行為，還包括用自己的頭腦親自獲得知識(shí)的一切形式.所以這種學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和發(fā)展學(xué)生探索新情況的態(tài)度.

為了幫助學(xué)生充分利用自己組合成的新圖形，筆者以三個(gè)圖形為例，巧妙引出了在利用全等的性質(zhì)和判定時(shí)，容易出現(xiàn)瑕疵的地方，和一題多解的方法.通過(guò)這樣的分析，不僅培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性和思維的深層次性，更能鼓勵(lì)他們自己提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)有條理地思考和表達(dá)，有意識(shí)地反思和探索，獲得提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思問(wèn)題的一般經(jīng)驗(yàn)方法.

4.運(yùn)用反向思考，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

課后思考：這兩張三角形紙片，滿足什么條件可以得到圖2中的結(jié)論？

案例2

1.情境創(chuàng)設(shè)，關(guān)注學(xué)生已有知識(shí)

已知：如圖4，AE∥BC，∠1=∠2.求證：∠B=∠C.

圖4

教學(xué)說(shuō)明：本題是在學(xué)習(xí)了探索直線平行的條件和平行線的性質(zhì)以及定義與命題的相關(guān)知識(shí)后，遇到的初步幾何證明題.題目本身難度不大，大部分學(xué)生都能規(guī)范作答.

2.從基本圖形出發(fā)，層層深入變換

教學(xué)片段 1

教師：你是怎么想的？你為什么這么想？

(帶著教師的提問(wèn)，學(xué)生開(kāi)始獨(dú)立自主完成思考并解答)

學(xué)生1：要證明角相等，可以先考慮利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等或同位角相等.但是要證明的 ∠B和∠C既不是內(nèi)錯(cuò)角也不是同位角，所以不能選擇平行線的性質(zhì)定理.但是可以借助平行線的性質(zhì)定理以及∠1=∠2，得到∠B=∠C.

教學(xué)說(shuō)明：剛開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何證明題，本題圖形比較簡(jiǎn)單，所以很多學(xué)生都能有以上的思路并規(guī)范作答.通過(guò)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)，從最基本的圖形出發(fā)，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)本節(jié)課相關(guān)知識(shí).理清平行的條件與性質(zhì)，并在解決問(wèn)題過(guò)程中體會(huì)基本圖形.

教學(xué)片段 2

教師：本題可以把已知條件和結(jié)論綜合成三句話，即：AE∥BC，∠1=∠2，∠B=∠C.能否由這三句話和原來(lái)的圖形改編題目呢？

學(xué)生2：把AE∥BC，∠B=∠C作為條件，可以得到結(jié)論∠1=∠2.

學(xué)生3：還可以把∠1=∠2，∠B=∠C作為條件，可以得到結(jié)論AE∥BC.

教師：同學(xué)們提出來(lái)的改編的新題目都可以證明，思維非?；钴S，互換條件和結(jié)論，可以得到新的問(wèn)題.

教學(xué)說(shuō)明：英國(guó)劇作家威廉莎士比亞的一句名言：一千名讀者就有一千個(gè)哈姆雷特.這正是學(xué)生認(rèn)知水平的差異性，對(duì)外界事物的感知能力不同，對(duì)事物的看法肯定也不同，所以每個(gè)人讀相同的一本書(shū)都有不同的想法.在數(shù)學(xué)課堂上，相同的圖形，不一樣的條件，不同層次的學(xué)生也有不同的組合方式、并提出不一樣的問(wèn)題.設(shè)計(jì)組合新問(wèn)題的探究活動(dòng)，是學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化基本圖形的過(guò)程，借助“組合成新圖形”，通過(guò)已知條件，讓學(xué)生自己提出問(wèn)題并證明.

教學(xué)片段 3

教師：結(jié)合本題的圖形、條件和結(jié)論，通過(guò)小組合作探究，你還能如何改編題目？

(先給學(xué)生5分鐘獨(dú)立思考的時(shí)間，再讓4個(gè)學(xué)生小組合作探究，并把小組討論的結(jié)果展示，共同探討)

學(xué)生4：我們小組是這樣想的：如圖5，可以把原來(lái)?xiàng)l件中∠B與∠C數(shù)量相等，變成兩個(gè)角的數(shù)量之和為特殊的90°，那么結(jié)論相應(yīng)的是不是也會(huì)有線與線之間的位置關(guān)系——垂直？已知：如圖5，∠B+∠C=90°，AE∥BC，求證：AC⊥BD.

圖5

學(xué)生5：由題目中∠1=∠2可以得到AE是∠DAC的平分線，所以在此基礎(chǔ)上我們添加了AG和BF分別平分∠DAE和∠ABC.已知：如圖6，AE∥BC，AG和BF分別平分∠DAE和∠ABC，求證：AG∥BF.

圖6

學(xué)生5的話音剛落，就有另外兩組提出：和他們小組探討的思路如出一轍，只不過(guò)把角平分線的位置換了而已.已知：如圖7，AE∥BC，∠1=∠2，AG平分∠2，CF平分∠ACB，求證：AG∥CF.

圖7

學(xué)生6：我們組正好是結(jié)合前面幾組的一些想法，把它們結(jié)合在一起，既有新的角平分線，又有兩條線之間的位置關(guān)系，最后得到結(jié)論還是角相等.已知：如圖8，AE∥BC，∠1=∠2，AE⊥AF，∠B=∠C，求證：∠3=∠4.

學(xué)生7：和前面這組的部分條件和結(jié)論相反.已知：還是如圖8，AE∥BC，AE和BC被BD所截，連接AC.AF平分∠BAC，AE平分∠DAC.求證：AE⊥AF.

圖8

教師：請(qǐng)把每組提出的新的圖形畫(huà)出來(lái)并進(jìn)行證明.

教學(xué)說(shuō)明：為了幫助學(xué)生充分利用自己組合成的新圖形，筆者以三個(gè)圖形為例，巧妙引出了在利用全等的性質(zhì)和判定時(shí)，題型是多變的.通過(guò)這樣的分析，不僅培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性和思維的深層次性，更能鼓勵(lì)他們自己提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)有條理地思考和表達(dá)，有意識(shí)地反思和探索，獲得提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思問(wèn)題的一般經(jīng)驗(yàn)方法.

二、教學(xué)反思

卜以樓老師在《生長(zhǎng)數(shù)學(xué)》一書(shū)中指出，教師不僅要“教教材”，而且還提倡根據(jù)學(xué)情、教情開(kāi)發(fā)教材，創(chuàng)造性使用教材.那么如何在課堂上優(yōu)化例題的有效教學(xué)，達(dá)到“例題在生長(zhǎng)、數(shù)學(xué)在生長(zhǎng)、學(xué)生在生長(zhǎng)”，可以從這樣的幾個(gè)方面去嘗試.

1.同一個(gè)例題，不同的個(gè)體，給予不同的發(fā)展空間，尊重每一個(gè)個(gè)體

班級(jí)48名孩子，就像48名讀者一樣，不同的性格、思維方式，作為教師要正視學(xué)生個(gè)體的差異，順應(yīng)學(xué)生的正向發(fā)展，面向全體學(xué)生，用同一個(gè)例題，使每個(gè)學(xué)生都積極主動(dòng)地投入到課堂學(xué)習(xí)中去.“48名學(xué)生都帶著兩張紙片去旅行”，用同一個(gè)基本圖形，使每個(gè)學(xué)生都積極主動(dòng)地投入到課堂學(xué)習(xí)中去，既能讓學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱的孩子接受和消化，還能使優(yōu)秀孩子吃得飽，并能不斷全面超前發(fā)展.本節(jié)課留足學(xué)生自由發(fā)展的空間，讓學(xué)生充分思考，給學(xué)生一片自由的天地，面對(duì)不同層次學(xué)生，給予不同的發(fā)展空間，尊重每一個(gè)個(gè)體.

2.同一個(gè)例題，挖掘問(wèn)題的深度和有效性，讓思維得到更大的提升

數(shù)學(xué)課堂的靈魂是問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，學(xué)生的思維才有方向；問(wèn)題是思維的源泉，是激發(fā)學(xué)生興趣、引起學(xué)生的好奇心和求知欲望的載體.蘇霍姆林斯基曾經(jīng)指出，如果一個(gè)孩子提出的問(wèn)題越多，那么孩子在童年早期認(rèn)識(shí)周圍的東西也就愈多，在學(xué)校中越聰明，眼睛愈明，記憶力愈敏銳.要培養(yǎng)孩子的智力，那你就得教給他思考.教師的“問(wèn)”“怎么問(wèn)”不僅可以解決教學(xué)中某一個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題，而且能使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和思考問(wèn)題的方法，促進(jìn)師生間、生生間的情感交流.通過(guò)“如何問(wèn)”“問(wèn)什么”讓有效性得到落實(shí).從教師的角度和學(xué)生的角度，如何優(yōu)化例題問(wèn)題串，把問(wèn)題還給學(xué)生，讓例題在學(xué)生手中發(fā)揮最大作用.

3.開(kāi)展操作性的例題數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科價(jià)值

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，要通過(guò)學(xué)科教學(xué)和綜合實(shí)踐活動(dòng)課程來(lái)具體實(shí)施.《生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張》一書(shū)中提出：學(xué)科的根本價(jià)值在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維、形成習(xí)慣、積累素養(yǎng).也就是將學(xué)習(xí)中的思維過(guò)程、方法策略內(nèi)化為學(xué)生走向社會(huì)解決具體問(wèn)題的基本技能、基本思想、基本態(tài)度、基本經(jīng)驗(yàn)和基本素質(zhì).課堂上滿堂灌的方式已經(jīng)被淘汰，取而代之的是新鮮的學(xué)生個(gè)體為主體的課堂，本節(jié)課的例題——“我給你兩張紙片，你還我數(shù)學(xué)知識(shí)”，這也許就是操作活動(dòng)帶給學(xué)生的無(wú)限空間，在操作中感知數(shù)學(xué)知識(shí)，在操作中建構(gòu)基本模型，在操作中提升解題能力，在操作中總結(jié)經(jīng)驗(yàn).