弧形類蜂窩芯層面外等效力學(xué)性能研究

殷圣地，湯雙清，李響*,,2，仇琨，段宇，陳濤

弧形類蜂窩芯層面外等效力學(xué)性能研究

殷圣地1，湯雙清1，李響*,1,2，仇琨1，段宇1，陳濤1

（1.三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院，湖北 宜昌 443002； 2.石墨增材制造技術(shù)與裝備湖北省工程研究中心（三峽大學(xué)），湖北 宜昌 443002）

為提高蜂窩結(jié)構(gòu)面外承載能力，從創(chuàng)新設(shè)計角度，提出一種弧形類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，并對其面外力學(xué)性能進行研究。首先，采用胞元理論對弧形類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)進行簡化，運用材料力學(xué)的知識并結(jié)合能量法，推導(dǎo)其面外等效模量解析表達式。然后，將弧形類蜂窩芯層結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)蜂窩芯層結(jié)構(gòu)進行對比，在相同等效密度下，通過具體數(shù)據(jù)驗算，發(fā)現(xiàn)弧形類蜂窩芯層的面外剪切模量有顯著地提高。同時，推導(dǎo)出雙壁厚弧形類蜂窩面外等效模量表達式。最后，運用數(shù)值模擬分析，得到該結(jié)構(gòu)的仿真值，經(jīng)過理論值與仿真值對比，發(fā)現(xiàn)兩者相對誤差在10%之內(nèi)，證明推導(dǎo)出的面外等效模量理論公式的準(zhǔn)確性。

弧形類蜂窩夾芯；面外等效模量；能量法；數(shù)值模擬

夾層結(jié)構(gòu)材料具有輕質(zhì)高強的優(yōu)點，在航空航天、船舶等領(lǐng)域中有著極其重要的應(yīng)用價值。隨著國內(nèi)外學(xué)者的不斷探索，近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者致力于新型蜂窩結(jié)構(gòu)究，并取得了較大的進展，廣泛地應(yīng)用于工程。

隨著工程技術(shù)不斷地提高，傳統(tǒng)蜂窩逐漸不能滿足部分特殊工況的要求，研發(fā)新型蜂窩結(jié)構(gòu)成為熱點。經(jīng)國內(nèi)外研究學(xué)者不斷探索，提出了許多新型蜂窩結(jié)構(gòu)[1-4]。Simone DelBroccolo等[1]將內(nèi)凹六邊形和正六邊形這兩種不同的蜂窩結(jié)構(gòu)進行交替排布，得到一種混合零泊松比蜂窩陣列結(jié)構(gòu)。并通過壓縮實驗可知該結(jié)構(gòu)在面內(nèi)剛度不變的前提下，其抗壓強度提高了2倍。即在不降低結(jié)構(gòu)變形能力的前提下，提高了結(jié)構(gòu)的承載能力。JosephN Grima等[2]在原有六邊形蜂窩的基礎(chǔ)上對其進行改進，得到了一種拉脹六角蜂窩結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)在面外的楊氏模量要遠大于水平方向，并且可以產(chǎn)生具有圓柱形曲率的彎曲變形。王瑋[3]通過遺傳算法對八邊形蜂窩進行改進，得到一種新型八邊形蜂窩，并對其推導(dǎo)等效力學(xué)性能，通過仿真驗證該結(jié)構(gòu)對比原結(jié)構(gòu)在一定程度上減小了應(yīng)力的集中。蔣偉[4]等人通過對蜂窩進行改進，獲得一種負泊松比的蜂窩結(jié)構(gòu)，得到一種環(huán)形蜂窩，并推導(dǎo)出該結(jié)構(gòu)等效彈性模量。

目前，對新型蜂窩芯體的力學(xué)性能研究最有效的方法是理論分析、實驗測試和數(shù)值模擬相結(jié)合以得到正確的等效力學(xué)性能參數(shù)公式[5-18]。沈建邦等[5]在環(huán)形蜂窩[4]結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出了一種具有負泊松比效應(yīng)的可變弧角曲邊內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)，利用能量法給出了曲邊內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)橫縱向等效彈性模量和等效泊松比的解析公式，該結(jié)構(gòu)在不同的幾何尺寸的條件下，得到其等效彈性模量隨著尺寸變化而變化的結(jié)論。李響等[6-8]通過六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的基本單元的優(yōu)化排列，得到類蜂窩結(jié)構(gòu)，對該結(jié)構(gòu)及夾層結(jié)構(gòu)進行力學(xué)性能進行推導(dǎo)與特性分析及優(yōu)化，通過數(shù)值模擬對理論值進行驗證，驗證具有可靠性。周星馳等[9]從應(yīng)力與應(yīng)變的角度并運用能量法對圓形胞元蜂窩芯層面外剪切模量進行公式推導(dǎo)，結(jié)合實驗與仿真驗證其面外剪切模量公式正確性。吳建均[10]等人基于材料力學(xué)中材料的連續(xù)性、小變形等基本假設(shè)，推導(dǎo)出泡沫紋復(fù)合夾芯結(jié)構(gòu)的等效彈性常數(shù)。對于面外等效剪切模量，kelsey等[11]利用單位力法和單位位移法求解六邊形蜂窩芯子的上限與下限。Gibson等[12]給出了等壁厚蜂窩結(jié)構(gòu)面外參數(shù)。趙劍等[13]則通過最小勢能原理與最小余能原理，得到與kelsey結(jié)果同樣的上下限。富明慧等[14]則在上述基礎(chǔ)上，通過位移邊界條件求得的上限與kelsey結(jié)果下限一致，同樣給出了等壁厚與雙壁厚六邊形蜂窩芯層面外剪切模量的確定值。王梁等[15]通過有限元軟件ABAQUS分析不同的幾何尺寸的X型蜂窩芯層，并得到該結(jié)構(gòu)受外夾角的影響最大，蜂窩芯層等效彈性模量與泊松比效應(yīng)模量隨著外夾角增大而增大。齊佳旗等[16]在低速載荷下沖擊CFRP蒙皮－鋁蜂窩夾層結(jié)構(gòu)，使用有限元軟件ABAQUS對該結(jié)構(gòu)進行仿真，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果相似，驗證其仿真具有準(zhǔn)確性。

經(jīng)過上述文獻，可得國內(nèi)外研究學(xué)者為蜂窩芯層結(jié)構(gòu)做出了重大的貢獻，為后來者提供了多種研究方法，但對于圓弧形蜂窩力學(xué)性能的研究卻是極少，本文通過創(chuàng)新構(gòu)型的角度，構(gòu)建弧形類蜂窩芯層結(jié)構(gòu)，基于能量法從應(yīng)變的角度推導(dǎo)該結(jié)構(gòu)面外等效模量，利用數(shù)值模擬驗證面外等效模量理論公式的正確性，對弧形類窩芯層結(jié)構(gòu)研究提供理論基礎(chǔ)。

1 弧形類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)設(shè)計

夾層結(jié)構(gòu)分別由上下面板、蜂窩夾芯組成。夾芯在該結(jié)構(gòu)中主要用于承載剪切力，能夠較好地抵抗橫向剪切力引起的變形。本文從創(chuàng)新構(gòu)型角度出發(fā)構(gòu)建弧形類蜂窩夾層結(jié)構(gòu)。通過弧線單元與直線單元的優(yōu)化排列，得出圖1所示結(jié)構(gòu)。為了進一步深入研究，該結(jié)構(gòu)單胞的幾何參數(shù)進行表示為：四個邊長長度為，四個弧形的外徑、內(nèi)徑分別為、，四個弧長的的圓心角都為1，邊長與水平的角度為2，垂直于坐標(biāo)系，平面的新型蜂窩的厚度為，如圖2所示。

圖1 弧形類蜂窩芯層結(jié)構(gòu)

圖2 弧形類蜂窩芯層尺寸參數(shù)

2 弧形類蜂窩夾芯面外力學(xué)特性分析

2.1 等壁厚弧形類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面外等效彈性模量

由于蜂窩芯層結(jié)構(gòu)作為多孔結(jié)構(gòu)的典型代表，是一種不連續(xù)、不均質(zhì)的面板。為了進一步研究蜂窩芯層結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，根據(jù)胞元理論將弧形類蜂窩芯層簡化，推導(dǎo)等效模量理論公式，蜂窩芯層結(jié)構(gòu)等效模量主要分為面外等效模量和面內(nèi)等效模量。相比于面內(nèi)等效模量，面外等效模量遠大于面內(nèi)等效模量，因此可得，蜂窩芯層結(jié)構(gòu)面外抗載荷能力大于蜂窩芯層面內(nèi)抗載荷能力。為深入研究芯體結(jié)構(gòu)功能應(yīng)用，建立蜂窩芯體的面外等效模量模型是必要的。根據(jù)胞元理論將弧形類蜂窩芯層結(jié)構(gòu)進行簡化，得到基本單元體（如圖3所示），為了有效研究弧形類蜂窩結(jié)構(gòu)，取2為π/4。在基本單元體上施加縱向載荷（如圖4所示）?？赏茖?dǎo)單元體的蜂窩壁應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：σ為基本單元體上的應(yīng)力，GPa；ε為基本單元體的應(yīng)變；為蜂窩壁單位長度上承載的載荷，N；為基本單元體胞壁厚度，mm；E為弧形類蜂窩基本單元體材料的彈性模量，GPa。

弧形類蜂窩蜂窩芯體單元體承受的總載荷為：

式中：為常數(shù)，＝90°，為四個邊長長度，mm；為四個弧形外徑，mm；為四個弧形內(nèi)徑，mm；1為四個弧長的的圓心角，rad。

將基本單元體等效為均質(zhì)體，即基本單元體等效為具有均勻性、連續(xù)性的面板。則可推導(dǎo)出，在基本單元體總載荷作用下，均質(zhì)體的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：εcz為均質(zhì)體的應(yīng)變；S為均質(zhì)體的面積，mm2；Fcz為均質(zhì)體的彈性模量，GPa；F為均質(zhì)體上的總載荷，N。

圖4 單壁厚芯體的基本單元體面外縱向載荷

根據(jù)前文所述，基本單元體等效為均質(zhì)體，兩者的應(yīng)變相等，因此可得：

故可推導(dǎo)得：

2.2 等壁厚弧形類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面外等效剪切模量

當(dāng)弧形類蜂窩夾芯受到面外剪切力時，剪切力τ以剪流的形式在基本單元體胞壁上進行傳遞。假定單元體胞壁上剪切力的作用方向為軸，面外剪切力分布均勻，可推導(dǎo)基本單元體的方向上的總載荷為：

如圖5所示，由于單元體關(guān)于、軸對稱，在剪切力的作用下，蜂窩壁單位體積的應(yīng)變能為：

式中：uc為單元體的單位體積應(yīng)變能，J/mm3；Gc為基本單元體材料的剪切模量，GPa。

可推導(dǎo)出基本單元體的應(yīng)變能為：

式中：為常數(shù)，＝180°；U為基本單元體的應(yīng)變，J；v為基本單元體體積，mm3；h為基本單元體的高度，mm。

根據(jù)上文所述，基本單元體承受面外剪切力與面板上的作用力相等，即Q＝Q，通過已知的條件，可推導(dǎo)出，在橫向剪切力的作用下，均質(zhì)體的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：τ為均質(zhì)體上的剪切力，GPa；Q為均質(zhì)體上的總剪切力，N。

則均質(zhì)體在橫向剪切力的作用下，應(yīng)變能為：

式中：U為均質(zhì)體上的應(yīng)變能，J；G為均質(zhì)體的剪切模量，GPa；τ為均質(zhì)體上的切應(yīng)力，GPa。

根據(jù)前文可得U＝U，結(jié)合述式（9）和式（11），可得均質(zhì)體的等效剪切模量為：

3 算例分析與對比

通過已推導(dǎo)理論公式，研究同等密度下，弧形類蜂窩芯體與傳統(tǒng)蜂窩芯體力學(xué)性能，需要推導(dǎo)出兩者基本單元體的密度。根據(jù)前文，可得基本單元體的體積為：

基本單元體的質(zhì)量為：

基本單元體等效模型的體積為：

基本單元體等效模型的質(zhì)量為：

式中：2為基本單元體等效模型材料的密度，g/mm3。

根據(jù)等效前后質(zhì)量守恒原理，可得1＝2，因此可得：

取1＝60°、2＝45°、＝，可將式（12）簡化為：

將具體數(shù)據(jù)代入公式，經(jīng)過推導(dǎo)可得，在相同的密度條件下，弧形類蜂窩芯層面外剪切模量有顯著的提高，對于抵抗受外剪切力，弧形類蜂窩芯層結(jié)構(gòu)具有更優(yōu)良的性能。

4 雙壁厚弧形類蜂窩芯層等效模量

4.1 雙壁厚弧形類蜂窩芯層等效彈性模量

傳統(tǒng)的蜂窩芯層主要以等壁厚與雙壁厚兩種不同的結(jié)構(gòu)應(yīng)用于工程。為了推進應(yīng)用進程，推導(dǎo)雙壁厚弧形類蜂窩芯層等效彈性模量。該結(jié)構(gòu)單胞如圖6所示，簡化結(jié)構(gòu)，可得基本單元體如圖7所示。施加軸方向載荷，如圖8所示，由此可得雙壁厚弧形類蜂窩芯層總載荷為：

弧形類蜂窩芯層基本單元體材料的彈性模量為E，可推導(dǎo)出弧形類蜂窩芯層基本單元體的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

圖6 雙壁厚弧形類蜂窩芯層單胞尺寸參數(shù)

圖7 單壁厚芯體的基本單元體

圖8 單壁厚芯體的基本單元體面外縱向載荷

均質(zhì)體的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

由于基本單元體與均質(zhì)體的應(yīng)變相等，即ε＝ε，結(jié)合以上公式，可得雙壁厚新型蜂窩芯層等效彈性模量為：

4.2 雙壁厚弧形類蜂窩芯層等效剪切模量

對于雙壁厚弧形類蜂窩芯層等效剪切模量的推導(dǎo)，由于弧形類蜂窩芯層關(guān)于、軸對稱，可得其剪流的情況，如圖9所示，當(dāng)軸受力時，雙壁厚弧形類蜂窩芯層受到的總載荷為：

基本單元體的單位體積應(yīng)變能為：

基本單元體的應(yīng)變能為：

均質(zhì)體在橫向剪切力的作用下應(yīng)變能為：

由于基本單元體與等效均質(zhì)體的應(yīng)變能相等，即U＝U，結(jié)合以上公式，可得雙壁厚弧形類蜂窩芯層等效剪切模量為：

5 仿真驗證

采用ABAQUS軟件對該結(jié)構(gòu)面外等效模量理論公式進行驗證，上下面板、蜂窩芯層均采用solid實體單元，弧形類蜂窩芯層的材料參數(shù)為：密度＝2.78×1012g/m3，彈性模量＝71 GPa，泊松比＝0.33。將上下面板表面與芯層上下表面綁定，對上剛性面板施加、方向作用力均為0.1 MPa，＝0.3 mm，＝＝6 mm，1＝60°，2＝45°。

通過ABAQUS對弧形類蜂窩芯層面外等效模量進行數(shù)值計算，如圖10、圖11所示，可得其在仿真計算下的面外等效模量。

圖10 等壁厚弧形類蜂窩芯層應(yīng)變云圖

圖11 雙壁厚弧形類蜂窩芯層應(yīng)變云圖

仿真值與理論值之間的相對誤差在10%以內(nèi)，如表1和表2所示。從而可得，弧形類蜂窩芯層面外等效力學(xué)模量的理論公式具有可靠性，可作為工程應(yīng)用的理論依據(jù)。同時，將雙壁厚蜂窩芯層結(jié)構(gòu)與單壁厚蜂窩芯層結(jié)構(gòu)進行對比，發(fā)現(xiàn)雙壁厚蜂窩芯層結(jié)構(gòu)承載能力有顯著的提升。

表1 等壁厚新型蜂窩芯層結(jié)構(gòu)的相對誤差

表2 雙壁厚新型蜂窩芯層結(jié)構(gòu)的相對誤差

6 結(jié)論

（1）由于蜂窩芯層結(jié)構(gòu)在實際應(yīng)用中存在等壁厚夾芯結(jié)構(gòu)與雙壁厚夾芯結(jié)構(gòu)，筆者使用經(jīng)典胞元理論及材料力學(xué)的知識對兩種不同壁厚新型蜂窩芯層結(jié)構(gòu)面外等效模量進行推導(dǎo)；

（2）通過閱讀國內(nèi)外研究學(xué)者對傳統(tǒng)蜂窩芯層結(jié)構(gòu)的研究成果文獻，獲得傳統(tǒng)蜂窩芯層結(jié)構(gòu)面外等效模量公式，在相同密度下，對比兩者的面外剪切模量，可得到弧形類蜂窩芯體面外抗剪切能力大于傳統(tǒng)蜂窩芯體，可用于剪切力較大的特殊工況；

（3）運用有限元商業(yè)軟件ABAQUS，對比弧形類蜂窩芯層結(jié)構(gòu)的面外等效模量公式，理論值與仿真值之間的誤差在10%以內(nèi)，從而可得，經(jīng)過經(jīng)典胞元理論及材料力學(xué)知識對兩種不同壁厚新型蜂窩芯層結(jié)構(gòu)面外等效模量表達解析式具有準(zhǔn)確性，可應(yīng)用于實際工程。

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Equivalent Mechanical Properties Outside the Layer of Arc-shaped Honeycomb Core

YIN Shengdi1，TANG Shuangqing1，LI Xiang1,2，QIU Kun1，DUAN Yu1，CHEN Tao1

( 1.College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang443002, China; 2.Hubei Engineering Research Center for Graphite Additive Manufacturing Technology and Equipment (China Three Gorges University), Yichang 443002, China )

In order to improve the out-of-plane bearing capacity of the honeycomb structure, an arc-shaped honeycomb-like sandwich structure was proposed from the perspective of innovative design, and its out-of-plane mechanical properties were studied. Firstly, the arc-shaped honeycomb-like sandwich structure is simplified by using the cell theory, and the analytical expression of its out-of-plane equivalent modulus is deduced by using the knowledge of material mechanics and the energy methods. Then, the arc-shaped honeycomb-like core layer structure is compared with the traditional honeycomb-like core layer structure. Under the same equivalent density, it is found that the out-of-plane shear modulus of the arc-shaped honeycomb-like core layer is significantly improved through specific data verification. At the same time, the out-of-plane equivalent modulus expression of the double-wall-thickness arc-like honeycomb is derived. Finally, using numerical simulation analysis, the simulation value of the structure is obtained. After comparing the theoretical value and the simulation value, it is found that the relative error between the two is within 10%, which proves the accuracy of the derived theoretical formula of the out-of-plane equivalent modulus.

arc-shaped honeycomb sandwich；out-of-plane equivalent mechanical model；energy method；numerical simulation

O342

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2022.11.001

1006-0316 (2022) 11-0001-08

2022-02-28

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金（51305232）

殷圣地（1997－），男，湖北黃梅人，碩士研究生，主要研究方向為輕量化技術(shù)，Email：1572429532@qq.com。*通訊作者：李響（1979－），男，湖北黃梅人，博士，副教授，主要研究方向為輕量化技術(shù)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計、數(shù)值模擬技術(shù)、結(jié)構(gòu)強度與可靠性等，Email：lixiangcfy@ctgu.edu.cn。