立足課本 滲透素養(yǎng)
——2021年安徽省數(shù)學(xué)中考第23題簡析

劉清清

(上派初級中學(xué)，安徽 合肥 231200)

每逢中考季，關(guān)于中考分析的文章處處可見，從文章的篇數(shù)反映出中考試題的無窮魅力，而不同的寫作角度折射出中考試題立意綿長，2021年安徽省數(shù)學(xué)中考的試題亦是如此.

1 試題回顧

例1如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD，點E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB.作CF∥AD交線段AE于點F，聯(lián)結(jié)BF.

圖1 圖2

1)求證：△ABF≌△EAD；

2)若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED，求BE的長；

(2021年安徽省數(shù)學(xué)中考試題第23題)

2 試題簡析

從圖形的復(fù)雜程度來看，該題的圖形可謂簡潔清晰，沒有“盤根錯節(jié)”之感，更沒有讓人眼花繚亂的題干信息.考生審題、讀圖后的感受可謂清清爽爽，命題者力圖讓考生在感官上進(jìn)行舒壓，可見用心良苦和至簡之心，展現(xiàn)了命題者的人文關(guān)懷和命題溫度.

2.1 追根溯源

2021年3月18日，在安徽合肥舉行的九年級復(fù)習(xí)研討吹風(fēng)會上就明確提出，復(fù)習(xí)時要緊扣課本，夯實基礎(chǔ)，在課本的基礎(chǔ)上適時、適當(dāng)、適度地進(jìn)行延拓與發(fā)散，不能忽視課本的本源性.“丟棄課本，一味追求題目的訓(xùn)練是不可取的，是錯誤的走向”，最終引導(dǎo)學(xué)生走出復(fù)習(xí)的誤區(qū).因此，此次吹風(fēng)會讓一線教師找到了復(fù)習(xí)的方向和最佳的復(fù)習(xí)教材——課本.那么，例1的“根”扎在課本何處呢？又“長”到哪里呢？

2.2 扎根課本

首先對題干信息進(jìn)行簡單地分析，便可迅速地得到△ABE和△DEC均是等腰三角形，且這個圖形在滬科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊學(xué)習(xí)等腰三角形時可謂“司空見慣”.習(xí)題15.3中的第12題是這樣描述的：

如圖3，點C是線段AB上一點，△ACM和△CBN是等邊三角形，AN交CM于點E，BM交CN于點F.求證：

圖3

1)CE=CF;

2)EF∥AB.

該題的已知條件“等邊三角形”有點“完美”.正是因為過于“完美”的已知，銳減了本題的難度，縮短了思考的進(jìn)程，降低了思維的維度.然而，這正是圖1能夠在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改編的前提.

對比圖1與圖3，圖1可以輕易地得到兩個等腰三角形，圖3是已知兩個等邊三角形，而等邊三角形是等腰三角形的特殊情形.現(xiàn)在，我們探析圖3，由于△ACM和△CBN是等邊三角形，因此AM∥CN，CM∥BN.而在圖1中，題目中用“∠ABC=∠BCD，且AE∥CD，DE∥AB.作CF∥AD”替代了“等邊三角形”這個條件.二者相比較，命題者在拔高課本基本圖形的同時進(jìn)行逆向思考，將課本題目的已知條件進(jìn)行適時變換，將圖形進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，體現(xiàn)了“扎根課本，依托課本”的初心.回到課本的圖3，通過日常的教學(xué)研討可以發(fā)現(xiàn)，教師在講解本題時，通過簡單講解和拓展，將題目變式為“如圖3，△ACM和△CBN是等腰三角形，且AM∥CN，求證：AN=BM”.這樣變式的目的有3個：一是為了鞏固剛剛學(xué)習(xí)的等腰三角形；二是回顧平行線的性質(zhì)；三是全等三角形的應(yīng)用.無論是變式還是圖1，課本中的圖3就是原始圖形；無論是變式還是圖1，其解決辦法均要用到全等三角形.如此綜合來看，三者看似千絲萬縷，最終殊途同歸，再次說明了命題者“緊扣課本”的初衷.

2.3 回望往昔

上面一段主要簡析了例1的圖形在課本中的原型.從考題的解答形式，看是否有往年中考題的身影呢？首先從例1的論證(求解)形式來看，第1)小題是證明三角形全等，第2)小題是求線段的長度，第3)小題是求線段的比值.翻閱安徽省歷年數(shù)學(xué)中考真題，2015年安徽省數(shù)學(xué)中考第23題是這樣描述的：

例2如圖4，點A,B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點.

圖4 圖5 圖6

1)求證：△PCE≌△EDQ.

(2015年安徽省數(shù)學(xué)中考試題第23題)

從設(shè)問的結(jié)構(gòu)上看，例1和例2有極大的相似之處，二者的第1)小題均是證明全等三角形，第2)小題或求線段的長度或求證等邊三角形，第3)小題是線段的比值.極度相似的設(shè)問給予學(xué)生記憶上的“熟悉感”，消除緊張心理.再從二者的證明方法上看，也有共同之處，特別是第3)小題的解決方法上，例1和例2均是設(shè)某條線段的長度為單位1，從而由前兩問得到啟發(fā)，計算出線段的比值.

就第23題而言，2021年的題目勝于2015年的.首先，從圖形的簡潔性上看，2015年的圖猶如迷宮，線段的走向也是錯綜復(fù)雜，讓考生“望而生畏”.在緊張的環(huán)境中，困住考生的不是試題的難度，而是視覺的沖擊造就了消極的心理暗示.2021年的考題，圖形簡潔，圖形的輪廓了然于心，這無疑給學(xué)生傳達(dá)出積極的心理暗號——靜心答題，必有所成.接著從試題的已知條件上看，二者均是在等腰三角形的大背景下進(jìn)行改編，而且二者均加入了角度相等或角的度數(shù)，讓試題的內(nèi)容更加豐富和多元.從這個層面上來看，二者不分伯仲.最后，從第3)小題的解題過程來看，例1的解題之路更為艱難.因為僅僅設(shè)CE=1是不夠的，還需要假設(shè)BE=x,DC=a,先根據(jù)△MAB≌△MDG，再根據(jù)△FAB∽△FEG得到關(guān)于x的一元二次方程，最后求解x即可.從上面的簡述過程可以看出，考生在解答時需要考慮3個變量，還要關(guān)注變量之間的數(shù)量關(guān)系，難度高于例2.因此，例1是例2的再提升、再創(chuàng)造.

2.4 變式拓展

3 教學(xué)啟示

如果說中考試題的解法分析是發(fā)散思維、開拓思考的路徑，那么中考試題帶來的教學(xué)啟示就是讓思維有發(fā)散的源頭，讓開拓路徑的基礎(chǔ)更為堅實.例1又蘊(yùn)涵著怎樣的教學(xué)啟示呢？

3.1 知識跨度，關(guān)注整體結(jié)構(gòu)

例1的題干信息中有4個已知條件，其中3個都是關(guān)于平行線的.以滬科版《數(shù)學(xué)》為例，平行線的知識屬于七年級下冊內(nèi)容，由已知信息導(dǎo)出的等腰三角形和證明全等三角形是八年級上冊的內(nèi)容，到根據(jù)需要證明平行四邊形(八年級下冊內(nèi)容)，從七年級到八年級的橫向跨度，顯示出關(guān)注課本知識結(jié)構(gòu)的設(shè)置，以及知識的螺旋式上升，這既符合學(xué)生分析問題的一般規(guī)律，也符合試題對綜合能力的考查意圖：需要學(xué)生前后聯(lián)系七、八年級的相關(guān)知識，建立起有效的知識聯(lián)結(jié)，進(jìn)而快速解題.第2)小題相似三角形(《數(shù)學(xué)》九年級上冊內(nèi)容)，試題漸進(jìn)式的設(shè)問體現(xiàn)了考生獲取課本知識的先后順序，思維量也隨之增加.同時第2)小題追加了對計算能力的考量，這也為后面的第3)小題埋下了伏筆.

3.2 數(shù)學(xué)運算，關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)

一年一度的中考測試，不僅是為了測試學(xué)生的“四基”“四能”，更是檢測考生是否適合繼續(xù)進(jìn)行高中學(xué)習(xí)的依據(jù)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.在六大核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)運算位列其中.數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，而數(shù)學(xué)運算是演繹推理，是計算機(jī)解決問題的基礎(chǔ)[1].因此數(shù)學(xué)運算在高中三年的學(xué)習(xí)過程中展現(xiàn)得淋漓盡致，可謂“計算正確得天下”！如何將這訊號傳遞到初中階段，引起初中學(xué)生的足夠重視呢？將數(shù)學(xué)運算的思想滲透到中考考題中無疑是最好的選擇.例1的第3)小題將數(shù)學(xué)運算糅合在平面幾何的演繹推理中，將運算與推理巧妙地結(jié)合，既考查了學(xué)生的全等三角形、相似三角形的應(yīng)用能力，又考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，也為研究中考試題的教師們指明了復(fù)習(xí)的方向和重點，一箭三雕可謂精妙.

初中階段是小學(xué)階段的延續(xù)，是向高中階段過渡的關(guān)鍵時期，因此養(yǎng)好良好的思維品質(zhì)是初中階段學(xué)習(xí)的重要任務(wù).然而通過筆者參加中考閱卷的經(jīng)歷來看，數(shù)學(xué)運算仍是考生失分的重要原因，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)任重而道遠(yuǎn).當(dāng)前的復(fù)習(xí)教輔資料鋪天蓋地，良莠不齊，教師也難以抉擇，例1給一線教師提供了最佳的復(fù)習(xí)材料——課本.在緊扣課本的同時，需要教師沉心靜氣，鉆研課本，對課本上的圖形進(jìn)行適度的改編.只有考生“啃”透課本，才能以不變應(yīng)萬變.