指向深度學(xué)習(xí)的單元起始課教學(xué)實踐與思考
——以“復(fù)數(shù)”單元起始課為例

孔繁晶

(徐州高等師范學(xué)校，江蘇 徐州 221000)

深度學(xué)習(xí)，又譯深層學(xué)習(xí).這一概念最早出現(xiàn)于1976年瑞典哥德堡大學(xué)馬飛龍教授等人發(fā)表的《學(xué)習(xí)的本質(zhì)區(qū)別：結(jié)果和過程》一文.2014年我國教育部課程教材中心正式成立“深度學(xué)習(xí)”教學(xué)改進項目組，從此基于該理念的各學(xué)科教學(xué)實踐探索在全國各地迅速展開.經(jīng)過多年研究，目前國內(nèi)普遍認為“深度學(xué)習(xí)”是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.顯然，深度學(xué)習(xí)與新課程精神高度契合，是以學(xué)科核心素養(yǎng)及其進階發(fā)展為目標(biāo)，突出強調(diào)“以學(xué)為主”，更加重視發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，并提出教學(xué)設(shè)計要站在學(xué)科體系之上，注重對于學(xué)科知識、學(xué)生活動、反思評價等相關(guān)要素的結(jié)構(gòu)化處理.因此，指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)需要針對相關(guān)內(nèi)容進行整合，體現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)情境、學(xué)習(xí)活動、學(xué)習(xí)評價一致性的“單元整體教學(xué)”[1].而數(shù)學(xué)學(xué)科作為中學(xué)課程的重要組成部分，又因其自身具有高度的邏輯性和系統(tǒng)性，在該領(lǐng)域的單元整體教學(xué)探索已成為廣大教育者實踐與研究的焦點，僅近5年，中國知網(wǎng)收錄的相關(guān)文章就多達900余篇.

單元起始課作為單元教學(xué)的序曲，承擔(dān)著介紹本單元內(nèi)容、地位和應(yīng)用以及展現(xiàn)單元整體思想的任務(wù)，對于落實單元整體教學(xué)、踐行深度學(xué)習(xí)理念具有關(guān)鍵且獨特的教育價值.但縱觀日常教學(xué)實踐及相關(guān)研究成果卻發(fā)現(xiàn)：單元起始課一直處于被忽視的狀態(tài)，教師或是認為其不重要，不愿在此花費精力與課時；或是隱約了解其功能，但苦于不知如何設(shè)計.下面筆者以深度學(xué)習(xí)理念為指引，談一談單元起始課的教學(xué)實踐與思考.

1 單元起始課的內(nèi)涵

所謂“單元”，區(qū)別于“章”.“章”是教材編寫的劃分，“章首”指教材內(nèi)容上的章節(jié)的起始，而“單元”可能與教材章節(jié)吻合，亦可能是圍繞某一主題重新設(shè)定的學(xué)習(xí)單位，“單元起始”則是著眼于這一主題的單元教學(xué)的開始[2].

單元起始課從教學(xué)時間上來看，是單元教學(xué)的第一節(jié)課，但又有別于文本內(nèi)容的第一課時，它注重單元整體的關(guān)聯(lián)性，對整個單元的知識結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、學(xué)習(xí)路徑起著總領(lǐng)作用，是內(nèi)容、思想、方法的“先行組織者”，肩負著為學(xué)習(xí)開山引路的任務(wù).一般包括3個方面的內(nèi)容：明確學(xué)習(xí)本單元的必要性，解決學(xué)習(xí)動因問題，即為什么學(xué)；梳理本單元的組織線索及知識架構(gòu)，大致構(gòu)建單元學(xué)習(xí)框架，即學(xué)什么；了解本單元研究問題的核心數(shù)學(xué)思想方法，尋找有效的學(xué)習(xí)方式，即怎樣學(xué).

2 單元起始課的任務(wù)

合理設(shè)計并實施單元起始課教學(xué)，有助于整個單元教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn).其主要任務(wù)是謀定單元全局，使得學(xué)生真正體會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言描述世界，這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，又發(fā)揮了學(xué)科育人的功能.

2.1 激發(fā)學(xué)習(xí)動機

依據(jù)深度學(xué)習(xí)理論，學(xué)生深層動機的形成是推動學(xué)習(xí)的直接原因和內(nèi)部動力，亦是教學(xué)成敗的關(guān)鍵因素之一.因此，單元起始課要解決的首要問題就是引發(fā)并保持學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的動機.在起始課上，教師通過引入數(shù)學(xué)史、介紹數(shù)學(xué)家軼事以及科普或是“高大上”或是“接地氣”的數(shù)學(xué)實際應(yīng)用，建立有意義的學(xué)習(xí)情境以增強學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.而創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，使學(xué)生獲得自主控制學(xué)習(xí)進度和效度的良性體驗，可促使師生間的關(guān)系從“單向輸出”向“雙向互動”轉(zhuǎn)變，對于維持學(xué)習(xí)動機有著顯著的效果.

2.2 形成全景認識

深度學(xué)習(xí)理論強調(diào)注重學(xué)習(xí)的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)，且數(shù)學(xué)學(xué)科本身就具備較強的關(guān)聯(lián)性，故單元起始課的重要任務(wù)之一就是進行本單元的“劇情簡介”，即立足于整個單元，以激活已有認知和經(jīng)驗作為開始學(xué)習(xí)的生長點，建立新舊知識、方法、情感等要素的聯(lián)系，進而了解本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架結(jié)構(gòu)、發(fā)展進階路徑以及本單元學(xué)習(xí)所涉及的核心方法與思想.綜上所述，單元起始課要幫助學(xué)生對即將要展開的單元學(xué)習(xí)形成概貌性的認識.值得注意的是，這種全景認識不是面面俱到，也不可能做到面面俱到，重在宏觀視角，勝在體系清晰.

2.3 鍛煉高階思維

相較于低階思維，高階思維是高階能力的核心，主要指向創(chuàng)新力、問題求解力、決策力和批判性思維力等，這與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的追求高度一致.深度學(xué)習(xí)理論以發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)為目標(biāo)，關(guān)注學(xué)習(xí)的真正發(fā)生，更加重視知識載體背后學(xué)科能力素養(yǎng)的落實.單元起始課一方面要幫助學(xué)生了解知識體系明線，另一方面則要以單元知識為載體，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作研討、猜想驗證，著眼于單元核心數(shù)學(xué)思想、方法及根植于其中的數(shù)學(xué)精神，并將其作為后續(xù)學(xué)習(xí)的重要線索，以此打造學(xué)生高階思維的實踐場域.

3 單元起始課的教學(xué)實踐——以“復(fù)數(shù)”單元起始課為例

單元起始課作為落實單元教學(xué)的關(guān)鍵，承載著諸項任務(wù)，如何設(shè)計才能真正體現(xiàn)單元思想，引導(dǎo)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)？筆者以“復(fù)數(shù)”單元起始課為例，結(jié)合實踐淺談教學(xué)設(shè)計及思考.

3.1 教學(xué)內(nèi)容分析

單元教學(xué)的核心要義在于把握教學(xué)內(nèi)容的整體與關(guān)聯(lián)，因此，“復(fù)數(shù)”單元起始課的教學(xué)內(nèi)容分析需以課標(biāo)為基準(zhǔn)，從單元角度整體把握.數(shù)系概念的發(fā)展與擴充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索，復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生源于現(xiàn)實世界的實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的矛盾，是在已有認知基礎(chǔ)之上的再一次數(shù)系擴充，且虛數(shù)的引入帶來了數(shù)系結(jié)構(gòu)與運算性質(zhì)的一系列變化.而在知識表象(如圖1)下數(shù)系擴充及虛數(shù)引入的動因、發(fā)現(xiàn)研究“擴充”問題遵循的規(guī)律和方法以及探究過程中蘊涵的數(shù)學(xué)精神才是本單元學(xué)習(xí)的深層內(nèi)容.

圖1 復(fù)數(shù)單元知識結(jié)構(gòu)圖

以單元整體角度出發(fā)的“復(fù)數(shù)”單元起始課需明確以下幾點：

1)復(fù)數(shù)的起源與進階點.

復(fù)數(shù)的誕生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長而又曲折的過程，這也是人類數(shù)學(xué)創(chuàng)造的縮影.更重要的是其發(fā)展過程與本單元的學(xué)習(xí)軌跡基本吻合，這使得單元起始課中知識的起源、核心概念的建立以及單元學(xué)習(xí)框架的搭建有了豐富的數(shù)學(xué)文化背景和資源.

2)復(fù)數(shù)的本質(zhì)與關(guān)聯(lián).

復(fù)數(shù)的產(chǎn)生將代數(shù)研究對象由一維空間拓展到二維空間，究其本質(zhì)是一元實數(shù)的推廣產(chǎn)物——二元數(shù).因此，實數(shù)是復(fù)數(shù)的重要的認知起點.

向量與復(fù)數(shù)有著密切聯(lián)系，將復(fù)平面的概念引入后，復(fù)數(shù)的幾何意義即為一一對應(yīng)的平面向量和復(fù)平面上的點，復(fù)數(shù)的加減法運算也可以通過向量的加減運算加以定義，但僅限于線性運算，乘法的關(guān)系是不存在的.而在復(fù)平面中，定義向量方向與實軸正方向所夾之角為復(fù)數(shù)幅角，從而產(chǎn)生了復(fù)數(shù)的三角表示，這又將復(fù)數(shù)與三角緊密聯(lián)系在一起.因此，三角、向量是復(fù)數(shù)的重要關(guān)聯(lián)[3].

3)數(shù)系建構(gòu)的策略與思想.

復(fù)數(shù)理論構(gòu)建遵循數(shù)系擴充的一般原則.事實上，每次數(shù)系的擴充都是為了解決原數(shù)系無法解決的矛盾點而引入“新數(shù)”，還要在新的數(shù)系中保持原數(shù)系的運算律和性質(zhì)不變，這就是數(shù)系的“擴容”.接著以此為導(dǎo)引展開進一步的研究：概念—性質(zhì)—運算—聯(lián)系.在復(fù)數(shù)研究過程中涉及的重要數(shù)學(xué)思想與方法有兩個：一是類比思想.從實數(shù)到復(fù)數(shù)，由一維到二維，類比是貫穿整個單元的核心研究方法.二是數(shù)形結(jié)合思想.復(fù)數(shù)的幾何意義使得復(fù)數(shù)概念的形成和發(fā)展擁有了重要的依據(jù)，亦是溝通“數(shù)”與“形”的有效橋梁.

3.2 學(xué)情分析

學(xué)生經(jīng)歷過從自然數(shù)到實數(shù)的多次數(shù)系擴充，積累了一定的數(shù)系擴充經(jīng)驗，并且熟練掌握了在實數(shù)范圍內(nèi)求解一元二次方程的方法，同時系統(tǒng)學(xué)習(xí)了三角、向量的相關(guān)內(nèi)容，有一定的分析、解決問題的意識與能力.但也存在一些認知障礙：

1)復(fù)數(shù)的物理背景相對復(fù)雜，學(xué)生缺乏直觀感受，勢必造成理解上的困難；

2)學(xué)生對于數(shù)系擴充雖有感性認識，但缺乏整體審視過程的能力，在方法和意識上均有空白；

3)學(xué)生思維的系統(tǒng)性和完整性仍有欠缺，主動質(zhì)疑、釋疑的意識與能力有待加強.

3.3 教學(xué)目標(biāo)

基于“四基四能”的培養(yǎng)目標(biāo)，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認知水平的分析，確定本單元起始課目標(biāo)如下：

1)了解數(shù)系擴充的過程，體會虛數(shù)引入的必然和意義，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和幾何形式，逐步理解“虛數(shù)不虛”；

2)體會類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，掌握研究數(shù)系擴充的基本思路與規(guī)則，積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗；

3)學(xué)會利用資料開拓視野，建立良好的數(shù)學(xué)觀，形成提出問題、解決問題的探究意識與能力.

3.4 教學(xué)設(shè)計片段

3.4.1 回顧舊知，厘清路徑

挑戰(zhàn)型任務(wù)1這些數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了上千年，請大家觀看微課“數(shù)系擴充的那些事兒——從自然數(shù)到實數(shù)”，完成并思考：1)用框圖梳理數(shù)系擴充的過程；2)試著從數(shù)學(xué)世界的角度談一談數(shù)系擴充;3)數(shù)系擴充遵循哪些原則.

設(shè)計意圖從生活中的具體數(shù)據(jù)作引，以微課的形式介紹，幫助學(xué)生從社會實踐需求的角度審視數(shù)系擴充，增加了學(xué)習(xí)的趣味性.同時要求學(xué)生用框圖梳理知識，由腦海中的思維片段落到紙上的系統(tǒng)直觀，更加清晰地勾勒擴充脈絡(luò)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀以及歸納概括的能力.

之后提出3個討論點：1)引導(dǎo)學(xué)生逐步從現(xiàn)實需求抽象到數(shù)學(xué)發(fā)展需要，厘清從自然數(shù)集到實數(shù)集的擴充過程；2)引導(dǎo)學(xué)生運用方程模型，并加入對于新舊數(shù)集運算封閉性的梳理，這是認識數(shù)系擴充必然性的又一方向，從而有條不紊地形成了前情回顧清單(如圖2)；3)引發(fā)“怎樣做”的思考，幫助學(xué)生跳出具體的某次擴充，從更加宏觀的高度尋找數(shù)系擴充的一般性“套路”，即每次都引入“新數(shù)”，解決原數(shù)系里無法實施的運算問題，而在新數(shù)系里，原來的運算(律)和性質(zhì)仍然適用.這為后續(xù)研究虛數(shù)的引入奠定了知識基礎(chǔ)和方法基礎(chǔ).

圖2 前情回顧清單

3.4.2 重構(gòu)史料，明晰問題

問題在既有數(shù)系擴充的歷程中，人類探索未知的意識和腳步從未停歇，結(jié)合前情回顧清單，你會提出什么問題呢？

設(shè)計意圖在回顧舊知的基礎(chǔ)之上，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題.雖然復(fù)數(shù)缺乏生活中的直觀感受，但思維品質(zhì)較高的學(xué)生可以通過前幾次數(shù)系擴充逐步實現(xiàn)了加、減、乘、除以及乘方運算的封閉性猜測,開平方運算會是下一次數(shù)系擴充的發(fā)端，如此設(shè)問對于引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)地培養(yǎng)高階思維有著良性的影響.

挑戰(zhàn)型任務(wù)21)已知3次方程x3+px+q=0的其中一個根的求根公式為

請根據(jù)該公式求解x3=15x+4.

由-1=-1×1，-2=-1×2，-3=-1×3，…，歸納可得

-15=-1×15, -121=-1×121.

由此，-15,-121的開方問題就都化歸于-1的開方問題.在這樣的探究中，學(xué)生化歸、遷移、邏輯推理的能力得到了有效鍛煉，定義“i2=-1”順理成章，虛數(shù)概念呼之欲出.

3.4.3 任務(wù)驅(qū)動，抽象概念

挑戰(zhàn)型任務(wù)31)我們規(guī)定了虛數(shù)i后，試一試將其與實數(shù)進行運算能產(chǎn)生哪些新形式的數(shù)？它們的一般形式是怎樣的？

3)回顧數(shù)的發(fā)展.由于實數(shù)的順序特征，我們建立了其與一維數(shù)軸上點的一一對應(yīng)，有了這個幾何意義，實數(shù)間的相等、比大小、四則運算，乃至于絕對值問題都迎刃而解，那么由實部和虛部構(gòu)成的復(fù)數(shù)是否也存在幾何意義呢？

設(shè)計意圖這個問題指向性更強，從研究對象到研究方法都有了明確的方向，引出了貫穿全單元的復(fù)數(shù)幾何意義的線索，師生共同探索建立復(fù)平面，使得每一個復(fù)數(shù)與平面上的點一一對應(yīng)，進一步深化對于“虛數(shù)不虛”的理解.同時，由一維到二維、由數(shù)軸到復(fù)平面，類比思想、數(shù)形結(jié)合思想在這里都有了極好的發(fā)揮空間，提升了學(xué)生的思維水平.

3.4.4 多元聯(lián)想，構(gòu)建框架

挑戰(zhàn)型任務(wù)4我們已經(jīng)建立了復(fù)數(shù)的概念，包括它的代數(shù)形式和幾何意義，接下來將如何繼續(xù)構(gòu)建復(fù)數(shù)單元“大廈”呢？

設(shè)計意圖教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，給出構(gòu)建復(fù)數(shù)單元的研究任務(wù)，同時提供研究方案：類比實數(shù)從代數(shù)、幾何兩個角度出發(fā).學(xué)生在教師的啟發(fā)下從代數(shù)方向入手研究復(fù)數(shù)相等、四則運算及運算律，在復(fù)數(shù)集內(nèi)求解方程；從幾何方向入手研究復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、模，還可以聯(lián)系向量、三角，并用數(shù)形結(jié)合的視角全方位審視其關(guān)聯(lián).在這個過程中有一些問題學(xué)生已經(jīng)可以自行判斷，如虛數(shù)無法比大小，有一些還很模糊，正是后續(xù)學(xué)習(xí)的動力.

3.4.5 梳理資料，涵養(yǎng)精神

教師引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)系的擴充和虛數(shù)的引入，又為復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)打造了單元藍圖，這一番研究也基本吻合人類探索復(fù)數(shù)的歷程.此時教師借助微課“復(fù)數(shù)的前世今生”，介紹復(fù)數(shù)產(chǎn)生與發(fā)展的相關(guān)史料以及做出杰出貢獻的數(shù)學(xué)家(如圖3).

圖3

讓學(xué)生梳理并體會復(fù)數(shù)從最初的產(chǎn)生到逐步的完善，再到形成嚴密理論體系的理性過程，涵養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神.

3.4.6 拓展延伸，問題待續(xù)

挑戰(zhàn)型任務(wù)5通過這節(jié)課的研究，我們知道了復(fù)數(shù)的本質(zhì)是二元數(shù)，是否存在三元數(shù)、四元數(shù)呢？若有，你能創(chuàng)建相應(yīng)的模型嗎？這個問題我們將用一個單元的時間進行思考和研究.

設(shè)計意圖弗蘭登塔爾認為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本任務(wù)是“再創(chuàng)造”.提前將該項任務(wù)拋給學(xué)生，并非要在此時完成，它的作用在于在單元起始課上幫助學(xué)生高處定位，指引學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì).二元數(shù)的學(xué)習(xí)帶來三元數(shù)的思考，又有可能引發(fā)四元數(shù)的討論等.這一超越傳統(tǒng)問題的任務(wù)，引發(fā)學(xué)生進行探究，提供施展主觀能動性的空間，由此單元學(xué)習(xí)的全過程將成為探尋新生知識的進階點和工具箱，拓寬了現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)，為教學(xué)帶來了新的可能，這正是深度學(xué)習(xí)的內(nèi)核所在.

4 結(jié)語

開展指向深度學(xué)習(xí)的單元起始課教學(xué)研究是實施單元教學(xué)的關(guān)鍵之一，更是落實發(fā)展核心素養(yǎng)的必要環(huán)節(jié).有效的單元起始課要求教師理解學(xué)生，堅持從學(xué)情出發(fā)，提供合適的學(xué)習(xí)環(huán)境；要求教師明晰大單元下課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，洞悉知識的來龍去脈、思想方法的橫向與縱向聯(lián)系；更要求教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，設(shè)置適合的挑戰(zhàn)型任務(wù)，并為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)活動持續(xù)提供清晰的反饋，不斷地改進和完善，促使學(xué)生在研中學(xué)、研中悟，進而真正提升學(xué)科核心素養(yǎng).