Y型微通道內(nèi)納米顆粒穩(wěn)定氣泡的完全阻塞破裂動力學(xué)

費瀅潔，朱春英，付濤濤，高習(xí)群，馬友光

（1 天津大學(xué)化工學(xué)院，化學(xué)工程聯(lián)合國家重點實驗室，天津 300072； 2 億方工業(yè)公司，遼寧石油化纖公司，遼寧 遼陽 111003）

引 言

微流控技術(shù)因高效的混合、傳質(zhì)和傳熱性能[1-3]，優(yōu)異的界面調(diào)控能力[4-6]，為強放熱快速反應(yīng)的發(fā)生,有毒、易燃易爆等化學(xué)品的生產(chǎn)，以及結(jié)構(gòu)精確可控的功能材料的制備提供了安全有效的新途徑。此外，微化工的規(guī)?；a(chǎn)不同于傳統(tǒng)化工的“幾何放大”，可通過直接并行放大實現(xiàn)，不產(chǎn)生放大效應(yīng)，大大提高了生產(chǎn)質(zhì)量和通量[7]。放大過程中常見的流體分布形式有梯狀分布和樹狀分布[8]，通道結(jié)構(gòu)不可避免地存在分岔口。上游生成的氣泡（液滴）流經(jīng)分岔口會出現(xiàn)破裂和分配等行為，可進一步調(diào)控其在微通道中的流動及尺寸。因此，對分岔口處氣泡（液滴）運動的基礎(chǔ)動力學(xué)研究十分必要。

Link 等[9]最早研究了T 型分岔口處液滴的破裂過程。他們發(fā)現(xiàn)，液滴流經(jīng)T 型分岔口會出現(xiàn)破裂和不破裂兩種行為，并根據(jù)Rayleigh-Plateau 理論，提出了兩種行為的轉(zhuǎn)變預(yù)測式。Fu 等[10]進一步細化了分岔口處氣泡破裂行為，發(fā)現(xiàn)完全阻塞破裂、部分阻塞破裂和無阻塞破裂三種破裂流型，以及分配和過濾兩種不破裂行為。同時，修正了Link等[9]的破裂與不破裂之間轉(zhuǎn)變預(yù)測式。Wang 等[11]基于界面動力學(xué)和幾何結(jié)構(gòu)，探討了完全阻塞破裂、部分阻塞破裂以及無阻塞破裂之間的轉(zhuǎn)變機制，發(fā)現(xiàn)破裂流型的轉(zhuǎn)變只與氣泡長度有關(guān)。Leshansky 等[12]結(jié)合液滴界面形狀的幾何結(jié)構(gòu)與局部接觸角Tanner法則，描述了破裂過程界面演化規(guī)律，如液滴頸部最小寬度演化的冪律方程等。Hoang 等[13]在Lenshansky 等[12]的基礎(chǔ)上，通過三維模擬的方法，進一步研究了頸部最小寬度隨時間的演化規(guī)律。他們提出液滴的破裂分為兩個階段，第一階段為外部流體驅(qū)動的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)液滴變形過程；第二階段為不受外部流體驅(qū)動，僅由表面張力控制的三維快速夾斷階段，分別提出了適用于兩個階段的頸部演化模型。此外，還有眾多破裂動力學(xué)的研究，如引入旁路調(diào)控液滴的破裂[14]，加入外部場主動控制氣泡（液滴）破裂[15-16]等。

氣泡在工業(yè)中的應(yīng)用非常廣泛，如提高原油采收率[17]、制備新型功能泡沫材料[18]、改善食品口感[19]、增強超聲造影[20]和藥物輸送[21]等。在這些應(yīng)用中，氣泡的穩(wěn)定性非常重要。但是目前針對微通道中氣泡的研究中，氣泡僅通過表面活性劑穩(wěn)定，一旦離開通道易發(fā)生破裂、聚并等行為。為了增強氣泡的穩(wěn)定性，眾多學(xué)者進行了理論和實驗研究。結(jié)果表明，不同于表面活性劑吸附的可逆性，納米顆粒不可逆地吸附在氣泡的表面，顯著提高了氣泡的穩(wěn)定性[22-24]。因此，對納米顆粒穩(wěn)定的氣泡破裂動力學(xué)的研究具有重要意義。本文通過研究Y型微通道內(nèi)納米顆粒穩(wěn)定氣泡完全阻塞破裂過程的頸部和頭部演化規(guī)律，分析顆粒對氣泡破裂的影響，并且考察不同毛細管數(shù)下顆粒對破裂過程的影響，探索納米顆粒穩(wěn)定氣泡的破裂動力學(xué)。

1 實驗材料和方法

本研究中使用的膠態(tài)二氧化硅LUDOX?AS-40（Sigma-Aldrich），質(zhì)量分?jǐn)?shù)為40%，pH 為9.1，表面積為135 m2·g-1，納米顆粒的平均粒徑為22 nm，25℃時密度為1.295 g·ml-1。十六烷基三甲基溴化銨（CTAB，≥99%）和NaBr（≥99.99%）均購自上海阿拉丁生化科技股份有限公司。鹽酸和氫氧化鈉均購自天津元立化工有限公司。本研究中使用反滲透裝置（Milli-Q）制備的電阻率為18.25 MΩ 的超純水進行溶液配制。氮氣作為分散相，由氮氣鋼瓶提供。實驗中所用SiO2/CTAB 懸浮液的制備過程如下。

將制備好的濃度為0.3 mmol·L-1的CTAB 溶液，與經(jīng)超聲分散30 min 的2%（質(zhì)量）SiO2漿料進行混合，制得1% SiO2+0.15 mmol·L-1CTAB 懸浮液。為了避免在懸浮液的制備過程中發(fā)生絮凝，向連續(xù)攪拌的漿料中逐滴添加CTAB 溶液。然后，加入NaBr以增強顆粒的吸附性，并通過鹽酸和氫氧化鈉調(diào)整溶液的pH 至7。配制好的懸浮液靜置12 h，以使二氧化硅表面上CTAB 的吸附達到平衡。本實驗中對照組水溶液采用0.15 mmol·L-1CTAB 溶液，并加入與懸浮液中相同質(zhì)量的NaBr。1%SiO2漿料的表觀黏度采用旋轉(zhuǎn)黏度計（Brookfield DV-2 pro）進行測量，結(jié)果表明在不同的剪切速率下，連續(xù)相的黏度不發(fā)生變化，可看作牛頓流體。水溶液的黏度為1.08 mPa·s，1% SiO2漿料的表觀黏度為1.13 mPa·s。通過表面張力儀（OCAH200，Data Physics Instruments GmbH，Germany）測量相界面張力，水溶液的表面張力為54.01 mN·m-1，1% SiO2漿料的表面張力為59.19 mN·m-1。采用密度稱量瓶測量水溶液和1%SiO2漿料的密度，水溶液的密度為1.003 g·cm-3，1%SiO2漿料的密度為1.010 g·cm-3。在物性數(shù)據(jù)測量過程中，每個樣品測量3次取平均值。

微通道由兩塊大小及材質(zhì)相同的亞克力有機玻璃（PMMA）板組成，底板利用精密銑削技術(shù)加工出通道，然后用螺栓與頂板固定密封。通道結(jié)構(gòu)如圖1 所示。上游T 型結(jié)構(gòu)（A）處生成氣泡，下游Y 型分岔口（B）處實現(xiàn)氣泡的破裂。Y 型分岔口的角度為90°。通道出口的腔室可以有效避免兩個子氣泡碰撞對Y型口處氣泡破裂的反饋作用。通道的寬度（W）和高度（H）均為800 μm，長度為284.25 mm。

圖1 微通道結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the microfluidic device

實驗裝置如圖2所示，主要包括流體控制單元、微流控裝置以及圖像采集單元。連續(xù)相通過注射泵（PHD 2000,Harvard Apparatus,USA）以流量Qc注入微通道內(nèi)；分散相由氮氣鋼瓶直接提供，其流量通過質(zhì)量流量計（SLA5800,BROOKS）控制，以流量Qd注入通道。微流控裝置放在倒置顯微鏡（ECLIPSE Ti-CU,Nikon,Japan）的載物臺上，高速攝影儀（Fastcam SA1.1,Japan）以12000 fps的速度記錄Y 型分岔口處氣泡的破裂過程。實驗中，對于相同的氣相和連續(xù)相流量，上游T 型口處漿料中生成的氣泡尺寸與未添加顆粒時的最大偏差為1%，可以忽略連續(xù)相中顆粒對氣泡生成過程的影響。

圖2 實驗裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of experimental setup

2 實驗結(jié)果與討論

為了便于分析與討論，圖3 定義了氣泡破裂過程中所涉及的一些物理參數(shù)。l0為母氣泡的長度，W為微通道的寬度，Wm為氣泡破裂過程中氣泡的最小頸部寬度。上述參數(shù)都是從高速攝影儀拍攝的照片中直接獲得，每個數(shù)值從三張不同的照片中測量取平均值。在讀取數(shù)據(jù)過程中，誤差約為1 個像素（±5 μm）。l0、W、Wm的不確定性約為±10 μm。R1為氣泡頭部曲率半徑，Kt為氣泡頭部的曲率。R為氣泡頸部曲率半徑，Kn為氣泡頸部的曲率。此外，氣泡破裂的周期用T表示，破裂過程中某一時刻用t表示，毛細管時間定義為Tc= (ρcW3/σ)1/2，ρc為連續(xù)相的密度，σ為表面張力。本實驗中，分散相的流量范圍為0.4～2.2 ml·min-1，連續(xù)相的流量范圍為2.5～5 ml·min-1。相應(yīng)的毛細管數(shù)Ca=μu/σ的范圍為0.001～0.003，μ為連續(xù)相黏度，u為流體的表觀流速，u=(Qc+Qd)/A，A表示通道橫截面積。

圖3 氣泡破裂過程相關(guān)參數(shù)的定義Fig.3 Parameters to characterize the breakup process of the bubble

2.1 氣泡破裂過程

圖4（a）給出了一個典型的Y 型微通道內(nèi)氣泡的破裂過程。定義氣泡完全進入Y型分岔口為破裂初始時刻。以無顆粒水溶液中常規(guī)氣泡的破裂過程為例，Y 型分岔口處氣泡的破裂過程可以分為兩個階段：擠壓階段和快速夾斷階段。擠壓階段（t/Tc=0～3.47），氣泡的頸部寬度在連續(xù)相的擠壓下不斷減小，此階段氣泡頸部曲線向外凸起。快速夾斷階段（t/Tc=3.47～4.86），頸部由外凸轉(zhuǎn)為內(nèi)凹，破裂過程表現(xiàn)為由表面張力控制的三維快速夾斷，即使停止連續(xù)相，頸部仍然會快速細化，最終破裂[13]。這一階段由于頸部從通道的上下壁面分離，角區(qū)中的連續(xù)相逆流回頸部，促使頸部的破裂[25]。

擠壓階段和快速夾斷階段之間的轉(zhuǎn)變是氣泡破裂研究的重點。T 型分岔口處液滴破裂過程的模擬表明[13]，當(dāng)頸部的曲率大于液滴其他任意部位的曲率時，液滴破裂轉(zhuǎn)至快速夾斷階段。對于Y 型分叉通道，氣泡破裂頸部處的曲面形狀與T型相反，當(dāng)Y型分岔口處氣泡頸部的曲率接近0時[即當(dāng)氣泡的頸部由外凸變?yōu)閮?nèi)凹時，圖4（b）]，氣泡進入快速夾斷階段。從圖4（b）可以發(fā)現(xiàn)，顆粒對頸部曲率的影響可以忽略不計。此外，研究表明，轉(zhuǎn)為快速夾斷階段的時刻受通道結(jié)構(gòu)控制[10,13,26]，此時的臨界頸部寬度Wmt可表示為

其中，H為通道高度。當(dāng)通道深寬比為1 時，兩階段轉(zhuǎn)變的臨界頸部寬度為Wm/W=0.5。式（1）是通過T 型微通道中氣泡破裂過程的模擬得到。本文Y 型通道內(nèi)，在連續(xù)相的推動和剪切作用下，氣泡進入支通道，相較T 型通道，兩個子階段間轉(zhuǎn)變的臨界頸部寬度值略小，約為0.44±0.02[圖4(c)]，顆粒對兩階段的轉(zhuǎn)變幾乎無影響。但是從圖4（c）中可以清晰看出加入顆粒后，擠壓階段到達Wmt的時間增加，即顆粒的存在延緩了頸部的細化。

圖4 Y型分岔口處氣泡的破裂過程(Qc=2.5 ml·min-1，Qd=0.8 ml·min-1)Fig.4 The process of bubble breakup at the Y-junction(Qc=2.5 ml·min-1，Qd=0.8 ml·min-1)

2.2 破裂動力學(xué)

液滴完全阻塞破裂過程的三維模擬結(jié)果表明[13]，擠壓階段氣泡頸部最小寬度和時間存在冪率關(guān)系：(1-Wm/W)∝tα；快速夾斷階段頸部最小寬度與剩余時間存在冪律關(guān)系：Wm/W∝(T-t)α。因此，分別采用式(2)和式(3)描述擠壓階段和快速夾斷階段內(nèi)Wm和t的關(guān)系：

其中，mi和αi均為擬合參數(shù)(i=1,2)，與流體流速、黏度、氣泡長度和通道結(jié)構(gòu)相關(guān)。本實驗中為了分析顆粒對氣泡破裂的影響，兩相流速和通道結(jié)構(gòu)均保持一致。加入顆粒后連續(xù)相的黏度從1.08 mPa·s增加到1.10 mPa·s，增加了1.9%。連續(xù)相黏度是通過影響氣泡表面的黏性剪切力進而影響氣泡的破裂過程。研究已表明，當(dāng)Ca<10-2時，黏性剪切力可忽略不計[27]。因此，本文中兩個連續(xù)相的黏度差異對氣泡破裂過程的影響可忽略。此外，顆粒對上游T 型口處氣泡生成過程的影響也很小，母氣泡長度的差異在± 0.5%。因此，認(rèn)為圖5 中納米顆粒穩(wěn)定的氣泡的指前因子和冪律指數(shù)的差異只與其表面性質(zhì)的改變有關(guān)。

從圖5（a）中發(fā)現(xiàn)，頸部細化的兩個階段中，納米顆粒穩(wěn)定的氣泡的冪律指數(shù)均小于常規(guī)氣泡。由于不同階段的主要控制力不同，所以顆粒對于阻礙氣泡破裂的原因也不同。納米顆粒吸附在氣泡表面是熱力學(xué)自發(fā)過程[28]。納米顆粒吸附氣泡表面上，一部分氣-液界面被氣-固界面取代，形成了氣-液-固復(fù)合界面。由于氣相、液相和固相具有不同的膨脹特性，當(dāng)氣液界面被取代后，新形成的復(fù)合界面的膨脹特性發(fā)生顯著變化，直接影響其抵抗外界干擾的能力，如局部波動等的干擾。研究表明，當(dāng)納米顆粒吸附在氣泡表面，會顯著提高氣泡的膨脹彈性系數(shù)[23]。對于擠壓階段，顆粒層減弱了連續(xù)相對氣泡頸部的擠壓作用，延緩了氣泡的破裂。而對于快速夾斷階段，顆粒層不僅會減弱溝槽中連續(xù)相液體回流對氣泡的擠壓作用，還會阻礙氣泡的快速形變，使氣泡破裂速度減慢。

圖5 氣泡完全阻塞破裂過程最小頸部寬度和時間的冪律關(guān)系(Qc=2.5 ml·min-1，Qd=0.8 ml·min-1)Fig.5 Power-law relationship between minimum neck width and time for bubble breakup with permanent obstruction(Qc=2.5 ml·min-1，Qd=0.8 ml·min-1)

顆粒對于頭部的影響主要體現(xiàn)在頭部曲率上。實驗結(jié)果表明（圖6），完全阻塞破裂過程中，氣泡與壁面接觸，流經(jīng)角區(qū)的連續(xù)相流量和速度不足以使氣泡頭部發(fā)生大的形變，雖然顆粒使氣泡頭部的曲率變小，但是差異很小，顆粒對氣泡頭部的影響可以忽略。對于氣泡部分阻塞破裂過程[29]，支通道壁面與氣泡之間存在“縫隙”，連續(xù)相對于氣泡頭部的黏性剪切力較大，氣泡頭部的形變顯著，納米顆粒穩(wěn)定氣泡的頭部曲率明顯小于常規(guī)氣泡，且變化速率也更加緩慢（圖6）。對完全阻塞破裂和部分阻塞破裂過程的頭部曲率，可以發(fā)現(xiàn)顆粒層在氣泡表面發(fā)生大幅度形變時發(fā)揮的作用更為顯著，而當(dāng)氣泡無變形或者變形程度較小時，顆粒層的作用非常有限。這一結(jié)論與Wu 等[30]利用納米顆粒精確控制氣泡形狀的結(jié)論相同，當(dāng)納米顆粒穩(wěn)定的氣泡通過孔喉結(jié)構(gòu)時，氣泡發(fā)生大幅度形變，表面納米顆粒層阻礙氣泡恢復(fù)原狀，形成非球形氣泡。

圖6 氣泡頭部曲率的演化(Qd=0.8 ml·min-1)■,□Qc=2.5 ml·min-1,完全阻塞破裂;●,○Qc=3 ml·min-1,部分阻塞破裂;空心符號為常規(guī)氣泡,實心符號為納米顆粒穩(wěn)定的氣泡Fig.6 The evaluation of bubble tip curvature(Qd=0.8 ml·min-1)■,□Qc=2.5 ml·min-1,breakup with permanent obstruction;●,○Qc=3 ml·min-1,breakup with partial obstruction;hollow symbols for original bubbles,solid symbols for hardening bubbles

2.3 流量的影響

圖7展示了氣泡頸部細化過程隨流體流量的變化。當(dāng)通道內(nèi)氣泡的表觀流速增加，無論是增加連續(xù)相流量還是分散相流量，兩個子階段之間轉(zhuǎn)變的臨界頸部寬度略微減小，約7%。這一規(guī)律與Hoang等[13]的模擬研究中的結(jié)論一致。分散相流量的增加使顆粒對于延緩氣泡破裂的作用逐漸減弱甚至消失[圖7(a)]，而連續(xù)相流量增大則出現(xiàn)相反的現(xiàn)象[圖7(b)]。流體流速的改變不僅會直接影響氣泡破裂過程，還會影響上游氣泡的生成，而氣泡長度對破裂過程的影響也十分重要，因此，分別考察了指前因子mi和冪律指數(shù)αi與Ca和氣泡長度l0的關(guān)系（圖8和圖9）。

圖7 最小頸部寬度與時間的冪律關(guān)系(空心符號為常規(guī)氣泡，實心符號為納米顆粒穩(wěn)定的氣泡)Fig.7 Minimum width of the neck versus the dimensionless time(hollow symbols for original bubbles,solid symbols for hardening bubbles)

α越大，頸部細化曲線彎曲程度越大，頸部細化速率越快；m增大，頸部細化的時間大幅度縮減。對于擠壓階段，從圖8 中可以看出，m1和α1隨Ca線性增加，而隨l0的變化趨勢仍與氣液兩相表觀流速有關(guān)。在同一連續(xù)相流量下，分散相流量增加造成氣泡長度增加，m1和α1呈線性增長趨勢；而增大連續(xù)相流量，雖然氣泡長度減小，但m1和α1仍顯著增加。因此，可以認(rèn)為擠壓階段受氣液兩相流速的控制，與破裂過程中氣泡受力的理論計算結(jié)果相吻合[27]。此外還觀察到納米顆粒穩(wěn)定的氣泡的m1和α1均小于常規(guī)氣泡，且隨著連續(xù)相流量的增大兩者之間的差距逐漸減小。氣泡表面的顆粒層由于具有一定抵抗外界干擾的能力，因此，m1和α1均小于常規(guī)氣泡。隨著Ca的增大，兩相流量的增加直接導(dǎo)致連續(xù)相流體對頸部的擠壓力增大，顆粒層抵抗氣泡頸部形變的作用減弱，納米顆粒穩(wěn)定的氣泡與常規(guī)氣泡間m1及α1的差異減小。快速夾斷階段是一個自相似過程[31-32]，氣泡頸部寬度與時間的冪律指數(shù)（納米顆粒穩(wěn)定的氣泡：α2= 0.283±0.007，常規(guī)氣泡：α2=0.302±0.005）不隨流體流速和氣泡長度的變化而變化。這一結(jié)論與文獻[12]中的結(jié)果一致。m2隨著Ca的增加而增大，即氣液兩相表觀流速的增加可以加快頸部的細化，意味著快速夾斷階段雖然是由表面張力控制，但是仍然受氣液兩相流速的影響，如擠壓力、剪切力等以及破裂過程中Y 型通道上游氣泡對破裂氣泡頸部作用力的影響。從圖9(a)可以看出，m2的變化范圍為0.397～0.459，相較于m1，m2的變化較小。這主要是因為由表面張力控制的快速夾斷階段的界面變化具有自相似性[33]，兩相流量對m2的影響很小。當(dāng)氣泡頸部脫離上下壁面后，垂直于xy方向上頸部的曲率半徑r快速減小，一部分連續(xù)相進入脫離壁面處的空間，在頸部處形成渦流[13]，減小了連續(xù)相對頸部的擠壓作用。而氣液表觀流速增加將造成角區(qū)泄漏流速率的大幅降低[29]，此時更多的連續(xù)相流向頸部，形成的渦流將更為明顯，使連續(xù)相對頸部的擠壓作用減弱。此外，氣液表觀流速的增加還使流體在通道內(nèi)的管道阻力損失大幅增加。兩方面原因共同導(dǎo)致在較大流量下，氣液表觀流速增加后m2的變化逐漸減小。納米顆粒穩(wěn)定的氣泡與常規(guī)氣泡m2的差距同樣隨著Ca減小，其原因與擠壓階段類似，氣液表觀流速增加后連續(xù)相對氣泡頸部的擠壓作用增加，顆粒層的作用相對減弱。

圖8 擠壓階段指前因子m1和冪率指數(shù)α1隨Ca和l0的變化(空心符號為常規(guī)氣泡，實心符號為納米顆粒穩(wěn)定的氣泡)Fig.8 The variation of pre-exponential factor m1 and power-law exponent α1 with Ca and l0 in squeezing stage(hollow symbols for original bubbles,solid symbols for hardening bubbles)

圖9 快速夾斷階段指前因子m2和冪律指數(shù)α2隨Ca和l0的變化(空心符號為常規(guī)氣泡，實心符號為納米顆粒穩(wěn)定的氣泡)Fig.9 The variation of pre-exponential factor m2 and power-law exponent α2 with Ca and l0 in pinch-off stage(hollow symbols for original bubbles,solid symbols for hardening bubbles)

3 結(jié) 論

本文從頸部動力學(xué)和頭部動力學(xué)兩方面研究了吸附型納米顆粒穩(wěn)定的氣泡的完全阻塞破裂動力學(xué)，破裂過程可分為擠壓階段和快速夾斷階段。氣泡頸部寬度隨時間的演化規(guī)律表明，納米顆粒穩(wěn)定的氣泡的破裂速度較普通氣泡減慢。Y 型微通道內(nèi)氣泡破裂過程中擠壓階段和快速夾斷階段之間的轉(zhuǎn)變點為頸部由“外凸”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟?nèi)凹”的時刻，臨界無量綱頸部寬度Wm/W約為0.44，顆粒對兩階段間的轉(zhuǎn)變幾乎無影響。由于破裂過程兩階段的主要控制力不同，顆粒延緩破裂的原因也不同。對于擠壓階段，顆粒層減弱了連續(xù)相對頸部的擠壓作用。對于快速夾斷階段，由于頸部變形速度非?？欤w粒層的作用除了減弱角區(qū)中連續(xù)相液體回流對氣泡的擠壓作用，還阻礙了氣泡的快速形變。氣泡頭部曲率的演化規(guī)律表明，顆粒層能減小氣泡頭部的曲率，當(dāng)氣泡形變程度更大時其發(fā)揮的作用更為明顯。此外，隨著Ca的增加，促使頸部細化的作用力增大，顆粒的影響減弱，納米顆粒穩(wěn)定的氣泡和普通氣泡的冪律指數(shù)的差異減小。

符 號 說 明

A——微通道的橫截面積，m2

H——微通道的高度，m

l0——初始氣泡長度，μm

Kn——氣泡頸部曲率，m-1

Kt——氣泡頸部曲率，m-1

m——指前因子

Qc——連續(xù)相流量，ml·min-1

Qd——分散相流量，ml·min-1

R——氣泡頸部曲率半徑，m

R1——氣泡頭部曲率半徑，m

T——氣泡在Y型分岔口的破裂周期，s

Tc——毛細時間，s

t——時間，s

u——氣液兩相的表觀流速，m·s-1

W——微通道的寬度，m

Wm——氣泡頸部最小寬度，m

α——冪律指數(shù)

μ——液相黏度，Pa·s

ρ——液相密度，kg·m-3

σ——氣液兩相的界面張力，N·m-1