例說“數(shù)學(xué)的眼光”

郜舒竹 馮林

【摘? ?要】我國數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的一個(gè)傳統(tǒng)是重視計(jì)算，學(xué)習(xí)者對于視覺感知和推理的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)不足?！皵?shù)學(xué)的眼光”作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要素之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中得到落實(shí)，可以彌補(bǔ)這樣的缺憾。把數(shù)學(xué)的眼光與視覺感知和推理聯(lián)系起來，讓其成為認(rèn)知主體與外界對象、環(huán)境交往互動(dòng)的過程與結(jié)果，同時(shí)將其發(fā)展為人的一種認(rèn)知能力，具有非常重要的意義。這種能力的強(qiáng)弱會(huì)直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。眼光作為一種認(rèn)知能力，是需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步鍛煉并提升的。利用小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中常見的平面圖形面積關(guān)系的比較，詳細(xì)說明了“數(shù)學(xué)的眼光”具體、狹義的意義。從教育的角度說，這樣的意義不僅是認(rèn)知方面的，而且還包括情感意義的鑒賞。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)的眼光;視覺感知;視覺推理;面積;平面圖形

“數(shù)學(xué)的眼光”被認(rèn)為是數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要素之一。從抽象、廣義的角度說，它可以指向認(rèn)識(shí)事物的思想觀念;從具體、狹義的方面看，它可以指向認(rèn)知實(shí)踐中的過程與方法。為了將數(shù)學(xué)的眼光落實(shí)到數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐中，下面重點(diǎn)討論其具體、狹義的意義，把“眼光（Visualization）”理解為人利用眼睛這一視覺器官“看”的過程與結(jié)果，其中既有“視覺感知（Visual Perception）”獲取信息的過程，也有“視覺推理（Visual Reasoning）”生成想法的思維活動(dòng)[1]。視覺感知主要指看的過程以及形成思維“表征（Representation）”的過程，視覺推理則傾向于感知信息與已有心理“圖式（Schema）”之間相互作用的思維活動(dòng)。

因此眼光是認(rèn)知主體與外界對象、環(huán)境交往互動(dòng)的過程與結(jié)果，同時(shí)也是一種認(rèn)知能力，簡單地說就是“如何看”和“看到什么”的能力。這種能力的強(qiáng)弱會(huì)直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)，許多學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的困難、誤解和錯(cuò)誤都與眼光有關(guān)，眼光作為一種認(rèn)知能力，是需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步鍛煉并提升的。下面以平面圖形的認(rèn)識(shí)以及面積的比較為例進(jìn)行說明。

一、看不見的“相等”

這里的“相等”，更準(zhǔn)確的說法是“等價(jià)（Equivalence）”，指的是不同圖形之間面積大小的關(guān)系。任何一個(gè)封閉的平面圖形，都會(huì)有“質(zhì)（Quality）”與“量（Quantity）”兩方面的認(rèn)知元素，屬于質(zhì)的元素是形狀、顏色等，屬于量的元素是長度、面積、體積、角度等。如果在平面上畫出一個(gè)等腰三角形ABC，將BC邊中點(diǎn)M與頂點(diǎn)A連接成線段AM。那么大三角形ABC就被分為兩個(gè)小三角形ABM和AMC（如圖1）。

這時(shí)通過視覺可以自然地感知到這兩個(gè)小三角形的面積是相等的，判斷的依據(jù)是兩個(gè)小三角形看起來完全相同，也就是“全等（Congruence）”。視覺感知的過程可以伴隨著“具身的（Embodied）”對折動(dòng)作，如果把大三角形ABC視為一張紙，沿著虛線AM對折后，兩個(gè)小三角形可以完全“重合（Superposition）”（如圖2）。

這樣的重合意味著兩個(gè)三角形作為量的面積是相等的，同時(shí)作為質(zhì)的形狀是相同的，判斷的依據(jù)更傾向于質(zhì)性的形狀相同。因此可以說，當(dāng)比較對象質(zhì)與量的關(guān)系一致時(shí)，通常不會(huì)造成認(rèn)知困難。進(jìn)一步，如果將頂點(diǎn)A向右稍加移動(dòng)，使得整個(gè)三角形的形狀發(fā)生變化，呈現(xiàn)出傾斜的狀態(tài)（如圖3），那么兩個(gè)小三角形ABM和AMC的形狀就不一樣了，比較的對象出現(xiàn)了“形異”的情況，這時(shí)比較三角形ABM和AMC的面積是否相等，視覺感知就會(huì)出現(xiàn)困難，因?yàn)檠匾u前面對折的經(jīng)驗(yàn)，無法使得兩個(gè)三角形重合（如圖4）。

在對北京一所小學(xué)五、六年級學(xué)生進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)知道三角形面積公式后，多數(shù)學(xué)生能夠得出兩個(gè)小三角形面積相等的結(jié)論，依據(jù)是“等底等高”。但如果進(jìn)一步問學(xué)生：“除此之外還有什么方法能夠判斷出面積相等？”幾乎無人能夠回答。在對職前、職后教師進(jìn)行調(diào)查后同樣發(fā)現(xiàn)，許多教師也不能回答這樣的問題。

這就反映出數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的一個(gè)問題，重視公式和計(jì)算，輕視針對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行視覺感知和推理的認(rèn)知活動(dòng)。如果把數(shù)學(xué)教學(xué)視為教育的過程，那么提升學(xué)生的認(rèn)知能力自然應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一。為此就需要在課程設(shè)計(jì)與教學(xué)中，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去經(jīng)歷視覺感知和推理的過程，通過圖形的運(yùn)動(dòng)與建構(gòu)，使得看不見的關(guān)系“可視化（Visible）”。

二、從正方形與長方形說起

小學(xué)階段認(rèn)識(shí)平面圖形，通常始于正方形與長方形，而且把正方形視為特殊的長方形。從邏輯分類的角度看，因?yàn)檎叫尉哂虚L方形的所有屬性，因此把正方形視為特殊的長方形是合理的。但從認(rèn)知的視角看，正方形與非正方形的長方形是存在差異的。下文所說的“長方形”都特指長與寬不等，也即非正方形的長方形。那么這樣的長方形與正方形存在哪些認(rèn)知方面的差異？

正方形相對于長方形最明顯的特征是四條邊的長度都相等，如果畫出對角線，將正方形分為兩個(gè)三角形，那么二者形狀、大小都相同。這樣的性質(zhì)可以通過沿著對角線對折重合明顯看出（如圖5）。

長方形則不同，一條對角線將長方形分為兩個(gè)直角三角形，雖然通過視覺可以“感覺（Sensation）”到二者的形狀、大小都相同，但這樣的相同并不能通過沿著對角線對折重合感知到（如圖6）。因此這只是一種感覺，尚未達(dá)到感知的水平。

這就表明，長方形與正方形在視覺感知的過程與方法方面存在差異。對折重合體現(xiàn)的是“軸對稱（Axis Symmetry）”的關(guān)系，是人類經(jīng)驗(yàn)中最熟悉的關(guān)系，諸如人的身體、建筑物、植物等許多熟悉的事物，都或多或少地表現(xiàn)出軸對稱的關(guān)系，因此是最容易通過視覺感知到的。像長方形對角線這樣，不能使得分出的兩個(gè)三角形對折重合，就需要改變視覺感知的方式，這樣的改變自然也是提升認(rèn)知能力的機(jī)會(huì)。

如果把對折或?qū)ΨQ看作一種“動(dòng)態(tài)（Dynamic）”的運(yùn)動(dòng)過程，即利用視覺在看的過程中將圖形作了運(yùn)動(dòng)，那么這種視覺中的圖形運(yùn)動(dòng)，就叫作圖形的“變換（Transformation）”。這樣的運(yùn)動(dòng)或變換其實(shí)質(zhì)是思維中的活動(dòng)，畫在紙上的圖形是靜止的，是觀察圖形的人通過視覺使其發(fā)生了變化，因此這樣的運(yùn)動(dòng)也叫作“虛擬運(yùn)動(dòng)（Fictive Motion）”，是觀察者對客觀對象運(yùn)動(dòng)的想象或思維中的模擬（Simulation）[2]。古希臘歐幾里得的《原本》中對于圖形的全等，就是利用“通過運(yùn)動(dòng)可以重合”定義的[3]。某圖形通過運(yùn)動(dòng)能夠與另一圖形完全重合，就說這兩個(gè)圖形的形狀和大小完全相同，也就是全等。其中的運(yùn)動(dòng)其實(shí)是虛擬的運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)過程保持了圖形的形狀和大小不變，因此也叫作“剛體運(yùn)動(dòng)（Rigid Motion）”[4]。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的圖形運(yùn)動(dòng)不僅包括對稱，還有平移和旋轉(zhuǎn)。用旋轉(zhuǎn)的眼光看長方形對角線分出的兩個(gè)三角形（如圖7），最左側(cè)的陰影三角形沿著對角線中點(diǎn)，逆時(shí)針（也可以順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)180度，就與另外一個(gè)三角形完全重合。因此運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的認(rèn)知方式，就可以感知到長方形對角線所分出的兩個(gè)三角形全等。

雖然結(jié)論與正方形相同，但視覺感知和推理的過程是不一樣的。正方形可以同時(shí)運(yùn)用軸對稱和旋轉(zhuǎn)的方式實(shí)現(xiàn)重合，而長方形只能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方式。教學(xué)中讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷并辨別這樣的過程差異，對于提升學(xué)生的視覺感知能力是十分必要的。接下來進(jìn)一步看長方形和平行四邊形在認(rèn)知過程方面的差異。

三、長方形與平行四邊形

平行四邊形對角線所分出的兩個(gè)三角形同樣具備形同量等的全等關(guān)系。視覺感知和推理的過程與長方形類似，同樣可以通過圍繞對角線中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度實(shí)現(xiàn)兩個(gè)三角形重合（如圖8）。

但二者在軸對稱方面存在差異。對于長方形，如果連接相對兩邊的中點(diǎn)作出直線，那么這樣的直線就成為對稱軸，也就是可以實(shí)現(xiàn)分出的兩個(gè)小長方形對折重合。但平行四邊形（非長方形，下文同）不具備這樣的軸對稱性，也即相對兩邊中點(diǎn)連線，將大平行四邊形分為兩個(gè)小平行四邊形，二者不能實(shí)現(xiàn)對折重合（如圖9）。

因此非長方形的平行四邊形不具備軸對稱的性質(zhì)，也即沒有任何一條直線可以成為平行四邊形的對稱軸，而長方形可以通過連接相對兩邊中點(diǎn)得到兩條對稱軸。因此長方形具有軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形不具備這個(gè)性質(zhì)，這是長方形與平行四邊形最大的差別。盡管如此，平行四邊形相對兩邊中點(diǎn)連線所分出的兩個(gè)小平行四邊形仍存在全等關(guān)系，這樣的關(guān)系可以通過旋轉(zhuǎn)重合看出（如圖10）。

將圖10中的陰影平行四邊形，沿著逆時(shí)針（或順時(shí)針）方向，繞相對兩邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，就可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)小平行四邊形完全重合。至此得到了正方形、長方形和平行四邊形共同的性質(zhì)：

l對邊中點(diǎn)連線和對角線將圖形分為兩個(gè)形狀、大小完全相同的圖形。

從軸對稱的角度說，正方形具有最強(qiáng)的對稱性，有兩條對邊中點(diǎn)連線和兩條對角線作為對稱軸;長方形次之，有兩條相對兩邊中點(diǎn)連線作為對稱軸;平行四邊形沒有對稱軸。從旋轉(zhuǎn)的角度說，三者都有旋轉(zhuǎn)中心，可以通過旋轉(zhuǎn)一定角度實(shí)現(xiàn)重合，這樣的圖形也可以說具有“旋轉(zhuǎn)對稱（Rotational Symmetry）”的性質(zhì)。旋轉(zhuǎn)對稱的一個(gè)特殊情況，即旋轉(zhuǎn)180度可以實(shí)現(xiàn)重合的兩個(gè)圖形，也叫作“中心對稱（Central Symmetry）”或“點(diǎn)對稱”，因此，正方形、長方形和平行四邊形不僅具有旋轉(zhuǎn)對稱性，也具有中心對稱性。

具有旋轉(zhuǎn)對稱性以及中心對稱性的圖形有很多，如我國經(jīng)典的“陰陽八卦圖”并非軸對稱，而是一個(gè)典型的旋轉(zhuǎn)（中心）對稱圖形（如圖11），即圖中陰影部分圍繞大圓圓心旋轉(zhuǎn)180度，就可以與右側(cè)部分重合。古今中外藝術(shù)作品中，這樣的旋轉(zhuǎn)對稱現(xiàn)象十分普遍?？梢哉f，“對稱性”是視覺藝術(shù)審美的核心要素。

四、回到三角形

回到文初關(guān)于三角形的問題，為了能夠看出圖1中兩個(gè)小三角形ABM和AMC面積相等，就需要將“形異”變?yōu)椤靶瓮?，也就是要將視覺感知和推理方式進(jìn)行改變，將原圖進(jìn)行重新建構(gòu)。從前面的討論可以知道，一個(gè)平行四邊形對角線分出的兩個(gè)三角形可以通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)重合。那么，反過來看，三角形也應(yīng)當(dāng)可以通過旋轉(zhuǎn)形成平行四邊形（如圖12）。

圖12左圖中兩個(gè)小三角形ABM和AMC分別繞AB邊和AC邊中點(diǎn)，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，就可以形成右圖兩個(gè)平行四邊形AMBD和AMCE，并且二者拼接為一個(gè)大平行四邊形DECB。也可以通過將線段BM和MC分別向上平移成為DA和AE，線段AM分別向左、右平移，成為BD和CE，同樣得到大平行四邊形DECB。

其中點(diǎn)A和點(diǎn)M分別是大平行四邊形DECB中DE邊和BC邊的中點(diǎn)。根據(jù)之前的經(jīng)驗(yàn)，線段AM將大平行四邊形DECB分為兩個(gè)形狀、大小完全相同的小平行四邊形，因此三角形ABC的兩條邊AB和AC相當(dāng)于同一個(gè)平行四邊形的兩條對角線，自然就說明每個(gè)三角形的面積都是同一個(gè)平行四邊形面積的二分之一，因此其面積是相等的。三角形一邊中點(diǎn)與對面頂點(diǎn)的連線，叫作這個(gè)三角形的一條“中線（Median）”。因此前面通過圖形運(yùn)動(dòng)的視覺感知和推理得到的結(jié)論可以表述為：

l任意三角形的一條中線所分出的兩個(gè)三角形面積相等。

雖然這樣的結(jié)論可以通過三角形面積公式以及等底等高的條件輕易得到，但這只是邏輯意義的概念，缺少情感意義的“自然而然”。運(yùn)用視覺感知“看出來”，使得認(rèn)知過程和結(jié)果更加親切自然，具有了“美學(xué)（Aesthetics）”的意蘊(yùn)，使得認(rèn)知過程融入了對于對稱現(xiàn)象的鑒賞體驗(yàn)和愉悅的情感體驗(yàn)，對于引發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)十分有益。不僅如此，這樣視覺感知和推理的經(jīng)驗(yàn)可以使得許多所謂的難題變得顯而易見。2011年國際著名的期刊《數(shù)學(xué)教育研究》（Educational Study in Mathematics）發(fā)表了一篇對高中學(xué)生關(guān)于面積守恒認(rèn)知能力的調(diào)查研究報(bào)告，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生對于下面的問題存在認(rèn)知困難。[5]

問題：如圖（圖13），兩個(gè)相同的正方形有一個(gè)共同的頂點(diǎn)，二者之間有兩個(gè)三角形（陰影）。這兩個(gè)三角形面積相等嗎？

這一問題與前面三角形中線問題類似，兩個(gè)三角形形狀不同。不僅如此，二者底邊長度和高的長度也明顯不同，因此三角形面積公式就失去了作用。如果對于平面圖形面積的學(xué)習(xí)僅僅是“公式+計(jì)算”，那么對于這樣的問題自然會(huì)束手無策。如果有了前面關(guān)于視覺感知和推理的經(jīng)驗(yàn)，在視覺中可以將下面小三角形沿著逆時(shí)針（或順時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)90度，將兩個(gè)三角形拼接成為一個(gè)大三角形（如圖14）。

那么這兩個(gè)小三角形就是在同一個(gè)大三角形中用中線分開的兩個(gè)小三角形，其面積自然應(yīng)當(dāng)是相等的。此外，也可以將上面的小三角形沿著逆時(shí)針（或順時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)90度，再將兩個(gè)三角形拼接起來。同樣可以看出二者面積相等（如圖15）。

通過運(yùn)動(dòng)將圖形進(jìn)行重構(gòu)，是視覺感知和推理的重要方面，這種重構(gòu)的過程與方法也是多樣的。在對小學(xué)六年級學(xué)生進(jìn)行的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生利用上、下兩個(gè)三角形都是等腰三角形，用豎直線段將兩個(gè)三角形平分，然后將下面左側(cè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，右側(cè)三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而感知到相等關(guān)系（如圖16）。

具體來說，就是將下面三角形的左側(cè)部分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，右側(cè)部分逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，與上面的三角形拼接成為一個(gè)長方形（如圖17）。

這時(shí)利用長方形相關(guān)性質(zhì)，相等關(guān)系就一目了然了。盡管這樣的視覺感知和推理的過程是依賴直觀感受，并非嚴(yán)格的證明，但從素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來說，這樣的過程對于提升學(xué)生視覺感知和推理的能力十分有益，也是圖形認(rèn)知不可逾越的階段。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程中關(guān)于平面圖形面積的教學(xué)，一般按照長方形（正方形）、平行四邊形、三角形、梯形、圓形的順序進(jìn)行，依次推導(dǎo)出面積公式，而后運(yùn)用公式進(jìn)行面積計(jì)算。這樣的課程安排與教學(xué)重視的是公式和計(jì)算，缺乏關(guān)于面積之間關(guān)系的感知和推理。因此在課程設(shè)計(jì)與教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)增加指向視覺感知和推理的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在運(yùn)用眼光“看”的活動(dòng)中提高視覺感知和推理的能力。

在重視視覺感知學(xué)習(xí)活動(dòng)的同時(shí)，也應(yīng)注意其局限性。視覺感知過程中存在著“視覺誤差（Visual Illusion）”，也就是似是而非的現(xiàn)象。比如著名的“桑德平行四邊形（Sander Parallelogram）”，是將一個(gè)等腰三角形（圖18右）放在一個(gè)傾斜的平行四邊形中（圖18左），這個(gè)三角形兩條相等的邊，在視覺中顯得不相等了。[6]

應(yīng)當(dāng)相信，任何認(rèn)知活動(dòng)都不可能是十全十美的，人的認(rèn)知過程和認(rèn)知活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是綜合的、多樣的。有視覺感知的活動(dòng)，就應(yīng)當(dāng)伴隨思維的推理和想象的活動(dòng);有解釋、證明正確的活動(dòng)，就應(yīng)當(dāng)伴隨辨別謬誤的“證偽（Refutation）”活動(dòng)。學(xué)生只有在這樣豐富多樣的活動(dòng)中才有可能在各個(gè)方面獲得更全面的發(fā)展。如果把人的智力活動(dòng)概括為以下六點(diǎn)：感覺（Sensation）、感知（Perception）、推理（Reasoning）、想象（Imagination）、象征（Symbolism）、文化（Culture），那么視覺感知和推理是其中最為基礎(chǔ)，也是最為重要的階段。如果把數(shù)學(xué)中利用公式的計(jì)算視為是“量化（Quantitative）”的程序操作，那么視覺感知和推理更偏向于“質(zhì)性（Qualitative）”的感知和推理，強(qiáng)調(diào)“看”的過程和“看出”結(jié)果，而不僅是“算”的過程和“算出”結(jié)果。這樣“看”的活動(dòng)和“看出”的能力，不僅可以鍛煉認(rèn)知能力，而且可以實(shí)現(xiàn)對于“美”的情感意義的鑒賞。教師應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)中對此引起高度重視，讓學(xué)生經(jīng)歷“看+想+做”的全過程，將培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”真正落實(shí)到學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中。

參考文獻(xiàn)：

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）