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    和式極限的一致等價(jià)替換定理

    2022-01-22 01:59:00王德榮黃永忠
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年6期
    關(guān)鍵詞:鈔本寶貴意見華中科技大學(xué)

    王德榮, 黃永忠, 邵 琨

    (華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,武漢 430074)

    1 引 言

    2 和式極限的相關(guān)定理及應(yīng)用

    |βkn/αkn-1|<ε(k=1,2,…,n),

    則稱αkn與βkn在n→∞時(shí)關(guān)于k=1,2,…,n為一致等價(jià)的.簡(jiǎn)稱αkn與βkn關(guān)于k一致等價(jià),也稱αkn的一致等價(jià)量為βkn.

    由定義1可直接得到以下兩個(gè)引理,用于判別一致等價(jià)性.

    定理2若f(x)在[0,1)上有m階導(dǎo)數(shù),且

    f(0)=f′(0)=…=f(m-1)(0)=0,f(m)(0)=c≠0,

    證x∈(0,1)時(shí),利用Taylor公式

    注 參考文獻(xiàn)[3-4]中僅考慮到α,β為正整數(shù)的情形,定理2給出的是更一般的結(jié)論.

    例1計(jì)算以下和式極限.

    解(i)令f(x)=x-sinx,則

    f(0)=f′(0)=f″(0)=0,f?(0)=1,

    因此

    應(yīng)用定理1與定理3計(jì)算以下極限.

    錢泰吉(1791—1863)《曝書雜記》:“余昔有明初抄本,即《解題》所載本”。可見宋末新出現(xiàn)的這個(gè)本子在明初尚有鈔本,且至少流傳到清錢泰吉(1791—1863)之世。

    3 和式極限的收斂階

    以下以命題的形式給出一些和式極限的收斂階.

    (i)若β>-1,

    (ii)若β=-1,

    (iii)若β<-1,

    當(dāng)α>-1時(shí),

    利用定理1可得

    而α=-1時(shí),

    3 結(jié) 論

    給出了求和式極限的一致等價(jià)替換原理,得到了極限

    致謝作者非常感謝參考文獻(xiàn)[2-4]對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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