零點(diǎn)定理教學(xué)研究與設(shè)計(jì)

趙志紅， 傅雙雙， 蘇永美

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

1 引 言

2018年11月24日, 教育部高等教育司司長吳巖在第十一屆“中國大學(xué)教學(xué)論壇”上提出了具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度即“兩性一度”的“金課”標(biāo)準(zhǔn).微積分是大學(xué)教學(xué)中十分重要的一門公共基礎(chǔ)理論課, 肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維, 創(chuàng)新能力的使命, 為其它后續(xù)數(shù)學(xué)以及專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).但微積分課程的教學(xué)內(nèi)容多, 知識(shí)難度大, 課時(shí)緊張以及大班授課等特點(diǎn), 使其課堂教學(xué)通常剝離實(shí)際問題, 主要從理論推導(dǎo)角度講授, 使得很多知識(shí)都不易理解, 導(dǎo)致一些學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣.所以各大高校的教師們積極探索大學(xué)課程的新型教學(xué)模式.在新型教學(xué)模式下, 教師們不僅要不斷的挖掘生活中的有趣案例[1-2], 而且要處理好實(shí)際案例與相關(guān)數(shù)學(xué)理論的相互滲透, 這樣才可以提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量,才有利于學(xué)生對(duì)微積分基本思想與方法的全面理解和把握, 有利于學(xué)生由具體問題到抽象數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng),以及創(chuàng)新性思維, 科學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.

零點(diǎn)定理是高等數(shù)學(xué)中連續(xù)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì), 主要用于方程根的存在性證明以及與微分中值定理綜合運(yùn)用, 實(shí)際上零點(diǎn)定理還有非常多的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.目前, 關(guān)于零點(diǎn)定理的課程設(shè)計(jì)不多, 已有的課程設(shè)計(jì)主要是定理的簡單引入以及一些簡單應(yīng)用[3].筆者發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)定理是有一定深度和廣度的, 可以做到“兩性一度”.本文首先從橡皮筋問題引出零點(diǎn)定理, 分析如何從實(shí)際問題出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型[4], 使學(xué)生通過解決橡皮筋問題, 發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)定理, 這是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程.接著, 借助幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生證明零點(diǎn)定理, 加深學(xué)生對(duì)零點(diǎn)定理的理解, 不僅知其然, 而且知其所以然, 這提高了課程的挑戰(zhàn)度.進(jìn)一步將零點(diǎn)定理應(yīng)用到方鏡框問題, 這是一個(gè)既有趣味性又能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的例子, 對(duì)這個(gè)問題的解決不僅可以開拓學(xué)生的視野, 引導(dǎo)學(xué)生踮起腳尖對(duì)高層次的知識(shí)進(jìn)行構(gòu)建, 而且學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到一個(gè)簡單的定理可以解決復(fù)雜的問題, 這體現(xiàn)了課程的高階性.最后提出零點(diǎn)定理的進(jìn)一步擴(kuò)展思考, 并引申到了學(xué)術(shù)前沿問題, 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì), 引導(dǎo)學(xué)生自主探究, 這體現(xiàn)了課程的創(chuàng)新性.在講解過程中深入淺出的展示一些實(shí)際問題背后的數(shù)學(xué)理論.這個(gè)過程不僅可以幫助學(xué)生深刻地理解零點(diǎn)定理, 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力, 而且讓學(xué)生可以更好地領(lǐng)略數(shù)學(xué)的深?yuàn)W與美妙.

2 零點(diǎn)定理的引入

引入是非常重要的環(huán)節(jié).如果一開始直接介紹零點(diǎn)定理, 學(xué)生會(huì)感覺枯燥沒有興趣.為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,選用一個(gè)有趣味的橡皮筋問題[3]來引入本節(jié)課內(nèi)容.這個(gè)問題簡單直觀, 卻蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.

引例拉一根橡皮筋, 一頭朝左拉, 同時(shí)另一頭朝右拉, 在橡皮筋不拉斷的情況下是否有一點(diǎn)在原來的位置不動(dòng)?

分析 這個(gè)問題直觀明了, 提出問題后學(xué)生容易理解并給出自己的猜測(cè).但是, 為了科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)鼗卮疬@個(gè)問題, 還需要把它抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題, 通過建立數(shù)學(xué)模型[4]對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行分析和回答.實(shí)際上, 分析這個(gè)數(shù)學(xué)問題的過程就是零點(diǎn)定理學(xué)習(xí)的過程.

模型假設(shè) 對(duì)橡皮筋進(jìn)行必要的假設(shè): 橡皮筋為一維直線段.

模型構(gòu)建 引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言把拉橡皮筋時(shí)的條件和結(jié)論表示出來.

由模型假設(shè), 可以將橡皮筋放置在x軸上, 橡皮筋上各點(diǎn)位置用x表示, 即x∈[a,b].橡皮筋拉開之后各點(diǎn)的位置為f(x), 在橡皮筋拉伸的過程中, 函數(shù)f(x)是連續(xù)變化的, 且拉伸后橡皮筋的左端點(diǎn)滿足f(a)b, 如圖1所示.這樣拉橡皮筋問題就可以歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題：

圖1 橡皮筋拉伸示意圖

命題如果函數(shù)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù), 滿足f(a)b, 則存在x∈(a,b)使得x=f(x).

幾何分析 構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-x,x∈[a,b], 則F(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù), 且滿足F(a)<0,F(b)>0.從幾何角度出發(fā)簡單的分析一下, 輔助函數(shù)y=F(x)在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)的曲線,F(a)<0表示曲線在端點(diǎn)a處的值在x軸下面,F(b)>0表示曲線在端點(diǎn)b處的值在x軸上面, 那么這條連續(xù)曲線必然在某一點(diǎn)ξ∈(a,b)穿過x軸, 如圖2所示.因此在ξ處有F(ξ)=0, 即ξ=f(ξ).

圖2 F(x)的圖形

問題得證.由此可以自然地引出零點(diǎn)定理.

3 零點(diǎn)定理

3.1 零點(diǎn)定理的內(nèi)容

零點(diǎn)定理又稱為布爾查諾定理, 是由捷克數(shù)學(xué)家布爾查諾(Bolzano，1781-1848)提出的[5].

零點(diǎn)定理[6]函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 且滿足f(a)f(b)<0, 則至少存在一個(gè)ξ∈(a,b), 使得f(ξ)=0.

從幾何角度, 零點(diǎn)定理說明函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)與x軸至少存在一個(gè)交點(diǎn).從代數(shù)角度, 零點(diǎn)定理說明方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.零點(diǎn)定理的證明需要用到實(shí)數(shù)理論的相關(guān)知識(shí), 因此高等數(shù)學(xué)教材都沒有給出證明.但從幾何直觀角度, 可以引導(dǎo)學(xué)生探索分析問題, 如果采用二分法會(huì)得到怎樣的結(jié)果呢？

3.2 二分法證明零點(diǎn)定理

二分法主要是通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二, 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn), 進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn).

二分法求零點(diǎn)的步驟：

函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0, 不妨設(shè)f(a)<0,f(b)>0.

(i)如果f(x0)=0, 則x0就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn), 結(jié)論得證；

(ii)如果f(x0)>0, 可令a1=a,b1=x0；

(iii)如果f(x0)<0, 則令a1=x0,b1=b；

(i)如果f(x1)=0, 則x1就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；

(ii)如果f(x1)>0, 令a2=a1,b2=x1；

(iii)如果f(x1)<0, 令a2=x1,b2=b1；

…………

因此f(c)=0.

整個(gè)證明過程用到的都是高等數(shù)學(xué)中學(xué)生已知的知識(shí).但老師引導(dǎo)學(xué)生“跳一跳”后, 學(xué)生是可以理解的.在一定程度上體現(xiàn)了教學(xué)的“挑戰(zhàn)度”.

3.3 零點(diǎn)定理解題步驟

在高等數(shù)學(xué)課程中重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握如何運(yùn)用零點(diǎn)定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性.運(yùn)用零點(diǎn)定理解題的步驟:

一、構(gòu)造連續(xù)的輔助函數(shù)f(x), 使得問題變?yōu)榍蠼夥匠蘤(x)=0的根；

二、尋找閉區(qū)間[a,b], 使得f(x)在左右端點(diǎn)處的值異號(hào).

4 應(yīng)用探索—方鏡框問題[7]

4.1 問題描述

給定平面上的一條簡單的光滑封閉曲線, 能否作一個(gè)各邊都與曲線相切, 且包含這條閉曲線的正方形?

4.2 問題分析

這個(gè)問題比之前的橡皮筋問題復(fù)雜很多, 而且涉及到許多概念, 如區(qū)域、邊界、光滑曲線和相切等.筆者簡單解釋一下題目中出現(xiàn)的幾個(gè)概念.簡單閉曲線是指平面上一條除起點(diǎn)與終點(diǎn)外, 不自交的連續(xù)曲線, 也就是平面上一條沒有重點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, 也稱Jordan閉曲線.光滑曲線是指曲線上的每一點(diǎn)處都有切線, 且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)[8].

顯然, 對(duì)于一些特殊的簡單光滑閉曲線這個(gè)問題是顯然成立的, 如圓、橢圓, 見圖3.那么對(duì)于一般的光滑閉曲線呢？答案也是肯定的.

圖3 圓(左)、橢圓(右)滿足方鏡框問題

由于包含閉曲線的方形的邊是由閉曲線的切線組成的, 可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一條簡單光滑閉曲線及其各點(diǎn)切線有什么樣的性質(zhì).一條簡單光滑閉曲線具有下面兩個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)1簡單光滑閉曲線是連續(xù)周期函數(shù), 閉曲線上的每一點(diǎn)處都有切線, 且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).

性質(zhì)2閉曲線上的切線可以組成無數(shù)個(gè)包含這個(gè)閉曲線的矩形, 并且矩形的邊長是隨著曲線上的點(diǎn)連續(xù)變化的.

對(duì)于性質(zhì)1, 建立直角坐標(biāo)系, 并在閉曲線上任意選定一點(diǎn)(x0,y0), 令s表示從(x0,y0)出發(fā)逆時(shí)針方向到曲線上任一點(diǎn)(x,y)的弧長, 如圖4, 則點(diǎn)(x,y)可以表示為

圖4 參數(shù)表示

令L表示閉曲線的弧長, 則有(x(s+L),y(s+L))=(x(s),y(s)).另外, 由于閉曲線是連續(xù)的, 則

即(x(s),y(s))連續(xù), 由此可以看出簡單光滑閉曲線是連續(xù)周期函數(shù).又由光滑曲線的定義可知曲線上的每一點(diǎn)處都有切線, 且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).

下面分兩種情況討論性質(zhì)2.為了便于理解, 對(duì)曲線的切線規(guī)定一個(gè)正方向, 即一個(gè)人在閉曲線上且面向閉曲線所圍區(qū)域時(shí), 此人的右側(cè)為切線的正方向.

情形1 閉曲線位于曲線上任一點(diǎn)切線的一側(cè)(圖5(a)).將閉曲線上的點(diǎn)都平移到原點(diǎn), 則閉曲線上的切線形成圖5(b), 由于曲線光滑, 所以切線的斜率是連續(xù)變化的.那么閉曲線上任取一點(diǎn), 一定可以找到曲線上其余三點(diǎn), 使這四個(gè)點(diǎn)處的切線相互垂直, 這樣過曲線上任一點(diǎn)一定可以找到其余三點(diǎn), 使得這四個(gè)點(diǎn)的切線組成的矩形包含這條閉曲線(圖5(c)).由于曲線是光滑的, 所以矩形的邊長是隨著曲線上的點(diǎn)連續(xù)變化的.

圖5 情形1

圖6 情形2

4.3 問題解答

模型構(gòu)建 關(guān)鍵問題是用數(shù)學(xué)語言把包含閉曲線的正方形出現(xiàn)的條件和結(jié)論表示出來.

用變量x表示閉曲線上點(diǎn)的位置.由性質(zhì)1, 設(shè)閉曲線的周期為L, 即x+L又回到x.由性質(zhì)2, 以閉曲線上一點(diǎn)x處的切線為邊, 且包含閉曲線的矩形的邊長為分別為f(x)和g(x), 如圖7所示.邊長f(x)對(duì)應(yīng)的切線的切點(diǎn)為x, 邊長g(x)對(duì)應(yīng)的切線的切點(diǎn)為x+L1, 矩形與閉曲線的另外兩個(gè)切點(diǎn)分別為x+L1+L2,x+L1+L2+L3,這里L(fēng)i>0,i=1,2,3,且L1+L2+L3

圖7 矩形的邊長

f(x)=f(x+L1+L2),g(x)=g(x+L1+L2),

且當(dāng)x轉(zhuǎn)到x+L1時(shí)得到與原來相同的矩形，于是

f(x+L1)=g(x),g(x+L1)=f(x+L1+L2)=f(x).

這樣, 不妨設(shè)從x=0開始改變點(diǎn)x的位置, 使包含閉曲線的矩形為正方形可歸結(jié)為如下數(shù)學(xué)命題:

命題已知f(x),g(x)為閉區(qū)間[0,L]上的連續(xù)函數(shù), 滿足

f(L1)=g(0),g(L1)=f(0),L1

證明存在一點(diǎn)x0∈[0,L1], 使得f(x0)=g(x0).

模型求解 如果在x=0處滿足f(0)=g(0), 則問題得證.如果在x=0處f(0)≠g(0),不妨設(shè)f(0)>g(0),構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x), 顯然F(x)在[0,L]上連續(xù), 且滿足

F(0)=f(0)-g(0)>0,F(L1)=f(L1)-g(L1)=g(0)-f(0)<0,

由零點(diǎn)定理, 可得至少存在點(diǎn)x0∈(0,L1), 使得F(x0)=0, 即f(x0)=g(x0).因此, 必存在一點(diǎn)x0∈[0,L1],使得f(x0)=g(x0).

因此, 給定平面上的一條簡單光滑閉曲線, 一定可以做一個(gè)包含這條閉曲線的正方形并且它的四邊都與曲線相切.對(duì)方鏡框問題的解決在一定程度上體現(xiàn)了教學(xué)的“高階性”, 可以培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力.

4.4 拓展思考

(i)給定平面上的一條簡單光滑閉曲線, 能否作一個(gè)各邊與曲線相切, 且包含這條閉曲線的等邊三角形? 是否存在滿足條件的正五邊形, 正六邊形, … , 正n邊形？

(ii)閉凸曲線上的Square Peg Problem: 給定平面上的一條簡單光滑的凸(曲線總是位于它的每一點(diǎn)切線的同一側(cè))閉曲線, 能否做一個(gè)內(nèi)接正方形(正方形各點(diǎn)都在曲線上), 如圖8所示.(提示: 模型假設(shè)部分可以通過內(nèi)接直角梯形證明以簡單閉凸曲線上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn), 一定存在內(nèi)接矩形; 然后利用零點(diǎn)定理.)

圖8 內(nèi)接正方形

(iii)上面這個(gè)問題是1911年德國數(shù)學(xué)家Otto Toeplitz提出的Square Peg Problem的簡化版.一般的Square Peg Problem描述如下: 平面上任意一條簡單閉曲線, 是否存在內(nèi)接正方形? 這是一個(gè)百年老問題至今未解決.2020年新冠肺炎疫情期間波士頓學(xué)院的Joshua Evan Greene和英國杜倫大學(xué)的Andrew Lobb 兩位數(shù)學(xué)家解決了Rectangular Peg Problem: 平面上任意簡單閉曲線存在任意給定長寬比的內(nèi)接矩形.這個(gè)研究成果離Square Peg Problem的結(jié)論越來越近了.這樣在日常的教學(xué)中聯(lián)系學(xué)術(shù)前沿, 可以培養(yǎng)學(xué)生的“創(chuàng)新性”.

5 教學(xué)效果評(píng)價(jià)

通過“橡皮筋問題”引入零點(diǎn)定理是否有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 學(xué)生能否理解運(yùn)用二分法對(duì)零點(diǎn)定理進(jìn)行證明以及運(yùn)用零點(diǎn)定理對(duì)“方鏡框問題”進(jìn)行討論, 拓展到閉凸曲線上的Square Peg Problem以及學(xué)術(shù)前沿問題學(xué)生是否覺得有意義等問題, 筆者針對(duì)北京科技大學(xué)2020級(jí)機(jī)械、能源兩個(gè)專業(yè)78名同學(xué)進(jìn)行課堂教學(xué)并做了調(diào)查問卷, 結(jié)果如圖9所示.課堂教學(xué)實(shí)踐表明, 學(xué)生們?nèi)坛两n堂, 對(duì)本文提出的教學(xué)設(shè)計(jì)有較高的認(rèn)可度, 教學(xué)效果良好.

圖9 統(tǒng)計(jì)直方圖

6 結(jié) 論

零點(diǎn)定理是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理, 在許多數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)中發(fā)揮重要作用.本文的教學(xué)設(shè)計(jì)始終貫徹以學(xué)生為中心, 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn), 從有趣的問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題, 探究定理, 并從幾何直觀的角度引導(dǎo)學(xué)生探求定理的證明思路, 最后利用零點(diǎn)定理研究了方鏡框問題以及閉凸曲線上的Square Peg Problem, 將經(jīng)典的微積分理論同科研前沿聯(lián)系.這樣的設(shè)計(jì)不僅體現(xiàn)了教學(xué)上的“兩性一度”, 更有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.