不同邊界條件矩形薄板受力分析的解析解法

孟陽君

(湖南文理學院， 湖南 常德 415000)

0 薄板理論研究現(xiàn)狀

大量橋梁結(jié)構(gòu)的行車道板為矩形薄板結(jié)構(gòu)，研究矩形薄板的受力情況可為橋梁行車道板的設計提供依據(jù)。

綜上所述，采用數(shù)值分析或有限元的方法分析研究薄板已經(jīng)比較成熟，但是研究任意荷載作用下任意邊界條件的矩形薄板的解析解仍然具有一定意義。

1 不同邊界矩形薄板的受力分析

1.1 四邊簡支

圖1為四邊形簡支矩形薄板，在均布荷載q作用下，其受力方程見式(1)。

圖1 四邊簡支矩形薄板受力分析計算圖示

(1)

四邊簡支矩形薄板的邊界條件見式(2)。

(2)

假設：

(3)

式(3)求導代入式(1)：

(4)

將荷載q也按重三角級數(shù)展開：

(5)

(6)

承受荷載q的四邊簡支矩形薄板的撓度：

(7)

1.2 兩邊簡支、兩邊自由

圖2為兩邊簡支、兩邊自由的矩形薄板。在均布荷載q作用下，其受力方程見式(1)，邊界條件見式(8)。

圖2 兩邊簡支、兩邊自由矩形薄板受力分析計算圖示

(8)

以：

(9)

求導整理代入式(1)得：

(10)

將q也展為傅立葉級數(shù)：

(11)

整理比較可得:

(12)

式(9)的一般解為：

(13)

(14)

(15)

結(jié)合邊界條件式(14)，且q0作用下w應為ym偶函數(shù)，即Bm=Cm=0，

(16)

(m=1，3，5,…)

(17)

計算分析可得：

(18)

(μ-1)。

1.3 四邊固支

圖3為四邊固支的矩形薄板，在均布荷載q作用下，其受力方程見式(1)，邊界條件見式(19)。

圖3 四邊固支矩形薄板受力分析計算圖示

(19)

承受均布荷載q，四邊簡支矩形板在圖3所示的新坐標系中的撓度見式(20)。

(20)

在邊緣y=b/2上，板的轉(zhuǎn)角見式(21)。

(21)

(22)

(23)

將式(22)對x求導，并令x=a/2，得式(24)。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

結(jié)合邊界條件，可得：

(29)

(30)

式(29)對任意x都成立，分析整理可得包含Ei和Fi的方程組，見式(31)；式(30)對任意的y都成立，分析整理可得式(32)。

(31)

(32)

求解上述方程組可得Ei和Fi的具體表達式，代入w1、w2的表達式，即可得到四邊固支的矩形薄板在均布荷載作用下的撓度w撓度=w+w1+w2。

1.4 四邊彈性支撐

計算分析模型見圖3。假設板的邊緣與一支撐梁(梁的彎曲剛度為EI，扭轉(zhuǎn)剛度為GJ)固結(jié)，則沿此邊緣板的撓度等于梁的撓度，板的轉(zhuǎn)動等于梁的扭轉(zhuǎn)。

(33)

(34)

承受均布荷載q，撓度見式(35)。

(36)

結(jié)合邊界條件，即可求解An、Bn、Cn、Dn常數(shù)，限于篇幅，具體表達式略。

當薄板任意一點(ξ，η)受荷載集度F作用，可以用微分面積dxdy上的均布荷載F/dxdy來代替分布荷載q，相應求得撓度表達式。

2 數(shù)值驗證

假定矩形薄板a×b為1 m×1 m，厚度t為0.1 m，彈性模量E=3.0×1010Pa，泊松比μ=0.3，承受均布荷載q=1.0 kN/m2，數(shù)值計算采用MIDAS軟件進行。理論計算與數(shù)值計算結(jié)果見表1。其中：①為四邊簡支；②為兩邊簡支，兩邊自由；③為四邊固支；④為四邊彈性支撐，四邊彈性支撐梁為0.1 m×0.2 m的矩形截面梁。

表1 理論與數(shù)值計算結(jié)果一覽表邊界條件中心撓度/(kN·m)MIDAS理論分析誤差/%①1.478×10-61.479×10-6-0.067 6②4.722×10-64.766×10-6-0.923 2③4.733×10-74.609×10-72.62④8.163×10-68.195×10-6-0.390 5

各種邊界條件下，矩形薄板的彎矩分布見圖4～圖7。由圖可看出，四邊支撐矩形薄板的彎矩Mxx、Myy呈現(xiàn)環(huán)形分布，越靠近中心彎矩越大；對邊支撐的矩形薄板沿支撐邊方向彎矩呈現(xiàn)帶狀分布，另一垂直方向彎矩也呈現(xiàn)環(huán)狀分布，越靠近中心彎矩越大。四邊固支矩形薄板板邊有較大的彎矩分布，結(jié)構(gòu)設計應予加強。

a) Mxx

a) Myy圖4 四邊簡支矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

a) Mxx

a) Myy圖5 兩邊簡支、兩邊自由矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

a) Mxx

a) Myy圖6 四邊固支矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

a) Mxx

a) Myy圖7 四邊彈性支撐矩形薄板的彎矩Mxx、Myy分布

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心撓度不同；邊界約束越強，中心撓度越小。四邊彈性約束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心撓度越小。

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心彎矩不同；邊界約束越強，中心彎矩越??；四邊彈性約束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心彎矩越小。

表1表明，數(shù)值計算結(jié)果與解析結(jié)果相比，撓度最大誤差為2.62%，滿足工程精度要求。再次證明理論分析結(jié)果是正確、可靠的，同時也驗證了MIDAS軟件薄板單元計算的準確性。

3 結(jié)語

矩形薄板在均布荷載作用下，推導了四類邊界條件下的解析解，并通過MIDAS軟件進行驗證，證明了理論分析結(jié)果的準確性。

四邊支撐矩形薄板的彎矩Mxx、Myy呈現(xiàn)環(huán)形分布，越靠近中心彎矩越大；對邊支撐的矩形薄板沿支撐邊方向彎矩呈現(xiàn)帶狀分布，另一垂直方向彎矩也呈現(xiàn)環(huán)狀分布，越靠近中心彎矩越大。四邊固支矩形薄板板邊有較大的彎矩分布，結(jié)構(gòu)設計應予加強。

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心撓度不同。邊界約束越強，中心撓度越?。凰倪厪椥约s束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心撓度越小。

均布荷載作用下，不同邊界條件，板中心的彎矩不同。邊界約束越強，中心彎矩越?。凰倪厪椥约s束下，板中心撓度與四邊約束梁的剛度有關(guān)，梁剛度越大，板中心彎矩越小。