寬限相依樣本下頻率插值估計的強(qiáng)相合性

邢國東,康晴晴

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 合肥 230601)

首先,讓我們回顧一下寬限相依隨機(jī)變量的概念,此概念是由Wang等[1]給出的。具體定義如下所示。

定義1 首先,一有限隨機(jī)變量集{Xi,1≤i≤n}被稱為寬上限相依的(簡記為WUOD),如果對于所有的實數(shù)x1,…xn,存在一有限實數(shù)gU(n)使得一有限隨機(jī)變量集{Xi,1≤i≤n}被稱為寬下限相依的(簡記為WLOD),如果對于所有的實數(shù)x1,…xn,存在一有限實數(shù)gL(n)使得如果{Xi,1≤i≤n}既是WUOD又是WLOD,那么我們稱{Xi,1≤i≤n}是寬限相依的(簡記為WOD),而且gU(n)和gL(n)被稱為控制系數(shù)。一無限集被稱為WOD,如果每個有限集都是WOD。

自從WOD的概念被介紹之后,許多相關(guān)的概率理論被建立起來。例如,Wang等[1]給出了有限時間段上WOD索賠額下破產(chǎn)概率的一致漸近估計,Shen[2]得到了WOD隨機(jī)序列的Berstein型不等式,Qiu和Chen[3]在一些適中的條件下給出了WOD隨機(jī)變量加權(quán)和的完全收斂和完全矩收斂,等等。

正如Scott[4]所指出的那樣,頻率插值估計與核密度估計有著相似的收斂速度但比直方圖估計的收斂速度快。此外,頻率插值估計的計算效果和直方圖的相等。此外,對于大量的二元數(shù)據(jù)集合,頻率插值估計計算的簡單性和決定確切等概率輪廓精度的便捷性使得頻率插值估計比具有高精度的核密度估計更有價值。因為頻率插值估計具有上述兩個方面的優(yōu)點,所以對它做進(jìn)一步的研究是有意義的。

近十幾年來,有關(guān)頻率插值估計的一些結(jié)果已經(jīng)被得到。例如,Carbon等[5]在α－混合過程下給出了頻率插值估計的最優(yōu)窗寬(此時的窗寬使得積分均方誤差達(dá)到漸近最小值)、漸近方差、強(qiáng)相合性及其收斂速度。Carbon等[6]得到了隨機(jī)域下頻率插值估計的漸近正態(tài)性。Bensaid和Dabo－Niang[7]在連續(xù)隨機(jī)域下給出了頻率插值估計的積分均方誤差以及強(qiáng)相合的收斂速度。受到上述作者們的啟發(fā),我們將在WOD樣本下通過一Berstein型指數(shù)不等式探討頻率插值估計的強(qiáng)相合性。

在本文中,我們總假定C代表了一個正常數(shù),此數(shù)僅僅由某些給定的數(shù)而定且從文中的一處到另一處可能會不一樣,窗寬和密度函數(shù)分別被表示為bn和f(x),g(n)＝max{gL(n),gU(n)},只要沒有作特殊說明,所給出的極限都是在n→∞時得到的。本文的結(jié)構(gòu)如下:第一部分包含了所得到的主要結(jié)果,對應(yīng)的證明被放在本文的第二部分。

1 主要結(jié)果

為了主要結(jié)果表述的方便,我們需要如下所示的一些假設(shè):

(A1)假設(shè)Xi,{1≤i≤n}是一WOD樣本,其密度函數(shù)為f(x)。

(A2)bn→0。

(A3){τn,n≥1}是一個正常數(shù)序列,此序列趨向于零并滿足nb2nτ2n/logn→∞。

根據(jù)上述假設(shè),我們可以給出如下所示的主要結(jié)果。

定理1 如果假設(shè)(A1)－(A3)成立且對于某個a≥0有g(shù)(n)≤Cna,那么對于R的緊子集D:

此外,如f(x)對于x∈R是可微的且對于某個M＞0有,那么:

于是:

2 證明

在這一部分,我們將給出主要定理的相關(guān)證明。為此,我們需要如下所示的引理。

引理1 設(shè){Xi,i≥1}是一均值為零且的WOD隨機(jī)變量序列,其中d是一正常數(shù)。令,則對于任意ε＞0,

證明： 由Shen定理4[2]的證明過程可知:對于t＞0有

上述給出的極大矩不等式可用于統(tǒng)計學(xué)中加權(quán)估計漸近性質(zhì)的研究,這類估計包括最小二乘估計,非參數(shù)回歸估計以及非參數(shù)密度估計等。

基于引理1,我們可以給出定理1的證明,具體過程如下所述:

證明：注意到D是R的一個緊子集,不失一般性。我們可以假定D＝[－B,B],其中B是一個正常數(shù),用D表示區(qū)間(j－1/2)bn,[(j＋1/2)bn),其中j＝－rn,－(rn－1),…,(rn－1),rn且rn＝[B/bn]＋1。因為,所以:于是,對于任意的ε＞0,

對于一給定的j,我們令:

將上述結(jié)果和bn→0,τn→0以及n(bnτn)2(logn)－1→∞聯(lián)合在一起,則對于任意給定的q＞0和充分大的n可得:

類似地,我們也有:

聯(lián)合(7)、(9)和(10)式可得:

通過在(11)式中取q＝3,(6)式以及nbn→∞,我們得到:

上式意味著在給定的條件下(2)式成立。此外,再應(yīng)用泰勒展開式,我們可得(3)式,證畢。