分?jǐn)?shù)階模糊微分方程周期邊值問題解的存在唯一性

席艷麗，陳鵬玉

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

分?jǐn)?shù)階模糊微分方程是模糊數(shù)學(xué)的重要組成部分，分?jǐn)?shù)階模糊微分方程初邊值問題是分?jǐn)?shù)階模糊微分方程定性理論的基本研究對象之一.與整數(shù)階模糊微分方程相比，分?jǐn)?shù)階模糊微分方程具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性和記憶性的優(yōu)點(diǎn)，例如在現(xiàn)實(shí)世界的各種物理問題的建模中有巨大的應(yīng)用潛力，包括地震模型、流體力學(xué)模型和黏彈性材料性質(zhì)的測量等等.因此，分?jǐn)?shù)階模糊微分方程初邊值問題的解以及相關(guān)理論的研究引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-3］.

2014 年，Armand 等［1］運(yùn)用Schaefer 不動點(diǎn)定理研究了模糊分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

1 預(yù)備知識及引理

1965 年，Zadeh 給出了模糊集合的如下定義：所謂論域（非空集）X 上的一個模糊子集A，是指對任意x∈X，存在μA（x）∈［0，1］與x 對應(yīng)，并且稱μA（x）為x屬于模糊子集A 的隸屬程度，即模糊子集A指的是映射μA：X→［0，1］），也稱μA為A的隸屬函數(shù)，簡記μA（x）為A（x）.在不致引起誤解的情況下，對模糊子集A 與它的隸屬函數(shù)A（x）不加區(qū)別，同時模糊子集簡稱模糊集.

定義1.1［4］設(shè)E ＝｛u|u：R→［0，1］且滿足下面性質(zhì)（i）～（iv）｝.

（i）u 是正規(guī)的模糊集，即存在x0∈R，使得u（x0）＝1；

（ii）u是凸的，即對任意的x1，x2∈R，λ∈（0，1），有u（λx1+（1 -λ）x2）≥min｛u（x1），u（x2）｝；

（iii）u是上半連續(xù)函數(shù)；

（iv）u 的支集Supp 的閉包c(diǎn)l｛x∈R|u（x）＞0｝，記為［u］0，是緊的.則稱u 是一個（1 維）模糊數(shù)，而所有（1 維）模糊數(shù)的全體稱之為（1 維）模糊數(shù)空間，記為E.

定義1.2［6］（Hukuhara差分）設(shè)w1，w2∈E，若存在w3∈E，使得w1＝w2+w3，則w3被稱為w1與w2的Hukuhara 差分.記作w1?w2.（注意：本文中，符號“?”表示差分，且w1?w2≠w1+（-1）w2.）

記CE（［a，b］）表示區(qū)間［a，b］上所有連續(xù)模糊函數(shù)的集合，LE（［a，b］）表示區(qū)間［a，b］上所有可測且可積的模糊數(shù)值函數(shù)的集合.

定義1.3［7］設(shè)模糊數(shù)值函數(shù)F ∈CE（［a，b］）∩LE（［a，b］），則q ∈（0，1］階Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分有如下定義：

引理1.1［8］設(shè)F：［a，b］→E 是可積的模糊數(shù)值函數(shù)，且p，q ＞0，則）.

定義1.4［9］（Caputo gH-導(dǎo)數(shù)）設(shè)F ∈CE（［a，b］）∩LE（［a，b］）.若

等式右端積分逐點(diǎn)有定義，其中q∈（m -1，m］，m∈N+，則稱模糊數(shù)值函數(shù)F存在gH-可微意義下的q 階Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，簡稱Caputo gH-導(dǎo)數(shù).

定義1.5［9］設(shè)F：［a，b］→E 在t0∈（a，b）點(diǎn)Caputo gH-可微.如果F在t0點(diǎn)滿足

那么稱F在t0點(diǎn)C［（i）-gH］型可微；如果F在t0點(diǎn)滿足

那么稱F在t0點(diǎn)C［（ii）-gH］型可微.

引理1.3［11］任意給定u，v，w，x，y∈E，有如下性質(zhì)成立：

（i）若u ＝v，當(dāng)且僅當(dāng)u≤v且u≥v；

（ii）若u≤v，則u+w≤v+w；

（iii）若u≤v且x≤y，則u+x≤v+y；

（iv）若u≤v且M∈R，則Mu≤Mv.

定義1.7［12］設(shè)函數(shù)ψ：［0，+∞）→［0，+∞）滿足：（i）ψ 是連續(xù)非減函數(shù)；（ii）ψ（t）＝0當(dāng)且僅當(dāng)t ＝0，則稱ψ是一個距離選擇函數(shù).

定義1.8［13］設(shè)（X，d）是度量空間，函數(shù)f：X→X.如果存在距離選擇函數(shù)ψ 和φ，使得對任意的x，y∈X，有

引理1.4［14］設(shè)（X，≤）是一個偏序集，且在X中存在一個度量d，使得（X，d）是一個完備的度量空間；函數(shù)f：X→X是非減函數(shù)，使得對于某些距離選擇函數(shù)ψ和φ，滿足

假設(shè)X滿足對任意的n∈N，若非減序列（或者非增序列）｛xn｝n∈N收斂到x∈X，則xn≤x；或者滿足f連續(xù).若存在x0∈X 使得x0≤f（x0）（或者x0≥f（x0）），則f有一個不動點(diǎn).

引理1.5［14］在引理1.4 的假設(shè)條件下，若X中的每對元素有一個上界或者下界，則f 存在唯一的不動點(diǎn).另外，若x0是f 的不動點(diǎn)，則對于任意x∈X，都有.

注1.1在空間（E，≤）和（CE［a，b］，≤）上，任意元素對總有上界.

2 主要結(jié)果

定義2.1設(shè)模糊數(shù)值函數(shù)u∈CE［0，T］是滿足邊值問題（1）的解.如果邊值問題（1）的解是C［（i）-gH］型可微的，那么稱其為（i）型解；如果邊值問題（1）的解是C［（ii）-gH］型可微的，那么稱其為（ii）型解.

定義2.2設(shè)模糊數(shù)值函數(shù)u ∈CE［0，T］，如果

那么稱u是模糊邊值問題（1）的一個下解.特別地，如果u 是C［（i）-gH］型可微的（或者C［（ii）-gH］型可微的），那么稱u 為（i）型下解（或者（ii）型下解）；如果

那么稱u是模糊邊值問題（1）的一個上解.特別地，如果u是C［（i）-gH］型可微的（或者C［（ii）-gH］型可微的），那么稱u 為（i）型上解（或者（ii）型上解）.

在CE［0，T］中，設(shè)存在ρ ＞0，λ∈［0，1）∪（1，+∞），使得當(dāng)ρ 充分大時，成立，度量

對任意的u，v∈CE［0，T］，度量Dρ等價于度量D，且（CE［0，T］，Dρ）是一個完備的度量空間［15］.

定理2.1假設(shè)邊值問題（1）存在一個（i）型下解u∈CE［0，T］，如果函數(shù)f：［0，T］×E→E 連續(xù)且滿足：

（H1）f關(guān)于第二變量是非減的，即對于所有的t∈［0，T］，若u≥v，則f（t，u）≥f（t，v）；

（H2）f對于可比較元素來說是弱壓縮的，即對任意的u≥v，存在2 個距離選擇函數(shù)φ 和ψ，使得ψ（d（f（t，u），f（t，v）））≤ψ（d（u，v））-φ（d（u，v）），那么邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（i）型解.

證明設(shè)λ∈（0，1），q∈（0，1］時，如果y 是C［（i）-gH］型可微的，則邊值問題（1）等價于積分方程

故定義算子A：CE［0，T］→CE［0，T］如下：

其中，λ∈（0，1），u 是邊值問題（1）的（i）型解當(dāng)且僅當(dāng)u ＝Au.證明分為以下4 步.

步驟1 算子A是非減的.由文獻(xiàn)［12］中模糊值函數(shù)的積分性質(zhì)及條件（H1）知，對于u≥v，t∈［0，T］，λ∈（0，1），有

因此算子A是非減的.

步驟2 算子A是弱壓縮的.由條件（H2），若u≥v，則有ψ（d（f（t，u），f（t，v）））≤ψ（d（u，v）），t∈［0，T］.由距離選擇函數(shù)ψ 的單調(diào)性及條件（H2），對任意u≥v，有d（f（t，u），f（t，v））≤d（u，v），t∈［0，T］.由Dρ和A的定義，有

當(dāng)u≥v時，對于距離選擇函數(shù)ψ，

因此，算子A是弱壓縮的.

步驟3 算子A 是連續(xù)的.設(shè)u，v∈CE［0，T］且u≥v，與步驟2 類似，有

因此，對任意的ε ＞0，當(dāng)

時，D（Au，Av）≤ε，即A是連續(xù)算子.

步驟4 由（i）型下解的存在性及引理2.1 有

因此，u≤Au，由引理1.4 知，算子A在CE［0，T］中有一個不動點(diǎn).假設(shè)CE［0，T］中的每一對元素都有上界，則由引理1.5 知，算子A存在唯一的不動點(diǎn).因此，邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（i）型解.

定理2.2假設(shè)邊值問題（1）存在一個（i）型上解v∈CE［0，T］，如果函數(shù)f：［0，T］×E→E 連續(xù)且滿足條件（H1）和（H2），則邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（i）型解.

證明若v是邊值問題（1）的一個（i）型上解，則對任意的t∈［0，T］，λ∈（0，1）有

因此，v≥Av.進(jìn)一步假設(shè)CE［0，T］中每一對元素都有一個上界，再由引理1.4，算子A 存在唯一的不動點(diǎn).

定理2.3假設(shè)邊值問題（1）存在一個（ii）型下解u∈CE［0，T］，如果函數(shù)f：［0，T］×E→E 連續(xù)，且滿足條件（H1）～（H3）.

（H3）對所有α∈［0，1］，λ∈（1，+∞），有

關(guān)于α分別單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，那么邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（ii）型解.

證明設(shè)λ∈（1，+∞），q∈（0，1］時，如果y是C［（ii）-gH］型可微的，邊值問題（1）等價于積分方程

故定義算子B：CE［0，T］→CE［0，T］如下：

其中λ∈（1，+∞），若u 是邊值問題（1）的（ii）型解當(dāng)且僅當(dāng)u ＝Bu.由條件（H3）和文獻(xiàn)［8］中的表示定理知，上述等式右端積分在［0，T］上有定義，證明分為以下4 步.

步驟1 算子B是非減的.由文獻(xiàn)［12］中的模糊值積分性質(zhì)及條件（H1）知，對于u≥v，t∈［0，T］，λ∈（1，+∞），有

因此算子B是非減的.

步驟2 算子B是弱壓縮的.由定理3.1 證明中的步驟2，有

當(dāng)u≥v時，對于距離選擇函數(shù)ψ，有

因此，算子B是弱壓縮的.

步驟3 算子B 是連續(xù)的.設(shè)u，v∈CE［0，T］且u≥v，λ∈（1，+∞），有

因此，對任意的ε ＞0，當(dāng)

時，D（Bu，Bv）≤ε，即B是連續(xù)算子.

步驟4 由（ii）型下解的存在性及引理1.1 有

因此，u≤Bu，由引理1.4 知，算子B在CE［0，T］中有一個不動點(diǎn).假設(shè)CE［0，T］中的每一對元素都有上界，則由引理1.5 知，算子B存在唯一的不動點(diǎn).因此，邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（ii）型解.

定理2.4假設(shè)邊值問題（1）存在一個（ii）型上解v∈CE［0，T］，如果函數(shù)f：［0，T］×E→E 連續(xù)且滿足條件（H1）～（H3），那么邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（ii）型解.

證明若v 是邊值問題（1）的一個（ii）型上解，則對任意的t∈［0，T］，λ∈（1，+∞），有

因此，v≥Bv.進(jìn)一步假設(shè)CE［0，T］中每一對元素都有一個上界，再由引理1.4，算子B 存在唯一的不動點(diǎn).

致謝西北師范大學(xué)青年教師科研能力提升計劃資助項目（NWNU-LKQN2019-3）和西北師范大學(xué)參與式研討課教學(xué)改革項目對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意！