2021年全國(guó)甲卷理科解析幾何試題賞析與探究

廣東 潘 宇 謝賢祖

2021年高考剛剛落下帷幕，全國(guó)各地老師紛紛對(duì)其中的優(yōu)秀試題展開(kāi)研究.筆者在研究2021年全國(guó)甲卷第20題時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題既可以用特殊位置猜想結(jié)果，又可以用基本思想方法解答.此題不僅可以尋找到往年舊題中的縮影，更能挖掘其深藏的競(jìng)賽背景，下面筆者以此題為例，從真題解法賞析、試題背景溯源、基本思想方法的應(yīng)用和教學(xué)啟示等四個(gè)方面展開(kāi)詳細(xì)闡述.

一、真題解法賞析

【例1】(2021·全國(guó)甲卷理·20)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0)，且⊙M與l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

評(píng)注：由于第二問(wèn)難度較大，很多學(xué)生可能想不到如何破解或者在考場(chǎng)上來(lái)不及研究，所以可以先用“特殊化”的思想，預(yù)測(cè)答案，再?gòu)摹疤厥獾揭话恪?，尋找證明思路，或者書(shū)寫(xiě)有效的得分步驟，爭(zhēng)取得分最大化.

分析2:設(shè)A1(x0,y0)，A2(x1,y1)，A3(x2,y2)，

整理得直線A1A2:x-(y0+y1)y+y0y1=0，

同理可得A2A3:x-(y1+y2)y+y1y2=0.

二、試題背景探源

例1的競(jìng)賽背景為彭賽列閉合定理：平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個(gè)點(diǎn)都是滿足這樣(切、內(nèi)外接)性質(zhì)的封閉多邊形的頂點(diǎn)，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.

簡(jiǎn)明的彭賽列閉合定理表示：一個(gè)三角形外接于一個(gè)圓，內(nèi)切一個(gè)圓，則三角形的外接圓可以有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形，滿足其內(nèi)切圓為上述的同一個(gè).于是可以得到如下分析：

評(píng)注：知道彭賽列閉合定理可以幫助我們預(yù)判解題之路，但缺點(diǎn)是這些超綱知識(shí)不可用于考場(chǎng)答卷.所以幫助我們解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題的最重要方法還是通性通法，也就是前文分析2后的3點(diǎn)總結(jié).下面繼續(xù)舉例說(shuō)明這些總結(jié)的應(yīng)用.

三、基本思想方法的應(yīng)用

【例2】已知拋物線y2=2px(p>0)上三點(diǎn)A(2,2)，B,C,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析：該題屬于偽彭賽列閉合，但仍然可以運(yùn)用前文所寫(xiě)的總結(jié)快速解決.

即直線BC:3x+6y+4=0.

評(píng)注：以上的例1,例2都是考查拋物線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題，下面是一個(gè)橢圓中的例子.研究往年經(jīng)典題可以提煉解題方法，指導(dǎo)未來(lái)解題.

得(16k2+1)x2+32kx=0,

設(shè)F(x1,k1x1+1)，E(x2,k2x2+1),

于是直線FE的方程為

故結(jié)論成立.

評(píng)注：該題是典型的彭賽列閉合.積極研究往年經(jīng)典例題，并用于日常教學(xué)，不僅可以“與命題者對(duì)話”，在研究掌握通性通法的同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，還可以滲透數(shù)學(xué)文化、拓展知識(shí)面，往前追溯，在聯(lián)賽試題中找到類(lèi)似考法.

【例4】點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值.

分析：設(shè)P(x0,y0)，B(0,b)，C(0,c)，不妨設(shè)b>c，

即(y0-b)x-x0y+x0b=0，

又因?yàn)閳A心B(1,0)到PB的距離是1，

易知x0>2，化簡(jiǎn)得

(x0-2)b2+2y0b-x0=0，

同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.

因?yàn)镻(x0,y0)是拋物線上的一點(diǎn)，

此時(shí)x0=4時(shí)，S△PBC取得最小值8.

點(diǎn)評(píng)：從以上例題的解答過(guò)程可以提煉出解析幾何最常用的解題思想方法：設(shè)點(diǎn)、設(shè)線、聯(lián)立、消元、設(shè)而不求，仍然是圓錐曲線解題的主旋律；以點(diǎn)斜式、點(diǎn)線距離公式、線圓相切等知識(shí)為載體，通過(guò)運(yùn)算求解、方程變形，得到“同構(gòu)”二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找到解題突破口.

四、教學(xué)啟示

隨著新課程、新教材、新高考的逐步推進(jìn)，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)的全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題已然引領(lǐng)著新時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)改革.基于2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題的全面闡述，在解析幾何教學(xué)中需要關(guān)注以下幾個(gè)方面：

(1)貫徹解析幾何基本思想方法，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì).解析幾何的核心思想就是運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，所以關(guān)鍵要處理的是幾何問(wèn)題.因此在解析幾何實(shí)踐教學(xué)中要注重幾何關(guān)系的分析，厘清復(fù)雜曲線中的幾何關(guān)系，尤其是直線與曲線的常見(jiàn)位置關(guān)系(相切、平行、垂直)的代數(shù)等價(jià)形式，其基本處理方法是“設(shè)而不求”和“設(shè)且求”.

(2)滲透類(lèi)比探究思想，強(qiáng)化思維訓(xùn)練，提升運(yùn)算素養(yǎng).對(duì)于解析幾何的內(nèi)容，尤其是二次曲線的性質(zhì)，常常都具有極其類(lèi)似的結(jié)論，因而在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究活動(dòng)時(shí)，應(yīng)始終強(qiáng)化類(lèi)比推理的意識(shí)，充分挖掘出與已知知識(shí)相鄰的“知識(shí)圈”.在探究推理過(guò)程中遵循特殊到一般的原則，狠抓學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和創(chuàng)新思維.

(3)關(guān)注學(xué)科知識(shí)間的融合，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.2021年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題第(2)問(wèn)考查學(xué)生在開(kāi)放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力，結(jié)合特殊值的思想與彭賽列閉合定理的理論支撐，能夠明晰問(wèn)題結(jié)論，指引推理方向.因此在解析幾何的教學(xué)中需要適當(dāng)關(guān)注數(shù)學(xué)文化，融合不等式、導(dǎo)數(shù)等學(xué)科知識(shí).