立體幾何中與球有關(guān)的問(wèn)題

江蘇 夏雪峰

與球有關(guān)的問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)經(jīng)常碰到的內(nèi)容，一方面從教材(人教2019A必修第二冊(cè))中來(lái)看，涉及球的例習(xí)題并不多(P118例3、P119例4、P119練習(xí)3、P120習(xí)題5、P169復(fù)習(xí)參考題3，共5個(gè))，具體內(nèi)容主要是常見(jiàn)的組合體、內(nèi)切球與外接球相關(guān)的面積、體積等問(wèn)題.另一方面從高考題中來(lái)看，涉及球的內(nèi)容倒不少，下表是2016至2021年各卷區(qū)高考真題中涉及球的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)：

卷區(qū)年份全國(guó)甲卷全國(guó)卷Ⅰ全國(guó)卷Ⅱ全國(guó)卷Ⅲ2021球內(nèi)接三棱錐的體積2020球的表面積根據(jù)球的表面積求球心到平面的距離2019三棱錐的內(nèi)切球體積(理)2018 球內(nèi)接三棱錐體積的最大值2017 三棱錐外接球表面積(文)球內(nèi)接圓柱的體積2016 三視圖求球的表面積正方體外接球表面積(文)

從表中以及高考真題可以看出，全國(guó)卷對(duì)于球的考查有以下幾個(gè)特征：

1.考查的題型：選擇或填空，難度以中檔題為主；

2.考查的模型：球內(nèi)接三棱錐、球內(nèi)接三棱柱、球內(nèi)接圓柱、球內(nèi)接長(zhǎng)方體(正方體)、組合體等；

3.考查的問(wèn)題：球外(內(nèi))接幾何體體積、表面積與體積的運(yùn)算等.

從平時(shí)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對(duì)球的相關(guān)問(wèn)題存在解題思路不明、解題方法及計(jì)算不到位等問(wèn)題，這一方面與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)尤其是空間想象能力有關(guān)，其次也提醒教師要有針對(duì)性地教學(xué).我們知道立體幾何主要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，球是非常好的載體，這也是高考頻繁考查球相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)因素.所以非常有必要對(duì)球的問(wèn)題有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)與掌握，下面分幾類常見(jiàn)問(wèn)題說(shuō)明.

一、組合體問(wèn)題

【例1】(人教版2019A版必修第二冊(cè)P118例3)如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3 m，圓柱高0.6 m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么給1 000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)

【解析】一個(gè)浮標(biāo)的表面積為2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847 8(m2)，所以給1 000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.847 8×0.5×1 000=423.9(kg).

【教學(xué)建議】這是一個(gè)組合體，教學(xué)中只需引導(dǎo)學(xué)生能確定此組合體由圓柱與兩個(gè)半球組合而成，計(jì)算可以由學(xué)生自主完成.

【例2】如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為

( )

【教學(xué)建議】此題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，一是找到球與正方體的組合方式——球與正方體四條棱相切；二是確定解題方法——取兩個(gè)切點(diǎn)的球的一個(gè)大圓截面(如圖)，轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)的問(wèn)題來(lái)處理.

二、球的截面問(wèn)題

【例3】球O的兩個(gè)相互垂直的截面圓O1與O2的公共弦AB的長(zhǎng)為2，若△O1AB是直角三角形，△O2AB是等邊三角形，則球O的表面積為

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A．9π B．12π C．16π D．20π

【解析】如圖，連接OO1，OO2，則OO1⊥圓O1所在平面，

OO2⊥圓O2所在平面，取AB的中點(diǎn)E，連接O1E，O2E，則四邊形OO1EO2為矩形．

則球O表面積為4πR2=4π×5=20π，故選D．

【教學(xué)建議】首先，類比平面幾何中的圓與弦的勾股關(guān)系，球的截面問(wèn)題經(jīng)常利用的核心關(guān)系是r2+O1O2=R2，此題也不例外.其次此題中有兩個(gè)相互垂直的截面圓，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建立方程組來(lái)求解.

【解析】如圖,取B1C1的中點(diǎn)為E，BB1的中點(diǎn)為F，CC1的中點(diǎn)為G，

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，

因?yàn)锽B1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側(cè)面B1C1CB，設(shè)P為側(cè)面B1C1CB與球面的交線上的點(diǎn)，則D1E⊥EP.

【教學(xué)建議】此題對(duì)空間想象能力要求較高，但只要抓住球的截面始終是圓及如何確定截面圓的圓心，便明確了方向.建議抓住三個(gè)要點(diǎn)：①平面BCC1B1球截面得到必然是圓；②確定截面圓的圓心是E；③確定該圓在側(cè)面BCC1B1上的部分圓弧位置，計(jì)算長(zhǎng)度.

三、外接球問(wèn)題

1.三棱錐的外接球

【例5】(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為

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【解析】因?yàn)镻A=PB=PC,△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

可知三棱錐P-ABC為正三棱錐，PB⊥AC，

又E，F(xiàn)分別為PA,PB的中點(diǎn)，

EF∥PB，所以EF⊥AC，

又EF⊥CE，CE∩AC=C,

EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，

由三棱錐P-ABC為正方體一部分，

【教學(xué)建議】在多面體的外接球中，長(zhǎng)方體、正方體的外接球較為常見(jiàn).此題雖然條件中是三棱錐的外接球，但是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步判斷PA，PB，PC兩兩垂直，所以三棱錐是正方體的一部分，外接球的球心就不難確定了.在這個(gè)問(wèn)題中，通過(guò)“判斷”“補(bǔ)形”，將棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，非常巧妙，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力很有幫助.

( )

【解析】如圖，設(shè)G為正三角形ABC的外心，

取BD的中點(diǎn)N，則N為直角三角形BCD的外心，

設(shè)三棱錐的外接球的球心為O，則ON⊥平面BCD，OG⊥平面ABC，

【教學(xué)建議】對(duì)學(xué)生而言，如何確定三棱錐的外接球的球心是難點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中建議把作圖過(guò)程特別是如何把球心找出來(lái)(或者構(gòu)造出來(lái))的過(guò)程一步一步詳細(xì)展示出來(lái)，這樣有助于分解難點(diǎn).過(guò)底面(把合適的面作為底面)三角形的外心作底面的垂線，則外接球的球心必在此垂線上，然后由方程確定球的半徑.

2.四棱錐的外接球

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取DE的中點(diǎn)O1，

則O1D=O1E=O1B=O1C=2，

即O1為梯形BCDE的外接圓的圓心，

設(shè)四棱錐A-BCDE的外接球的球心為O，等邊三角形ABC的外接圓的圓心為O2，

由側(cè)面ABC⊥底面BCDE，

【教學(xué)建議】對(duì)于四棱錐的外接球，要讓學(xué)生理解確定球心的方法與三棱錐類似，此題可以判斷底面四邊形是等腰梯形，它的外心可以確定，然后構(gòu)造球心即可.

四、內(nèi)切球問(wèn)題

【例8】(1)(人教版2019A版必修第二冊(cè)P119練習(xí)3)將一個(gè)棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，求可能制作的最大零件的體積.

(2)(人教版2019A版必修第二冊(cè)P119例4)如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.

(2)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.

【教學(xué)建議】這是教材中兩個(gè)非常好的例習(xí)題，教學(xué)中要充分發(fā)揮它們的價(jià)值.

對(duì)于(1)，重點(diǎn)讓學(xué)生能理解所求最大體積就是求正方體的內(nèi)切球的體積，

對(duì)于(2)，可以向?qū)W生說(shuō)明著名的阿基米德圓柱體，并介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史料.

( )

【解析】由題意，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，

設(shè)球心為S，連接SD，SA,SB,SC,SP，

則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R，求出四棱錐的表面積

【教學(xué)建議】教學(xué)中，可以通過(guò)類比思考的方式，引導(dǎo)學(xué)生類比平面幾何中多邊形的內(nèi)切圓問(wèn)題，得到棱錐的內(nèi)接球,通過(guò)“等體積法”來(lái)確定球半徑的常用方法，這樣類比的方法可以讓學(xué)生由淺入深地理解問(wèn)題，掌握方法.

五、外切球問(wèn)題

【例10】桌面上有3個(gè)半徑為2 021的球兩兩相外切，在其下方空隙中放入一個(gè)球，該球與桌面和三個(gè)球均相切，則該球的半徑為

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【解析】設(shè)三個(gè)半徑為R的球的球心分別為O1，O2，O3，與桌面三個(gè)切點(diǎn)分別為A，B，C，如圖所示，

則三棱柱ABC-O1O2O3，是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2R，高為R的正三棱柱，

則小球球心O在底面ABC上的投影為△ABC的中心H，

連接OH，AH，OO1，作OD∥AH交O1A于點(diǎn)D，可得四邊形AHOD為矩形，OD=AH.

設(shè)小球半徑為r，則OH=AD=r，O1D=O1A-DA=R-r，

【教學(xué)建議】此題對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求也很高，教學(xué)中一方面要引導(dǎo)學(xué)生抓住要點(diǎn)，即通過(guò)球心來(lái)構(gòu)造三棱柱，另一方面通過(guò)類比圓的外切的方法，利用半徑之和等于球心距進(jìn)行計(jì)算.