對比教材 改進教學
——以“事件的相互獨立性”為例

廣東 蔣海榕

2017課標版人教A版高中數(shù)學教材與2007版人教A版對比，“事件的相互獨立性”內(nèi)容提前并升級.舊教材以條件概率為背景來研究事件的“獨立性”，而新教材通過歸納推理抽象出事件的“獨立性”.本文從探究概念、深挖內(nèi)涵、正確判斷、鞏固應用四個方面對新教材中的“事件的獨立性”進行教學探討.

一、問題的提出

1.新舊教材內(nèi)容的差異

為了落實立德樹人的根本任務，提高學生學科核心素養(yǎng)，在新課程標準背景下，2017課標版人教A版高中數(shù)學教材(以下統(tǒng)稱“新教材”)投入使用.與2007版人教A版教材(以下統(tǒng)稱為“舊教材”)對比，內(nèi)容編排發(fā)生了很大改變.尤其是“概率”部分，新教材中“樣本空間”的引入，帶來了整章的知識重構(gòu).具體見下圖：

2017課標版人教A版必修二第十章2007版人教A版選修2-3第二章10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件10.1.2事件的關系與運算10.1.3古典概型10.1.4概率的基本性質(zhì)10.2事件的相互獨立性10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性10.3.2隨機模擬2.1離散型隨機變量及其分布列2.1.1離散型隨機變量2.1.2離散型隨機變量的分布列2.2二項分布及其應用2.2.1條件概率2.2.2事件的相互獨立性2.2.3獨立重復試驗與二項分布2.3離散型隨機變量的均值與方差2.3.1離散型隨機變量的均值2.3.2離散型隨機變量的方差2.4正態(tài)分布

從上圖我們可以看到：對比舊教材，新教材把“事件的相互獨立性”從選修提前到了必修內(nèi)容，由“2.2二項分布及其應用”下的子目錄升級為“10.2事件的相互獨立性”單獨一節(jié).最為重要的是新教材對事件的相互獨立性這一節(jié)進行了知識重構(gòu)，舊教材中是在學習了條件概率基礎上，利用條件概率進行演繹推理，研究相互獨立的兩個事件的概率關系.新教材中并未學習條件概率，是通過兩個試驗探究，進行歸納推理得出結(jié)論.目前大部分關于“事件的相互獨立性”教學研究都是以條件概率為背景，無法真正領會新教材編寫意圖.

2.學生認知的障礙

學生在學習“獨立性”之前，就容易對非獨立的兩個事件的積事件的概率進行乘法運算；判斷兩個事件是否獨立時，學生又容易與前面學的互斥事件發(fā)生混淆，甚至會認為可以感性判斷兩個事件是否獨立，不需要獨立性公式來判斷.

下面從探究概念、深挖內(nèi)涵、正確判斷、鞏固應用四方面對新教材中“事件的相互獨立性”進行教學探討.

二、教學探討

1.巧用探究，引出概念

探究1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”

探究2：一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球，設A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”

探究3：將探究2中“有放回”改為“不放回”，分別計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設計意圖：探究1和探究2來源于課本，探究環(huán)節(jié)從最簡單、學生最熟悉的情境入手.讓學生利用前面所學的有限樣本空間和古典概型的知識，發(fā)現(xiàn)共性，得到結(jié)論P(AB)=P(A)P(B)，為歸納出“獨立性”概念做準備.

補充的探究3讓學生體會概率中兩個基本事件有可能滿足獨立性，但是并非所有的兩個事件具備獨立性.改變了試驗條件，兩個事件的關系也發(fā)生改變.通過探究3，讓學生理解“獨立性”，避免在后面學習中濫用公式.這一過程旨在培養(yǎng)學生歸納推理能力與嚴謹?shù)臄?shù)學思維.

2.抽象概念，深挖內(nèi)涵

通過歸納探究1和探究2，得出概念：對任意的兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與B相互獨立，簡稱獨立.

探究4：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？為什么？

探究6：“獨立”與“互斥”等價嗎？

探究7:設樣本空間Ω={a，b，c，d}含有等可能的樣本點，且A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}.A，B，C三個事件兩兩獨立，P(ABC)是否等于P(A)P(B)P(C)？

設計意圖：探究4中，因為P(Ω)=1，所以P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，同理可得P(?A)=P(A)P(?)，符合“獨立性”的定義.同時，再次讓學生理解：事件A的發(fā)生與不發(fā)生對不可能事件與必然事件發(fā)生的概率不產(chǎn)生任何影響.從嚴謹?shù)母拍钤倩氐礁行泽w會，讓學生深刻理解獨立性的含義.探究5中，類比集合運算，課本給出了詳細的推導過程.幫助學生熟悉概率的運算，進一步理解事件的相互獨立性的性質(zhì).

探究4與探究5，新教材利用獨立性的定義“P(AB)=P(A)P(B)”，將問題很好地解決了，不依賴于條件概率，反倒降低了“獨立性”學習的難度，這是新教材編排的優(yōu)點.

設事件A與事件B互為互斥事件，則有P(AB)=0，易得在P(A)>0，P(B)>0的條件下P(AB)≠P(A)P(B).所以得到結(jié)論：P(A)>0，P(B)>0的條件下互斥的兩個事件一定不具有相互獨立性.探究6從定義的角度出發(fā)，讓學生經(jīng)歷“獨立”與“互斥”的概念辨析過程，理解它們是完全不同的概念.

3.善用例題，正確判斷

【例1】甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶率為0.9,求下列事件的概率：(1)兩人都中靶;(2)恰好有一人中靶;(3)兩人都脫靶;(4)至少有一人中靶.

答案：(1)0.72 (2)0.26 (3)0.02 (4)0.98

【例3】一個家庭有n(n≥2)個小孩，假設生男孩和生女孩機會均等，事件A表示“有男孩也有女孩”，事件B表示“最多有一個女孩”

(1)當n=2時，事件A與事件B是否獨立？

(2)當n=3時，事件A與事件B是否獨立？

設計意圖：例1和例2來源于課本，例1學生可以直接判斷兩個事件相互獨立，例2題目直接告知兩個事件獨立.這是最簡單常見的兩種判斷情形，要求學生根據(jù)獨立性的概率公式準確作答.例1和例2的設置，容易讓學生覺得，“獨立性”都是可以感官直接判斷的.例3的補充，可以讓學生體會到：P(AB)=P(A)P(B)才是真正能夠判斷兩個事件是否相互獨立的條件.再次讓學生深刻體會“獨立性”的內(nèi)涵，以此培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣.

4.活用真題，鞏固應用

【練習】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立

答案：B

設計意圖：從歷年的高考真題我們可以看到，事件的相互獨立性是概率模塊考查的重點內(nèi)容.不管舊教材還是新教材，利用“獨立性”進行概率計算始終是要求重點掌握的.特別值得一提的是2021年新高考Ⅰ卷第8題，利用P(AB)=P(A)P(B)判斷事件的“獨立性”，并不需要依賴條件概率，著重體現(xiàn)了“獨立性”定義的優(yōu)點，與新教材編排意圖完全相符.