探究數(shù)學(xué)本質(zhì) 培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——以一道數(shù)列高考試題的探究為例

天津 高成龍

對(duì)于“等差乘等比”型數(shù)列的前n項(xiàng)和，教材中常用的處理方法是錯(cuò)位相減法，即通過錯(cuò)位相減把該類數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題.該方法學(xué)生理解起來容易，但是對(duì)前n項(xiàng)和Sn進(jìn)行化簡時(shí)會(huì)涉及因式分解、合并同類項(xiàng)、提取公因式等煩瑣步驟，另外學(xué)生在化簡過程中沒有一個(gè)明確的目標(biāo)，學(xué)生甚至不知道化簡到什么程度才是最簡形式，進(jìn)而給求解帶來很大的障礙.鑒于此種情形，文章用不同的方法對(duì)2020年全國卷Ⅲ理科第17題進(jìn)行多方面的探究，并將解法推廣至一般情形，得到了等差乘等比數(shù)列前n項(xiàng)和的三個(gè)常用模型：“裂項(xiàng)求和模型”“待定系數(shù)模型”和“導(dǎo)數(shù)模型”.這樣通過建立模型就可以把該類數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)列問題模型化.這一過程很好地培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)列問題的能力，同時(shí)也可以幫助教師很好地進(jìn)行教學(xué)反思和提升教師的專業(yè)素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)及評(píng)析

【例】(2020·全國卷Ⅲ理·17)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an-4n.

(1)計(jì)算a2,a3，猜想{an}通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列{2nan}前n項(xiàng)和Sn.

【試題評(píng)析】(1)主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，易得an=2n+1；(2)以等比數(shù)列的求和模型為背景，求等差乘等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，這是一個(gè)綜合情境，解決問題的關(guān)鍵是利用錯(cuò)位相減法將不能直接求和的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，這一過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生在綜合情境中提出運(yùn)算問題和確定運(yùn)算對(duì)象的能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).下面分別運(yùn)用錯(cuò)位相減法、累加法、裂項(xiàng)相消法、導(dǎo)數(shù)法、面積法對(duì)(2)的解題方法進(jìn)行探究.

二、試題解法探析

思路1：錯(cuò)位相減法

設(shè)cn=(2n+1)·2n，

Sn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)2n，

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1，兩式相減，得

-Sn=6+2(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1

=6+8(2n-1-1)-(2n+1)2n+1

=-2-(4n-2)2n，

解得Sn=2+(4n-2)2n.

思路2：累加法

設(shè)cn=(2n+1)2n，則cn+1-cn=(2n+3)2n+1-(2n+1)2n=(2n+5)2n=cn+2n+2，

c2-c1=c1+23，

c3-c2=c2+24，

……

cn+1-cn=cn+2n+2，

累加得cn+1-c1=Sn+(23+24+…+2n+2)=Sn+8(2n-1)，

解得Sn=2+(4n-2)2n.

【評(píng)注】累加法是數(shù)列求和中的常用方法，通過累加法把等差乘等比數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和與解一元一次方程，它與錯(cuò)位相減法的本質(zhì)是一樣的.

思路3：裂項(xiàng)相消法

于是F(n)=(2n-3)2n，于是Sn=c1+c2+c3+…+cn=F(n+1)-F(1)=2n+1(2n-1)-2(2-3)=2n(4n-2)+2.

【評(píng)注】應(yīng)用裂項(xiàng)求和法的關(guān)鍵是根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)先把數(shù)列cn進(jìn)行等價(jià)變形寫成F(n+1)-F(n)的形式，最后利用函數(shù)恒等式的原理求得F(n)的解析式，裂項(xiàng)求和法的實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)列作等價(jià)變形.

思路4：導(dǎo)數(shù)法

思路5：面積法

分別過點(diǎn)P1,P2,…，Pn,Pn+1作y軸的垂線，垂足分別為H1,H2,…，Hn,Hn+1，

【評(píng)注】應(yīng)用面積法求解數(shù)列問題思路比較新穎，方法十分巧妙，該思路來源于2017年山東省高考數(shù)學(xué)第19題.應(yīng)用面積法的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)去構(gòu)造n+1個(gè)動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而形成n個(gè)直角梯形，使得第n個(gè)直角梯形的面積恰好等于該數(shù)列的通項(xiàng).該方法可以讓學(xué)生從幾何圖形的角度去體會(huì)“等差乘等比”型數(shù)列前n項(xiàng)和的幾何意義，真正實(shí)現(xiàn)“代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀之間的融合”，這也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)對(duì)幾何與代數(shù)主題的要求.

三、試題拓展

1.“等差乘等比”型數(shù)列求和探究

模型1(裂項(xiàng)求和模型)：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(an+b)qn(q≠1)，則其前n項(xiàng)和模型為Sn=F(n+1)-F(1),其中F(n)=(An+B)qn，A,B可以由a,b唯一確定.

證明：設(shè)F(n)=(An+B)qn，則F(n+1)=(An+A+B)qn+1，

an=F(n+1)-F(n)=(Aqn+qA+qB-An-B)qn=(an+b)qn，

模型2(待定系數(shù)模型)：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=(un+v)qn(q≠1)，則其前n項(xiàng)和模型為Sn=A+qn(Bn-A)，其中A,B為常數(shù)，可以由a1,a2唯一確定.

證明：由裂項(xiàng)求和模型得，Sn=F(n+1)-F(1)，其中F(n)=(un+v)qn，u,v可以由a1,a2唯一確定，所以

Sn=F(n+1)-F(1)=(un+u+v)qn+1-(u+v)q=qn(uqn+uq+vq)-(uq+vq),

令-(uq+vq)=A,uq=B則Sn=A+qn(Bn-A)，其中A,B為常數(shù)，可以由a1,a2唯一確定.

所以Tn=aqF′(q)+bF(q).

2.“等差乘等比”型數(shù)列求和模型拓展

模型2說明了等差乘等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=A+(Bn-A)qn，其中A,B為待定系數(shù)，可以利用a1,a2唯一求得.事實(shí)上,可以將等差乘等比數(shù)列中的等差數(shù)列推廣到關(guān)于n的任意次多項(xiàng)式，即

四、等差乘等比數(shù)列求和模型在高考中的應(yīng)用

1.2016至2021年高考中的“等差乘等比”型數(shù)列統(tǒng)計(jì)

“等差乘等比”數(shù)列在高考中出現(xiàn)的頻率較高，現(xiàn)對(duì)2016至2021年高考中的等差乘等比數(shù)列的題型與分值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可以得到：

年份試題科別題型題號(hào)分值考點(diǎn)2016山東文簡答題1912等差乘等比數(shù)列求和理簡答題1812等差乘等比數(shù)列求和2017山東天津文簡答題1912等差乘等比數(shù)列求和理簡答題1912等差乘等比數(shù)列求和文簡答題1813等差乘等比數(shù)列求和理簡答題1813等差乘等比數(shù)列求和2020全國卷Ⅰ理簡答題1712等差乘等比數(shù)列求和全國卷Ⅲ理簡答題1712等差乘等比數(shù)列求和2021全國乙卷文簡答題1912等差乘等比數(shù)列求和浙江卷———簡答題2015等差乘等比數(shù)列求和天津卷———簡答題1915等差乘等比數(shù)列求和

2.“等差乘等比”型數(shù)列求和模型在高考中的應(yīng)用

下面以2021年全國乙卷文科第19題為例來說明“待定系數(shù)模型”“裂項(xiàng)求和模型”“導(dǎo)數(shù)模型”在解決等差乘等比數(shù)列前n項(xiàng)和中的應(yīng)用.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

思路1：待定系數(shù)模型

思路2：裂項(xiàng)求和模型

由bn=F(n+1)-F(n)得，

思路3：導(dǎo)數(shù)模型

五、素養(yǎng)展現(xiàn)與方法反思

1.素養(yǎng)展現(xiàn)

文章從一道高考題目出發(fā)用不同的方法對(duì)“等差乘等比”型數(shù)列的求和進(jìn)行了深入探究，給出了該類數(shù)列前n項(xiàng)和的三個(gè)模型，體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)這一過程還可以很好地培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).具體表現(xiàn)為①題目是以等比數(shù)列的求和模型為背景，求等差乘等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，這是一個(gè)綜合情境，解決問題的關(guān)鍵是利用錯(cuò)位相減法不能直接求和的數(shù)列轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，這一過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生在綜合情境中提出運(yùn)算問題和確定運(yùn)算對(duì)象的能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；②在實(shí)際教學(xué)中通過五種思路的比較，讓學(xué)生感受到運(yùn)用求和模型求解該類數(shù)列前n項(xiàng)和的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)五種思路能讓學(xué)生從不同的層面、不同角度入手去研究“等差乘等比”型數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題特點(diǎn)及運(yùn)算的條件合理選擇運(yùn)算方法的能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；③運(yùn)用三種求和模型求解“等差乘等比”型數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型多樣性的理解；④運(yùn)用函數(shù)模型求解等差乘等比數(shù)列前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在數(shù)列教學(xué)中應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型解決數(shù)列求和問題的能力，從函數(shù)的角度去研究數(shù)列，讓學(xué)生感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)列部分的要求.

2.方法反思

學(xué)生運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解等差乘等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題時(shí)，對(duì)Sn進(jìn)行化簡時(shí)會(huì)涉及因式分解、合并同類項(xiàng)、提取公因式等煩瑣步驟，進(jìn)而給求解帶來很大的障礙，究其原因，主要是學(xué)生在化簡過程中沒有一個(gè)明確的目標(biāo)，甚至不知道化簡到什么程度是最簡形式，而模型2正好為化簡提供了方向和目標(biāo).因此，學(xué)生在求解該類數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，無論是選擇錯(cuò)位相減法，還是裂項(xiàng)求和模型、待定系數(shù)模型、導(dǎo)數(shù)模型，其最終結(jié)果均是A+(Bn-A)qn的形式，這也體現(xiàn)了等差乘等比數(shù)列前n項(xiàng)和的對(duì)稱美.