師范生數(shù)學語言表達能力現(xiàn)狀調(diào)查
——以江蘇省某綜合性大學數(shù)學師范生為例

呂 宣，陳建華

(揚州大學 數(shù)學科學學院，江蘇 揚州 225000)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》[1]提出教師要引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界。這要求教師本身要具有專業(yè)化的數(shù)學語言表達能力，使借助專業(yè)化的數(shù)學語言培養(yǎng)學生的“四基”與“四能”，因此教師數(shù)學語言表達的好壞會直接影響其教學質量。師范生是未來的教師，也應對其數(shù)學語言表達能力有所重視。目前已有研究對師范生數(shù)學語言表達能力有一些基本上的探討，如在數(shù)學語言能力方面，師范生的數(shù)學語言的使用不夠熟練，缺乏準確性，不能清晰準確的表達內(nèi)容，存在不適當“刪”“添”定義、定理或法則中的字句、邏輯性不強等問題，[2-3]對此徐梅娟認為師范生在數(shù)學語言表達上的缺陷，根本上是數(shù)學知識上的缺陷；[4]而在數(shù)學語言轉化能力方面，師范生存在缺乏數(shù)學語言轉化能力較弱，高校對數(shù)學語言轉化能力培養(yǎng)略有忽視的問題。[5-7]為后續(xù)研究師范生數(shù)學語言表達能力提供了思路和參考。

研究借鑒以往文獻，對師范生數(shù)學語言表達能力從數(shù)學語言能力和數(shù)學語言轉換能力兩方面出發(fā)，并在此基礎上進一步細分類型、進行分析與探討。數(shù)學語言指是自然語言(日常生活用語)的數(shù)學化，廣義上指一切用以反映數(shù)量關系和空間形式的語言。[8]數(shù)學語言能力一般分類為文字語言、符號語言和圖形語言能力。文字語言能力是指將自然語言數(shù)學化的能力，賦有數(shù)學的嚴謹性和自然語言的直觀性，一般以數(shù)學概念和術語的形式呈現(xiàn)。符號語言能力是指將抽象數(shù)字、符號根據(jù)數(shù)學的邏輯意義和規(guī)則組成的語言的能力，一般以符號串組成的數(shù)學式和數(shù)學句子呈現(xiàn)。[9]圖形語言能力是指用圖像和圖表對數(shù)學關系和空間形式進行描述的能力。數(shù)學語言轉換能力分為數(shù)學語言的內(nèi)部轉換能力和自然語言和數(shù)學語言轉換的能力。[10]但文字語言能力與自然語言和數(shù)學語言轉換的能力界定存在重合，因此研究中指考察數(shù)學語言的內(nèi)部轉換能力，即文字語言、符號語言和圖形語言之間的相互轉換。

鑒于目前對于數(shù)學語言表達能力的研究對象主要集中在職教師和學生，對于在校師范生這一群體的關注相對缺乏，更缺乏對師范生數(shù)學語言表達能力中的數(shù)學語言能力和數(shù)學語言轉換能力的細化研究。因此，研究意在通過調(diào)查低年級和高年級師范生的數(shù)學語言表達能力的現(xiàn)狀，并對其數(shù)學語言能力和數(shù)學語言轉換能力詳細分類與探究，從而為高校如何更好的培養(yǎng)師范生數(shù)學語言表達能力的問題上，給出一些參考性的建議。

一、研究設計和方法

(一)研究對象

選取某綜合大學數(shù)學科學學院師范專業(yè)的190名師范生進行測試，其中低年級的測試對象共90人，其中回收有效數(shù)據(jù)88份，有效數(shù)據(jù)回收97.8%；高年級的測試對象共100人，其中回收有效數(shù)據(jù)93份，有效數(shù)據(jù)回收93.0%。

(二)研究工具

調(diào)查問卷共15道題，分為調(diào)查與測試兩部分，其中1-7題是調(diào)查部分，8-15題是測試部分。其中調(diào)查部分主要調(diào)查師范生對數(shù)學語言表達的態(tài)度及偏好的培養(yǎng)能力方式，調(diào)查問卷從師范生對數(shù)學語言表達的態(tài)度、數(shù)學語言掌握水平以及數(shù)學語言轉化能力3個一級維度角度設計，其中數(shù)學語言掌握水平依據(jù)數(shù)學語言分類，分為文字語言、符號語言和圖形語言3個二級維度，[8]數(shù)學語言轉化能力是其文字語言、符號語言和圖形語言間相互的轉化，共分為6個二級維度。測試部分主要調(diào)查數(shù)學語言掌握水平以及數(shù)學語言轉化能力，測試題目均選自人教版初中和高中教材數(shù)學教課書中的知識點與題目，這些題目經(jīng)過預測和調(diào)整，問題本身具有較高可靠性(具體見表1)。

表1 測試卷設計維度

(三)數(shù)據(jù)收集與處理

將調(diào)查問卷中的題目依據(jù)表1進行分類。調(diào)查部分根據(jù)師范生選擇的選項進行整理，測試題部分根據(jù)對師范生的測試答案的分析，將測試答案分為標準、非標準和錯誤三種，其中“標準”的評判標準為：答案正確，能夠使用數(shù)學語言進行簡練準確的作答；“非標準”答案正確，但在使用文字語言過程出現(xiàn)口語化，符號語言的過程不精簡，圖形語言的不規(guī)范等；“錯誤”評判標準為：答案錯誤、答案不完整或空白。

二、研究分析及結果

(一)對數(shù)學語言表達能力的態(tài)度對比分析與結果

在低年級師范生當中，80.7%的師范生對數(shù)學語言的學習秉持積極態(tài)度；而在高年級當中，75.2%的師范生重視數(shù)學語言的學習。在對自身數(shù)學語言表達能力判斷當中，僅13.6%的低年級師范生認為自身可以較好使用數(shù)學語言表達，69.3%的低年級師范生認為自身的數(shù)學語言表達口語化，不夠精簡，其中相比較符號語言，低年級師范生偏向使用文字語言和圖像語言學習與解題；而在高年級師范生當中，前者占比28%，后者占比60.2%，并均擅長使用文字語言、符號語言或圖形語言進行學習與解題，并偏向使用符號語言和圖像語言。

數(shù)據(jù)表明，低年級和高年級師范生均承認數(shù)學語言表達能力對學習數(shù)學的積極作用，而低年級師范生學習數(shù)學語言表達能力的態(tài)度更為良好。而相比于低年級師范生，經(jīng)過高校培養(yǎng)后的高年級師范生明顯在數(shù)學語言和數(shù)學語言表達能力方面更自信，并傾向使用符號語言，但仍有一半的高年級師范生認為自己的數(shù)學語言表達能力還有待進一步的加強。

(二)數(shù)學語言掌握水平分析與結果

在整體測試題中，高年級師范生正確率為83.52%，低年級為72.36%。將測試題根據(jù)數(shù)學文字語言、數(shù)學符號語言、數(shù)學圖形語言的類型進行劃分后，具體正確率如圖1所示。高年級師范生的正確率分別為90.38%、84.76%和75.43%，低年級師范生的正確率分別為79.73%、71.22%和66.14%。對比高年級和低年級師范生的正確率，依次得到高年級師范生在數(shù)學文字、符號和圖形語言中分別高于低年級師范生10.65%、13.54%和9.29%。這表明高年級師范生的數(shù)學語言掌握水平高于低年級師范生，符合一般教學規(guī)律，并且?guī)煼渡鷶?shù)學語言能力根據(jù)類型呈現(xiàn)出“文字語言能力>符號語言能力>圖形語言能力”的現(xiàn)狀。而經(jīng)過高校培養(yǎng)后，師范生不同類型數(shù)學語言能力呈現(xiàn)出“符號語言>文字語言>圖形語言”的增長趨勢。

圖1 低高年級數(shù)學語言掌握水平分類對比

對正確答案進行標準和非標準2種類型的劃分，數(shù)據(jù)表明高年級師范生數(shù)學語言標準占比為52.51%，低年級師范生為46.15%。如圖1所示，高年級師范生在數(shù)學文字、符號和圖形語言中的標準占比依次為48.11%、47.03%和62.39%，對比高年級和低年級師范生的標準占比，得到高年級師范生在數(shù)學文字、符號和圖形語言中分別高于低年級師范生5.51%、9.37%和4.21%。這表明，第一，在經(jīng)過高校培養(yǎng)后，使用專業(yè)化數(shù)學語言能力的師范生超過了總數(shù)的一半；第二，師范生擁有專業(yè)化圖形語言能力的人數(shù)超過60%，并明顯高于擁有專業(yè)化數(shù)學文字和符號語言能力的人數(shù)，具體專業(yè)化數(shù)學語言能力呈現(xiàn)出“圖形語言>文字語言>符號語言”的現(xiàn)狀。第三，經(jīng)過高校培養(yǎng)后，師范生專業(yè)化數(shù)學語言能力呈現(xiàn)出“符號語言>文字語言>圖形語言”的增長趨勢，并且專業(yè)化符號語言能力的增長率接近乎于其他兩種語言增長率的兩倍。

根據(jù)對錯誤答案的詳細分析，除去少數(shù)空白和對數(shù)學知識欠缺的情況，我們分析發(fā)現(xiàn)：首先在文字語言的測試題中，多數(shù)師范生錯誤的原因一是在數(shù)學概念或定理描述中缺少范圍定義，例如在敘述必然事件的概念，不提“在一定條件下”，只說“必然出現(xiàn)的事情”；二是不熟悉數(shù)學名詞，例如將“指數(shù)”與“底數(shù)”混淆。其次，在符號語言的測試題中，多數(shù)師范生錯誤的原因是在使用符號語言進行描述或解題時，出現(xiàn)敘述不嚴謹，解題不完整的情況。最后，在圖形語言的測試題中，師范生錯誤的原因多數(shù)為未能對所有可能情況作圖、抑或是無法畫清楚圖形的空間結構的問題。

表2 低高年級師范生數(shù)學語言轉化能力分類占比

(三)數(shù)學語言轉化能力的分析與結果

為了便于分析，將數(shù)學語言轉化能力的6種類型根據(jù)數(shù)學文字語言、數(shù)學符號語言和數(shù)學圖形語言轉化為其他語言的過程整合劃分為3種類型，分別為：文字語言轉化能力(文字語言轉化為其他語言的能力)、符號語言轉化能力(符號語言轉化為其他語言的能力)和圖形語言轉化能力(圖形語言轉化為其他語言的能力)。

1.文字語言轉化能力

文字語言轉化能力分為：文字語言轉化為符號語言的能力(文轉符)和文字語言轉化為圖形語言的能力(文轉圖)。高年級師范生在“文轉符”和“文轉圖”的正確率分別為81.97%和61.62%，低年級師范生的正確率則是59.66%和52.84%。這表明師范生“文轉符”的能力強于“文轉圖”的能力，在經(jīng)過高校培養(yǎng)后，師范生“文轉符”的能力明顯提升22.31%，師范生“文轉圖”的能力提升8.78%，師范生“文轉符”的能力提升效率約為“文轉圖”的能力的2.5倍。

進一步分析正確答案，高年級師范生在“文轉符”和“文轉圖”的標準占比分別為55.74%和61.62%，低年級師范生分別為39.77%和52.84%，并且高年級師范生的標準占比分別高于低年級師范生15.97%和8.78%。這表明，師范生在專業(yè)化的“文轉圖”能力上弱于專業(yè)化的“文轉符”能力，但師范生專業(yè)化“文轉符”的能力提升效率依然高于專業(yè)化“文轉圖”的能力，約為專業(yè)化“文轉圖”的能力提升效率的兩倍。

2.符號語言轉化能力

符號語言轉化能力分為：符號語言轉化為文字語言的能力(符轉文)和符號語言轉化為圖形語言的能力(符轉圖)。高年級師范生在“符轉文”和“符轉圖”的正確率分別為84.56%和82.16%，低年級師范生的正確率則是71.73%和59.66%，這表明經(jīng)過高校的培養(yǎng)，師范生“符轉文”的能力提升12.83%，師范生“符轉圖”的能力明顯提升22.50%，“文轉圖”的能力提升約為符轉文”的能力提升的2倍，這使得掌握“符轉文”的能力和“符轉圖”的能力的高年級師范生人數(shù)幾乎保持一致。

深入分析正確答案，高年級師范生在“符轉文”和“符轉圖”的標準占比分別為32.41%和22.70%，低年級師范生分別為27.51%和19.89%，并且高年級在“符轉文”和“符轉圖”的標準占比分別高于低年級師范生4.63%和2.81%。這表明師范生的專業(yè)化“符轉文”能力強于專業(yè)化“符轉圖”能力，但二者專業(yè)化人數(shù)均不足師范生總數(shù)的40%，并且在經(jīng)過高校培養(yǎng)后，專業(yè)化“符轉文”能力強于專業(yè)化“符轉圖”能力進步微弱。

3.圖形語言轉化能力

圖形語言轉化能力分為：圖形語言轉化為文字語言的能力(圖轉文)和圖形語言轉化為符號語言的能力(圖轉符)。高年級師范生在“圖轉文”和“圖轉符”的正確率分別為98.38%和83.15%，低年級師范生的正確率則是86.86%和78.98%，這表明師范生“圖轉文”的能力強于“圖轉符”的能力，并且在經(jīng)過高校培養(yǎng)后，師范生“圖轉文”能力提升11.52%，“圖轉符”能力略微提升4.17%。

進一步分析正確答案，高年級師范生在“圖轉文”和“圖轉符”的標準占比分別為79.46%和79.35%，低年級師范生分別為65.71%和64.20%，這表明師范生專業(yè)化“圖轉文”能力和專業(yè)化“圖轉符”能力大致相同，且兩種能力在經(jīng)過高校培養(yǎng)過后提升效率也大致相同，分別為13.75%，15.15%，這使得高年級師范生種掌握專業(yè)化“圖轉文”能力和專業(yè)化“圖轉符”能力的人數(shù)均約為80%。

整體而言，在學語言轉化能力中，高年級師范生的正確率為81.97%，標準占比為55.16%，低年級師范生的正確率為68.29%，標準占比為44.99%。這表明，高年級師范生的數(shù)學語言轉化能力明顯高于低年級師范生，并且高年級師范生在專業(yè)化數(shù)學語言轉化能力中也明顯強于低年級師范生，符合一般教學規(guī)律。

從正確率角度來看，在3種類型的數(shù)學語言轉化能力中，師范生的圖形語言轉化能力最好，符號語言轉化能力次之，文字語言轉化能力的相比較弱。而高校的培養(yǎng)使得師范生符號語言轉化能力和文字語言轉化為能力進步明顯，其中師范生“符轉圖”的能力明顯提升22.50%，“文轉符”的能力明顯提升22.31%，圖形語言轉化能力與其他兩種能力相比進步較弱。

從專業(yè)化角度來看，師范生專業(yè)化圖形語言轉化能力最好，文字語言轉化能力次之，符號語言轉化能力最弱，僅為不到30%，遠遠低于其他兩種數(shù)學語言轉化能力，并且在經(jīng)過高校培養(yǎng)過后進步微弱。

三、研究結論及討論

(一)師范生對自身數(shù)學語言表達能力的評估與實際水平不符

調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，認為自身擁有一般數(shù)學語言表達能力的低年級師范生為82.90%，高年級師范生為88.20%；而認為自身的擁有專業(yè)化的數(shù)學語言表達能力的低年級師范生占13.60%，高年級占28.00%。而在實際調(diào)查測試中，一般數(shù)學語言表達能力的低年級師范生為70.33%，高年級為82.75%；而專業(yè)化的數(shù)學語言表達能力的低年級師范生占45.57%，高年級占53.84%。這表明師范生對自身數(shù)學語言表達能力的評估與實際水平不符，對于一般數(shù)學語言表達能力，師范生的自我評估高于實際調(diào)查數(shù)據(jù)，而在專業(yè)化數(shù)學語言表達能力的自我評估中又低于實際調(diào)查數(shù)據(jù)。在對研究對象進行訪談交流后發(fā)現(xiàn)，盡管多數(shù)師范生樸實的直覺讓他們下意識的知道數(shù)學語言表達能力在自身的學習與未來的教學工作中十分重要，但對于什么是數(shù)學語言表達能力，以及數(shù)學表達能力涵蓋什么方面的內(nèi)容仍然存在知識盲區(qū)。多數(shù)師范生未能建立自己的“數(shù)學語言系統(tǒng)”，并且表明自己很少接受數(shù)學語言表達能力的訓練。

事實上，學生僅靠課堂上聽教師的講授是難以豐富和完善自己的數(shù)學語言系統(tǒng)，[11]并且對于數(shù)學語言表達能力的模糊的理解和缺少專業(yè)的訓練，制約了師范生對自身數(shù)學語言表達能力弱項的提升，也降低了高校對于培養(yǎng)優(yōu)質師范生的效率。因此高校在師范生培養(yǎng)中需要給師范生創(chuàng)造更多數(shù)學語言表達能力訓練與評估的機會，例如校內(nèi)組織師范生進行模擬授課、專業(yè)知識演講和微課錄制比賽等活動。

(二)相比符號語言能力，高校對文字語言和圖形語言能力的培養(yǎng)略有忽視

總體而言，師范生的符號語言能力的增長高于文字和圖形語言能力，其中一般化的符號語言能力增長13.54%，專業(yè)化的符號語言能力增長9.37%，這表明相比于其他數(shù)學語言能力，高校重點在培養(yǎng)師范生的符號語言能力上并達到了良好的效果。但文字語言和圖形語言亦是師范生所要掌握的重要數(shù)學教學能力，良好的文字語言能力和圖形語言能力可以幫助師范生在教學過程中在學生和抽象概括的數(shù)學知識之間構建理解的橋梁，使學生“知其然，知其所以然”。然而數(shù)據(jù)表明，高年級師范生在“符轉圖”和“符轉文”的專業(yè)化能力占比僅為22.70%和32.14%，并且仍然有師范生在“符轉圖”中無法從抽象的數(shù)學符號串中構建出圖像的空間形式；在“符轉文”中數(shù)學術語記憶混亂,文字語言不準確的問題，例如在“x3的3稱作什么”的問題中，將“指數(shù)”寫成“冪”或“次方”。

這表明，部分師范生對于符號語言的運用處于記識性理解和操作性理解的層次，并未達到意義性理解的層次，[12]由此無法順利的從符號語言轉換成圖形語言，而師范生出現(xiàn)數(shù)學術語記憶混亂在一定程度上反映出對文字語言能力的不重視，因此高校在重視培養(yǎng)符號語言能力的基礎上，需要增強對師范生文字語言能力和圖形語言能力的培養(yǎng)，例如在教學中豐富數(shù)學語言表達形式，增加文字語言和圖形語言方面的數(shù)學作業(yè)。只有這三種類型的數(shù)學語言相互互補和有機融合，齊頭并進，師范生才能更快達到對數(shù)學知識的意義性理解的層次并對數(shù)學思想內(nèi)容進行專業(yè)化、數(shù)學化的表達。[13]

(三)在數(shù)學語言轉化能力中，師范生文字語言轉化能力有待加強

數(shù)據(jù)表明經(jīng)過高校的培養(yǎng)，師范生的數(shù)學語言轉化能力總體有較大的提升，但28.21%的高年級師范生在文字轉化為其他語言過程中存在著短板，暴露出師范生的文字轉化為其他語言的能力較差的問題。在“文轉圖”的過程中，多數(shù)師范生畫出的圖形與題目描述有差距且作圖不規(guī)范，在“文轉符”過程中，多數(shù)師范生不能用數(shù)學符號進行清晰準確的表達，例如在“三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行”問題中，部分師范生只畫出一個圖或畫出的圖形三條交線并不平行，一部分師范生符號表述缺東少西并且不界定符號表示。

在“文轉圖”過程中，多數(shù)師范生作圖不規(guī)范，沒有養(yǎng)成良好的作圖習慣，這導致在數(shù)學情境和關系較為復雜的問題時，由于不規(guī)范的圖形使師范生無法看出圖形中正確的空間形式與數(shù)量關系，故而無法在文字語言表述的數(shù)學問題中挖掘出其中蘊含的正確幾何意義。在“文轉符”中，由于文字語言表述起來是線性的，存在著冗長、不容易暴露知識的內(nèi)在結構的問題，[14]一部分師范生無法從文字語言敘述題目中提取隱含的條件和關鍵信息，一部分師范生無法準確使用符號進行表達，導致無法成功的將文字語言轉換為符號語言。由此可見，良好的數(shù)學語言轉化能力是在扎實的數(shù)學語言能力的基礎上，才有可能進步和提高。因此，首先高校首先要鞏固和加強數(shù)學符號語系統(tǒng)教學，加強從文字語言中提取關鍵信息的能力，進行圖形表示的規(guī)范化訓練；其次，高校要促進師范生注重數(shù)學對象的多元表征,[3]這直接體現(xiàn)在面對數(shù)學情境和關系較為復雜的問題時，大多數(shù)師范生能夠從多個角度，使用多種數(shù)學語言對數(shù)學問題進行理解和解題；最后，培養(yǎng)師范生運用多種數(shù)學語言的進行表述的思維習慣。