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    突現(xiàn)宇宙學(xué)在廣義Rastall引力中的實現(xiàn)

    2022-01-14 05:33:40
    關(guān)鍵詞:引力場視界引力

    原 方 方

    (河北科技師范學(xué)院物理系,河北 秦皇島,066004)

    為了統(tǒng)一廣義相對論與量子理論,可以將引力作為一種突現(xiàn)的現(xiàn)象,而不是基本相互作用之一。這種思想的實現(xiàn)方式有很多,最著名的理論方案是由Jacobson[1]提出的,即從熱力學(xué)關(guān)系出發(fā)得到引力場方程。在宇宙學(xué)方面,Padmanabhan從全息原理出發(fā)提出假設(shè),認(rèn)為宇宙空間的膨脹可以看作趨向能量均分的過程,并給出了相應(yīng)的膨脹定律。經(jīng)過改進(jìn),這一方法可以適用于非平坦宇宙的情形[2]。

    有一些修改引力理論具有能量不守恒的性質(zhì),這可以用來解釋宇宙演化中的粒子產(chǎn)生等現(xiàn)象。相關(guān)研究使得Rastall引力被重新發(fā)現(xiàn)并得到重視[3,4]。Padmanabhan的突現(xiàn)宇宙學(xué)方法也可以應(yīng)用到這種能量不守恒的引力理論中[5]。鑒于近年來這種理論有了許多推廣,筆者以一種廣義Rastall引力為基礎(chǔ),從修正的膨脹定律出發(fā),推導(dǎo)出描述宇宙演化的Friedmann方程。作為這一方法的基礎(chǔ),需要首先得到修正的Komar能量、Friedmann方程,以及表觀視界的熵公式。

    1 Rastall引力及其推廣

    在廣義相對論中,能量動量張量的協(xié)變守恒方程是一個基本和重要的組成部分。但Rastall認(rèn)為,在彎曲時空中,有可能需要對此進(jìn)行修改,并給出如下的假定:

    (1)

    近年來,有多種模型都被稱為廣義Rastall引力,均具有下面形式的能量動量不守恒方程:

    (2)

    其中,T=gμvTμv是能量動量張量的跡。

    作為一種完全獨(dú)立和不同的理論,f(R,T)引力已經(jīng)得到了深入和廣泛的研究。為與這些討論相聯(lián)系,并能更簡便地回到Rastall最初的模型[6],本次研究考慮如下的形式:

    (3)

    其中,α為常數(shù)。相應(yīng)的廣義Rastall引力場方程為

    Gμv+kλgμv(R+αT)=kTμv

    (4)

    如約定Newton引力常數(shù)G=1,則在λ=0=α?xí)r,有k=8π,即為廣義相對論的情形。參數(shù)k一般稱為Rastall引力常數(shù)。

    對場方程(式(4))取跡后,可得

    (5)

    由于R與T成正比,可以將式(3)改寫為類似最初理論(式(1))的形式。但這里引入了一個新的參數(shù)α,另外由于改變了場方程的物質(zhì)部分,其物理解釋在一般情況下也有不同。由此,可得前述引力場方程的等價形式為

    (6)

    基于上式,即可仿照Rastall引力的情形,得到與理想流體對應(yīng)的修正Komar能量密度如下:

    (7)

    2 Friedmann方程與表觀視界的熵

    考慮Friedmann-Robertson-Walker度規(guī),將引力場方程(式(6))的00和ij分量經(jīng)過整理后,可以得到描述尺度因子演化的Friedmann方程如下:

    (8)

    (9)

    表觀視界的半徑和溫度的表達(dá)式保持不變,即有

    根據(jù)Clausius關(guān)系,可得熵的增量為

    (10)

    對于這里的廣義Rastall引力,連續(xù)性方程(即0分量的不守恒方程)具有下列形式:

    (11)

    考慮理想流體,并利用場方程,推導(dǎo)可得

    (12)

    將這一連續(xù)性方程代入式(10),即可得到熵的時間導(dǎo)數(shù)為

    (13)

    再利用Friedmann方程(式(8)(9)),化簡可得

    (14)

    所以,表觀視界的熵為

    (15)

    其形式與廣義相對論的結(jié)果完全類似,但一般情況下,Rastall引力常數(shù)不為8π。另外,如果考慮Newton極限,可得k與參數(shù)λ,α的關(guān)系式,因此,也不能簡單地認(rèn)為熵與參數(shù)λ無關(guān)。

    在以上的廣義Rastall引力中,由式(8)(9)可以得到描述Hubble參數(shù)時間演化的一個等價的Friedmann方程如下:

    當(dāng)α=0時,即可發(fā)現(xiàn),對于原始的Rastall引力(式(1)),上述方程與廣義相對論的結(jié)果完全相同。這也是論證Rastall引力與具有變化宇宙學(xué)常數(shù)的廣義相對論等價的原因之一。

    3 由修正膨脹定律導(dǎo)出Friedmann方程

    Padmanabhan的突現(xiàn)宇宙學(xué)思想可以推廣到曲率因子不為零的情形,即可由如下的修正膨脹定律出發(fā),得到含有熵修正情況下的Friedmann方程:

    (16)

    根據(jù)表觀視界的熵公式(式(15)),可定義有效自由度數(shù)目為

    (17)

    另一方面,由修正的Komar能量密度(式(7)),可定義體空間的有效自由度數(shù)目為

    (18)

    將式(17)和式(18)代入修正膨脹定律(式(16)),化簡之后可得

    (19)

    再根據(jù)表觀視界的半徑公式,即可發(fā)現(xiàn),在這里考慮的廣義Rastall引力中,仍然有下述關(guān)系成立:

    (20)

    將上式代入修正的Komar能量密度公式(式(7)),可得

    (21)

    由此,連續(xù)性方程(式(12))變?yōu)?/p>

    (22)

    經(jīng)過化簡,上式可改寫為如下形式:

    (23)

    每項均乘以尺度因子的平方之后,可得

    (24)

    去掉積分號后,上式即為曲率因子為零情況下的Friedmann方程(式(8))。

    4 結(jié)論與討論

    與Rastall最初的模型不同,本次研究考慮協(xié)變不守恒方程中含有一項正比于能量動量張量的跡的情況。首先,得到了修正的引力場方程和Komar能量密度。其次,推導(dǎo)出了Friedmann方程、連續(xù)性方程和表觀視界的熵公式。最后,從修正膨脹定律出發(fā),根據(jù)突現(xiàn)宇宙學(xué)的思想,重新得到了Friedmann方程。

    作為進(jìn)一步研究的方向,可以考慮這里的廣義Rastall引力與f(R,T)引力在宇宙學(xué)演化、黑洞解等方面的聯(lián)系。此外,值得考察的是最一般的廣義Rastall引力(式(2))對熱力學(xué)定律的影響,以及在宇宙學(xué)觀測和致密天體性質(zhì)上的具體預(yù)言等。最后,廣義Rastall引力中的能量定義、Newton極限等也是值得研究的理論課題。

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